青島理工大學(xué)線性代數(shù)練習(xí)冊答案

第一章n階行列式1.求下列各排列的逆序數(shù)：(1)134785692(2)139782645(3)13…(2n-1)24…(2n)(4)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2n(n1)（11;17;;n(n1)）21274i56j9(i,j)2.已知排列為偶排列，則(8,3).3.計算下列各階行列式：1031002041992003953013006000a0abacaebdcdde(1)(2)b0c(3)[2000;0;4abcdef]0d0bfcfef2xx121x114.設(shè)D32x1，則D的展開式中x3的系數(shù)為-1.111x5求二次多項式fx，使得f16，f12，f23bxc，于是由，，得f16f12f23解設(shè)fxax2abc6abc2求a,b,c如下：4a2bc3111611161116D11160，D2116，D12112，D11218123421321431423所以aD11，bD22，cD33DDD故fxx22x3為所求。行列式的性質(zhì)；克拉默法則Da，則展開式中項ijaaaan1nan1的符號為(D).1223341.n階行列式（A）-（B）+（C）(1)n（D）(1)n1aaaaa4a4a2a3aaaa1121311222321311，求2111122232132333Da2.如果a12a3a[-12]2321aa4a2a3a3331311012D11033.已知，計算AAAA[-1]4142111043441254132234094.計算行列式22623383[-50]5.計算下列各行列式（D為k階行列式）ka(1)11[anan2],其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是0;axaaaax[a(xa)n1](2);aaaaxxxxxxxx1xax2xxa(3)3[利用遞推公式來求]xxxxxxaxn1xan遞推公式為Dx(ax)(ax)(ax)(ax)Dn1n12n1nxxxD=(ax)(ax)(ax)(1axaxax)n12n12n122222223222[(n2)!](4)2222n0000000000010010[nn1n11(5)n]000000001xxx0123有非零解？[1;0]xxx06.問，取何值時，齊次方程組123x2xx01237.某商店經(jīng)營四類商品，四個月的銷售額及利潤額如表所示：商品ABCD總利潤月次12344040505060606060809080901009027.427.628.927.910090求每類商品的銷售利潤率。（去掉）習(xí)題二矩陣及其運算矩陣；矩陣的運算1.以下結(jié)論正確的是（C）（A）若方陣A的行列式A0，則A0。（B）若A20，則A0。（C）若A為對稱矩陣，則A2也是對稱矩陣。（D）對任意的同階方陣A,B有(AB)(AB)A2B2121310211730[9272.設(shè)A=013，B=，C=，計算(1)2A-3B+2C．]121312311111210，求AB-BA．101022]2122043．設(shè)A=，B=[4401235213204．設(shè)A=341，B=，計算ABT，BTA，ATA，BBT+ABT．20121213422199;1366310423412206[;;;52]176526212A01，34P，那么1020045．若PAP．20053412A1B26．A,B為三階矩陣，，，則12ABT22．0a35a3a5027．已知f(x)x23x5，A，則f(A).0b0b2b8．A為2005階矩陣，且滿足ATA，則A0．11n9．計算0111，A解：設(shè)01111112A2AA則，010101A3A2A1211130101011n11n1111nA，則AAn1A，假設(shè)1nn01010101111nnn，有01于是由歸納法知，對于任意正整數(shù)0110．證明：若A和B都是n階對稱矩陣，則AB是對稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換．(略)11．證明：若A和B都是n階對稱矩陣，則A+B，A-2B也是對稱矩陣．（略）23102312．已知A=PQ其中P=，=，Q=．QP=E，計算A，A2n+1（n為正整數(shù)）．2n01121210712；]0147[逆矩陣；分塊矩陣13．設(shè)A、B都是n階矩陣，問：下列命題是否成立？若成立給出證明；若不成立舉反例說明．(1)若A、B皆不可逆，則A+B也不可逆；(3)若AB不可逆，則A，B都不可逆；(4)若A可逆，則kA可逆（(2)若AB不可逆，則A，B都可逆；k是常數(shù)）．（略）141014．設(shè)PAP=，其中P=，=，求A．（略）-1n110211627]A(3A)12A，求[15．設(shè)A為3階矩陣，且.*216．（1）若方陣A2A4E0，試證A+E可逆，并求AE.（略）A滿足21A1，又ATA1，試證A+E不可逆A是n階矩陣，且（2）設(shè)（證明行列式等于零）123144917．解矩陣方程AXB，其中01225011A，B。[]001131318．求下列矩陣的逆矩陣：110011110110sincoscossincossin011100110001(1)；(2)．[；]sincos0011000119．利用逆矩陣解下列方程：1123121316120X101122(1)．[]3135620．設(shè)A=0(k為正整數(shù)),證明：(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．k21．設(shè)方陣A滿足方程A-2A+4E=0．證明A+E和A-3E都是可逆的，并求它們的逆矩陣．222．設(shè)方陣A滿足A-A-2E=0證明：2(1)A和E-A都可逆，并求23．設(shè)A滿足A=0（k為正整數(shù)），試證明E-A可逆，并求其逆矩陣．24．設(shè)A是實對稱矩陣，且它們的逆矩陣；(2)(A+E)和(A-2E)不同時可逆．冪零矩陣kA=0，證明A=0．20B，其中25．設(shè)A=B是n階可逆陣，C是m階可逆陣．證明A可逆，并求A．-1C026．用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣．120002010225000020130030000100⑴；⑵．0001000010000010000110101225200012001001232021000100000[；]300010000100000100001習(xí)題三初等矩陣；矩陣的秩21837352230753。[3；20]1．求矩陣的秩，并求一個最高階非零子式A3258010010320123kA12k3，問k為何值，可使（1）R(A)1;（2）R(A)2;（3）R(A)3;[k1;k2；k1,k2]2．設(shè)k231111A13．用初等矩陣判斷方陣是否可逆。若可逆，求12212514A41121111100011111000rr1221010025140010033211000332201003324001解：221AEr3r14rr41411200011111因為033203320，所以A0，故A不可逆，即A1不存在。0332121101解矩陣方程AXB，其中A2104．用初等矩陣，.B452325141解：5110110015110012221001022AE010511A1511001713250011721221252111211252XA1B51145229871114104622112215．用初等矩陣求RA021512031311041其中A1122111221112210215151rr320000002021511021510022200000r2r解：1（上階梯形），rr34A3rr002220022241RA3有此可看出25．設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為A*，證明：(1)若|A|=0，則|A*|=0；(2)|A*|=|A|n-1．（略）線性方程組一.判斷題；選擇；題空題4368是Ax0的一個解12345,,,,都是Axb1.若的解，則.()12345Ax0基礎(chǔ)解于nR(A).(2.方程組系的個數(shù)等)mnmn3.若方程組Ax0有非零解，則方程組Axb必有無窮多解.(錯)4.Ax0與ATAx0為同解方程組.()充分必要條件是Axb有兩個不同的解Ax0一定有齊次線性方程組mn5.方程組Axb有無窮多個解的.()6.當(dāng)(D)時，非零解.（A）mn；（B）；（mnmnmnC）；（D）.x0232xx12xxx0的系數(shù)矩陣xxx0記為A，若存在三階方陣BO，使得ABO，則7.方程組13123(A).1B01B01B01B0.；（D）且（A）且；（B）且；（C）且Abxb有解，則其增廣矩陣的行列式=8.設(shè)方程組A(n1)n0.axx121xxaaaaa應(yīng)滿足條件和等于零.,,,49.若232有解，則常數(shù)xxa3xxa123344141211x123a2x3a無解，則-110.已知方程組.21a2x03572x1xxxx133xc143212342xx4x5x6c111.求方程組的通解.[通解為2]301234x2x4x2x3x4x51031012340xxkx4123xkxxk212．設(shè)，問方程組什么時候有唯一解？什么時候無解？什么時候有無窮多解，123xx2x4123并在有無窮多解時求解.解：有唯一解k1,k4；無解k1；30c14。k4，解為無窮多解10第四章向量組的線性相關(guān)性第一節(jié)n維向量v(1,1,0)T,v(0,1,1)T,v(3,4,0)T3v2vv.31．設(shè),求123123v2vv3(1,1,0)T2(0,1,1)T(3,4,0)T解：123(31203,31214,30210)T(0,1,2)T3(aa)2(aa)5(aa)a(2,5,1,3)T,a(10,1,5,10)T,2．設(shè)其中12312a(4,1,1,1)T,求a3解由3(aa)2(aa)5(aa)整理得123a16(3a2a5a)16[3(2,5,1,3)T2(10,1,5,10)T5(4,1,1,1)T]1(1,2,3,4)T233．已知+=(2,1,5,2,0)，-=(3,0,1,-1,4)，求，．[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)]1(,,3,,2)1151212122211解：[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)]3(,,2,,2)22222第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性baa,baa,baa,baab,b,b,b線性相關(guān)12341．設(shè)1,證明向量組.11222333444x,x,x,xxbxbxbxb0則11223344證明設(shè)有使得，1234x(aa)x(aa)x(aa)x(aa)0112223334441(xx)a(xx)a(xx)a(xx)a0141122233344a,a,a,ak,k,k,k4,123(1)若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)1234kxx;kxx;kxx;kxx114212323434;由k,k,k,kx,x,x,x4不全為零,即b,b,b,b線性相關(guān)12312344不全為零,知.123xx01001x141a,a,a,axx01100x(2)若線性無關(guān),則01212340110x2xx03230011xx0x3441001b,b,b,b由1011000知此齊次方程存在非零解，則線性相關(guān).綜合得證.12340011ba,baa,,baaara,a,,a2．設(shè),且向量組線性無關(guān)證明向,1121212r12rb,b,,br量組線性無關(guān).12kbkbkb0則設(shè)11證明22rr(kk)a(kk)a(kk)aka0rr1r12r2prpa,a,,ar因向量組線性無關(guān),故12kkk011k012r111110故方程組只有零解，則kk0011k0因為2r2010kk0001，001rrkkk0b,b,,b線性無關(guān)所以12r12r112213．利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組:.021512031311041r2r1122111212131~解：021515102rr203130215100222411104111221rr02151，所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組．32~rr002223400000第三節(jié)向量組的秩a(1,2,1,3),a(4,1,5,6),aT(1,3,4,7).31．求下列向量組的秩,并求一個最大無關(guān)組:TT1212131213a解：1213T~~109918099184156a1347T2055100000aT3a,a2,最大線性無關(guān)組為TT.12秩為2．設(shè)向量組，，…，(t>2)線性無關(guān)，令=2+3+…+t,，2=1+3+…+t，…，=+2+…+t-1．2t1t11證明：，，…，線性無關(guān)．12ta,a,,ann維向量3．設(shè),證明它們線性無關(guān)的是一組維向量充分必要條件是：任一都可由它們線12n性表示.,,,ar1b,b,,brB,向量組:向量組:的秩12t24．設(shè)向量組A:a1a2sC的秩為a,a,,a,b,b,,brmax{r,r}rrr,證明的秩12s12r312312證明設(shè)A,B,C的最大線性無關(guān)組ABC，含有的向量個,,r,r,r2,則分別為數(shù)(秩)分別為12A,B,C分別與A,B,C等價，易知A,BCCACB均可由線性表示，則秩()秩(),秩()秩()，即max{r,r}r312AB設(shè)與中的向量共同構(gòu)成向量組，則均可由線性表示，即可由線性表示，從DA,BCDD而可由線性表示，所以秩)秩(),CDCD(rrrrrrr2.1231DD()即為階矩陣，所以秩12B的列向量組線性無關(guān)5.設(shè)A是nm矩陣，B是mn矩陣，n<m，E是n階單位陣，若AB=E，證明：.B:b,,ba,,aA:能由向量組線性表示為1s6．設(shè)向量組1r(b,,b)(a,,a)K，1r1sKRKr.()。證明組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩KsrAB其中為矩陣，且組線性無關(guān)B證明若組線性無關(guān)令B(b,,b)A(a,,a)則有BAK，由定理知，1r1s,,,Bbbb線性無關(guān)rR(B)r，故知R(B)R(AK)min{R(A),R(K)}R(K)，由組:12R(K)r，又知Krs()min{r,s}RKBbbb能由向,,,。由于向量組:12為階矩陣則r,,,Aaaarsrmin{,}rs量組:1線性表示,則，2s綜上所述知rR(K)r即R(K)r．Rkr()若令xbxbxb0xi1,2,,x1r,其中為實數(shù)，則有(b,b,,b)0，又1122rri12rxrx1(b,,b)(a,,a)K,則(a,,)aK01r1s1sxrx1a,a,,a線性無關(guān)sx由于,所以0K212xr

kxkxkx01112121rrkxkxkx0121222r2r即（1）kxkxkx01r12r2rrrkxkxkx01s12s2rsrR(K)r由于則(1)式等價于下列方程組:kxkxkx0kkk2111121211112r1rrkxkxkx0，由于kkk22r20121222r2rkxkxkx0kkk1r12r2rrr1r2rrrxxx0b,b,,b所以方程組只有零解.所以線性無關(guān)，證畢.12r12r第四節(jié)向量空間a(0,1,1)T,a(1,0,1)T,a(1,1,0)RT所生成的向量空間就是3.1．試證:由1232．證明設(shè)A(a,a,a)123110011(1)110120Aa,a,a101123110011R(A)3a,a,a.由于均為三維,且秩為3,23于是故線性無關(guān)1a,a,a3a,a,aR所以3為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是3.1212a(1,1,0)T,a(2,1,3)T,a(3,1,2)RT為的一個基,并把32．驗證123v(5,0,7)T,v(9,8,13)T用這個基線性表示.12123解由于a,a,a11160，即矩陣(a1,a,a)的秩為a,a,a3，故3線性無關(guān)，則為2312123032R3的一個基.2k3k5kk2vkakaka，則，1231設(shè)kkk031112233k12323k2k71k233v2a3aa3故11233239kvaaa1設(shè)，則，12832132112233k32123k2233v3a3a2a3故線性表示為，212第五節(jié)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)xx2x3x201x1234x1．求齊次線性方程組5x4x20的基礎(chǔ)解系.32348x7x6x3x0123421102321191419解：7A357462初等行~變換011901908300x2x191x所以原方程組等價于1914134xx197x19234x1,x2x0,x0x0,x19x1,x7取得；取得341341220017因此基礎(chǔ)解系為,10122192213矩陣,使AB0,且R(B)242B.A,求一個2．設(shè)952810R(B)2解由于,所以可設(shè)10則由2213010001AB9528B00xx12xx12xxx3x34410302x1可得01032,x2x92080302085x410011112512解此非齊次線性方程組可得唯一解11，故所求矩陣．B2x1x2x3125222x142(0,1,2,3)T,(3,2,1,0)T.,使它的基礎(chǔ)解系為13．求一個齊次線性方程組解顯然原方程組的通解為103,(kkRx1,3k)即x1x21k2x122kk2k221122x1232kxk3130xx3k441230此即所求的齊次線性方程組x1x3x2x0xxk,k消去得.2412134,,3是它的三個解向量．且4．設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知1221，3求該方程組的通解．21432354nr431，一維．故其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向解由于矩陣的秩為3，,,量，且由于3均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得1234齊次解2()()()12312125(齊次解)(齊次解)632(kR)，為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：43xk5465A,BnAB0R(A)R(B)n．5．設(shè)都是階方陣，且，證明rrBAAB0B證明設(shè)A的秩為，的秩為，則由知，的每一列向量都是以為系數(shù)矩陣的齊次12線性方程組的解向量．rnB0rnr0rrn結(jié)論成(1)當(dāng)1時,該齊次線性方程組只有零解,故此時,立．，，2121rnnrnrB,從而的列向量組的秩1,即(2)當(dāng)時,該齊次方程組的基礎(chǔ)解系中含有1個向量1rnrrnr1,結(jié)論成立。2,此時21綜上,R(A)R(B)n5x2x3x11,x1x2x3xx46．求非齊次方程組361,的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.512342x4x2xx6.12341097121152311~211(2)B53611初等行變換01720242160000191211,,07012002,,nrAxb7．設(shè)是非齊次線性方程組的一個解,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,1,,,證明:線性無關(guān).nr1,,,,,,1CCCnr使得下式成證明反證法,假設(shè)nr線性相關(guān),則存在著不全為0的數(shù)01nrnrCCC0(1)立:011C0,,其中,否則,nr線性相關(guān),而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的，產(chǎn)生矛盾。01,,由于為特解，nr為基礎(chǔ)解系，故得1nrnr)CACbA(CCC01100A(CCCnrnr)0b0而由(1)式可得011b0故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得,,,產(chǎn)生矛盾,假設(shè)不成立,故nr線性無關(guān).1,,k,,k1Axbs8.設(shè)是非齊次線性方程組的個解，為實數(shù)，滿足1sssskkk1.證明xkkk也是它的解.12s1122,,Axbs證明由于是非齊次線性方程組的個解.1sAb(i1,,s)故有iA(kkk)kAkAkA而1122ss1122ssb(kk)b1skk）22ssAxbxk即（11x從而也是方程的解．第五章相似矩陣及二次型第一節(jié)預(yù)備知識：向量的內(nèi)積1．試用施密特法把下列向量組正交化：111111(1)(,,)124；(2)139aaa011123aaa(,,)101012311解(1)根據(jù)施密特正交化方法:111ba,,21b,aba令ba1，，，2b0ba32b1bba213bb31211,1,,bb332bb111111122111故正交化后得:3．2(b,b,b)101123311311b,a130，(2)根據(jù)施密特正交化方法令babba12,bb1322211111111b,ab,a13babb1323b,bb,b5333121122413115故正交化后得30153(b,b,b)2123131541351118941239942．下列矩陣是不是正交陣:(1);(2)．118112129991249471993解(1)第一個行向量非單位向量,故不是正交陣．(2)該方陣每一個行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣．ABnAB3．設(shè)與都是階正交陣，證明也是正交陣．A,Bn因為是階正交陣，故AABBT11證明T，()()BTATABB1ABABA1ABETAB故也是正交陣．第二節(jié)方陣的特征值與特征向量12311213;(2)24求下列矩陣的特征值和特征向量:(1);并問它們的特征向量是否兩兩正交?33611解(1)①AE24(2)(3)A2,3，故的特征值為．122(A2E)x0,由程②當(dāng)時,解方1~11111(A2E)22P系1得基礎(chǔ)解001所以kP(k0)2是對應(yīng)于的全部特征值向量．111123(A3E)x0,由時,解方程當(dāng)1P系~2121(A3E)2121得基礎(chǔ)解0023所以kP(k0)是對應(yīng)于3的全部特征向量．22213③[P,P]PTP(1,1)02,1PP2，故2不正交．1212112133A(2)①，故的特征值為AE23(1)(9)6330,1,9．120②當(dāng)時，解方程，由Ax011231231得基礎(chǔ)解系1P1~011A2133360001故kP(k0)0是對應(yīng)于的全部特征值向量.11111(AE)x0，由當(dāng)時,解方程2110223223AE223~001得基礎(chǔ)解系P2337000故kP(k0)1是對應(yīng)于的全部特征值向量22229當(dāng)時，解方程(A9E)x0，由312111~11得基礎(chǔ)解系823A9E28301P3233230001故kP(k0)9是對應(yīng)于的全部特征值向量．33331，0③[P,P]PTP(1,1,1)1012121121210，0，(1,1,1)[P,P]PTP(1,1,0)PP[,]PTP132223231311P,P,P所以3兩兩正交．12第三節(jié)相似矩陣第四節(jié)對稱矩陣的相似矩陣500124xy,1．設(shè)方陣與相似，求.0y0A2x2004421A解方陣與相似，則與的特征多項式相同，即A500y0400x412x242AEEy5．2104A,BnA0ABBA2．設(shè)都是階方陣，且，證明與相似．證明A0則可逆A1(AB)A(A1A)(BA)BAAABBA則與相似．1,0,1；對應(yīng)的特征向量依次為A3．設(shè)3階方陣的特征值為123122，2，P13A,求.P2P21212(P,P,P)解根據(jù)特征向量的性質(zhì)知可逆,1231得:(P,P,P)1A(P,P,P)1231232311020121，得A可得A(P,P,P)(P,P,P)13123212322034．試求一個正交的相似變換矩陣,將下列對稱矩陣化為對角矩陣:2210222．(1);(2)224252450202解(1)AE21220(1)(4)(2)02232,1,4．故得特征值為11420x132x1時，由1當(dāng)解得單位特征向量可取:xk2232x0P23231211022x2x233223120x1x1單位特征向量可取:P1321當(dāng)時,由解得xk1202x022222021x23x33220x1x2．單位特征向量可取423231解得xk223當(dāng)時,由:2320x23P313024xx133122200PAP010得正交陣(P,P,P)P1212，13123004221225452(1)(10)，2(2)AE24231,10故得特征值為121220x1221x1當(dāng)時，由解得244x01012xk1k222244x0x013321P1此二個向量正交,單位化后,得兩個單位正交的特征向量51022252545單位化得P1145P45532200118220x111:P23x1011當(dāng)時,由254x0解得單位化xk2232x33245x022331002251(P,P,P)得正交陣515451553P1AP1231200153203332，求A(A)A105A9；5．(1)設(shè)23212,求(A)A106A95A8．A122(2)設(shè)2213211A解(1)是實對稱矩陣，故可找到正交相似變換矩陣22，使得23P112210P1AP，從而APP1,AkPkP105(A)A105A9P10P15P9P1因此105040P1PP1PP1P10000505101140112211222．111111221100611(2)同(1)求得正交相似變換矩陣