山東省青島市中考數(shù)學試題（解析版）-001

2019年山東省青島市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（3分）的相反數(shù)是（）

3.（3分）2019年1月3日，我國“嫦娥四號”月球探測器在月球背面軟著陸，實現(xiàn)人類有

史以來首次成功登陸月球背面.已知月球與地球之間的平均距離約為384000b",把

384000如?用科學記數(shù)法可以表示為（）

A.38.4X10%nB.3.84X105癡

C.0.384X106A:mD.3.84X\06km

4.（3分）計算（-2M??（-，筌?/?2+3，〃3）的結(jié)果是（）

A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4;M4+12W5

5.（3分）如圖，線段4B經(jīng)過的圓心，AC,BZ）分別與。。相切于點C,D.若AC=

BD=4,ZA=45°,則而的長度為（）

6.（3分）如圖，將線段AB先向右平移5個單位，再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°,得到線段A'B',則點8的對應(yīng)點8'的坐標是（)

A.(-4,1)B.(-1,2)C.(4,-1)D.(1,-2)

7.(3分)如圖，是△ABC的角平分線，AELBD,垂足為F.若NA8C=35°,ZC=

50°,則/CQE的度數(shù)為()

A.35°B.40°C.45°D.50°

8.（3分）已知反比例函數(shù)了=或的圖象如圖所示，則二次函數(shù)了=/-和一次函數(shù)y

x

=法+〃在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）計算：運3叵-（?）°=_______?

V2

10.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2?-x+m^O有兩個相等的實數(shù)根,則，"的值為.

II.（3分）射擊比賽中，某隊員10次射擊成績?nèi)鐖D所示，則該隊員的平均成績是環(huán).

12.（3分）如圖，五邊形ABCDE是的內(nèi)接正五邊形，AF是。。的直徑，則/8O尸的

度數(shù)是_______

13.（3分）如圖，在正方形紙片ABCZ）中，E是CZ）的中點，將正方形紙片折疊，點B落

在線段AE上的點G處，折痕為AF.若AD=4cm,則CF的長為cm.

14.（3分）如圖，一個正方體由27個大小相同的小立方塊搭成，現(xiàn)從中取走若干個小立方

塊，得到一個新的幾何體.若新幾何體與原正方體的表面積相等，則最多可以取走

個小立方塊.

三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：Za,直線/及/上兩點A,B.

求作：RtAAfiC,使點C在直線/的上方，且NABC=90°,ZBAC^Za.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

2,2

16.（8分）⑴化簡：史工?++n-2?）；

mm

IJ_/A

（2）解不等式組5、飛5,并寫出它的正整數(shù)解.

3x-l<8

17.（6分）小明和小剛一起做游戲，游戲規(guī)則如下：將分別標有數(shù)字1,2,3,4的4個小

球放入一個不透明的袋子中，這些球除數(shù)字外都相同.從中隨機摸出一個球記下數(shù)字后

放回，再從中隨機摸出一個球記下數(shù)字.若兩次數(shù)字差的絕對值小于2,則小明獲勝，否

則小剛獲勝.這個游戲?qū)扇斯絾?？請說明理由.

18.（6分）為了解學生每天的睡眠情況，某初中學校從全校800名學生中隨機抽取了40名

學生，調(diào)查了他們平均每天的睡眠時間（單位：刀），統(tǒng)計結(jié)果如下：

9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,

9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.

在對這些數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下的統(tǒng)計圖表：

睡眠時間分組統(tǒng)計表睡眠時間分布情況

組別睡眠時間分組人數(shù)（頻數(shù)）

17W/V8m

284V911

39?10n

4104V114

請根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）m—,n—,a—，b—；

（2）抽取的這40名學生平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在組（填組別）;

（3）如果按照學校要求，學生平均每天的睡眠時間應(yīng)不少于9〃，請估計該校學生中睡眠

時間符合要求的人數(shù).

睡眠時間分布情況

19.（6分）如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道4B,棧道AB與

景區(qū)道路CD平行.在C處測得棧道--端A位于北偏西42。方向，在。處測得棧道另一

端3位于北偏西32°方向.已知8=120〃?，BD=S0m,求木棧道AB的長度（結(jié)果保

留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin32°cos32°tan32°gsin42°?=空，cos42°gW,

32208404

tan42°

10

北

20.（8分）甲、乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的1.5倍，兩

人各加工600個這種零件，甲比乙少用5天.

（1）求甲、乙兩人每天各加工多少個這種零件？

（2）已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是150元和120元，現(xiàn)有3000個

這種零件的加工任務(wù)，甲單獨加工一段時間后另有安排，剩余任務(wù)由乙單獨完成.如果

總加工費不超過7800元，那么甲至少加工了多少天？

21.（8分）如圖，在。中，對角線4c與3。相交于點。，點E,F分別為OB,OD

的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

（1）求證：△ABE9XCDF：

（2）當AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

22.（10分）某商店購進一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y

（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使

銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多

少件？

23.（10分）問題提出：

如圖，圖①是一張由三個邊長為1的小正方形組成的“L”形紙片，圖②是一張aXZ,的

方格紙（aXb的方格紙指邊長分別為“，方的矩形，被分成個邊長為1的小正方形,

其中?！?,b22,且a,人為正整數(shù)）.把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的

三個小正方形，共有多少種不同的放置方法？

問題探究：

為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，

最后得出一般性的結(jié)論.

探究一：

把圖①放置在2X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖③，對于2X2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個小正方形，顯然有4種不同的

放置方法.

探究二：

把圖①放置在3義2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖④，在3X2的方格紙中，共可以找到2個位置不同的22X方格，依據(jù)探究一的結(jié)

論可知，把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有2X

4=8種不同的放置方法.

探究三：

把圖①放置在"X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑤，在“X2的方格紙中，共可以找到個位置不同的2X2方格，依據(jù)探究一

的結(jié)論可知，把圖①放置在aX2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有

種不同的放置方法.

探究四：

把圖①放置在"X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑥，在“X3的方格紙中，共可以找到個位置不同的2X2方格，依據(jù)探究一

的結(jié)論可知，把圖①放置在"X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有

種不同的放置方法.

問題解決：

把圖①放置在"Xb的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.）

問題拓展：

如圖，圖⑦是一個由4個棱長為1的小立方體構(gòu)成的幾何體，圖⑧是一個長、寬、高分

別為b,c（“22,c22,且“，b,c是正整數(shù)）的長方體，被分成了aXbXc

個棱長為1的小立方體.在圖⑧的不同位置共可以找到個圖⑦這樣的幾何體.

m田田田田

圖①

圖⑦圖⑧

24.(12分)已知：如圖，在四邊形4BC。中，AB//CD,/4CB=90°,AB^Wcm,BC

=Scm,。力垂直平分AC.點P從點B出發(fā)，沿班方向勻速運動，速度為lcm/s；同

時，點。從點。出發(fā)，沿。C方向勻速運動，速度為1C7M/S;當一個點停止運動，另一

個點也停止運動.過點P作交BC于點E,過點Q作。尸〃AC,分別交AQ,

0。于點凡G.連接OP,EG.設(shè)運動時間為f(s)(0</<5),解答下列問題：

(1)當/為何值時，點E在NBAC的平分線上？

(2)設(shè)四邊形PEG。的面積為S(C/M2),求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻/,使四邊形PEG。的面積最大？若存在，求出

f的值；若不存在，請說明理由；

(4)連接0E,0Q,在運動過程中，是否存在某一時刻3使0EL0Q?若存在，求出

f的值；若不存在，請說明理由.

B

E

2019年山東省青島市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（3分）的相反數(shù)是（）

A.-V3B.-返C.±73D.炳

3

【分析】相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，。的相反數(shù)是0.

【解答】解：根據(jù)相反數(shù)、絕對值的性質(zhì)可知：的相反數(shù)是

故選：D.

【點評】本題考查的是相反數(shù)的求法.要求掌握相反數(shù)定義，并能熟練運用到實際當中.

2.（3分）下列四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：小是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩

部分重合.

3.（3分）2019年1月3日，我國“嫦娥四號”月球探測器在月球背面軟著陸，實現(xiàn)人類有

史以來首次成功登陸月球背面.已知月球與地球之間的平均距離約為384000%相，把

384000b”用科學記數(shù)法可以表示為（）

A.38.4XIO,初？B.3.84X105ta

C.0.384X10D.3.84X106fan

【分析】利用科學記數(shù)法的表示形式即可

【解答】解：

科學記數(shù)法表示：384000=3.84Xl05km

故選：B.

【點評】本題主要考查科學記數(shù)法的表示，把一個數(shù)表示成“與10的〃次基相乘的形式

（iWaVlO,〃為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.

4.（3分）計算（-2m）2*（-的結(jié)果是（）

A.8加B.-8m5C.8/?6D.-4m4+12w5

【分析】根據(jù)積的乘方以及合并同類項進行計算即可.

【解答】解：原式=4序?2加3

—Sm5,

故選：A.

【點評】本題考查了幕的乘方、積的乘方以及合并同類項的法則，掌握運算法則是解題

的關(guān)鍵.

5.（3分）如圖，線段AB經(jīng)過。0的圓心，AC,8。分別與。。相切于點C,D.若AC=

BO=4,ZA=45°,則令的長度為（）

A.itB.2TTC.D.4TT

【分析】連接OC、0D,根據(jù)切線性質(zhì)和NA=45°,易證得△AOC和△80。是等腰直

角三角形，進而求得0C=0C=4,NCOD=90°,根據(jù)弧長公式求得即可.

【解答】解：連接OC、0D,

'：AC,分別與。。相切于點C,D.

：.OCYAC,ODYBD,

：乙4=45°,

AZAOC=45C,

.\AC=0C=4f

9：AC=BD=4,0C=0Q=4,

???OD=BD,

：.ZBOD=45°,

：.ZCOD=\SO°-45°-45°=90°,

??.而的長度為：誓*

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計算等，證得

ZCOD=90°是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）如圖，將線段A8先向右平移5個單位，再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)

A.（-4,1）B.（-1,2）C.（4,-1）D.（1,-2）

【分析】在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)

相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移〃個單位長度；如果把它各個點的縱坐

標都加（或減去）一個整數(shù)。，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移。個單位

長度；

圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標.常見

的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

【解答】解：將線段48先向右平移5個單位，點8(2,1),連接08,順時針旋轉(zhuǎn)90°,

則8對應(yīng)坐標為(1,-2),

故選：D.

【點評】本題考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，熟練運用平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(3分)如圖，是△ABC的角平分線，AELBD,垂足為F.若/ABC=35°,NC=

50°,則的度數(shù)為()

A.35°B.40°C.45°D.50°

【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到NAFB=NEFB,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到4尸=EF,AB=BE,求得AD=OE,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到N

54c=180°-ZABC-ZC=95°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/BE￡>=NBAC=95°,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和平角的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：：8。是△ABC的角平分線，AELBD,

：./ABD=NEBD,NAFB=NEFB,

"：BF=BF,

:./XABFsXEBF(ASA),

：.AF=EF,AB=BE,

：.AD=DE,

VZABC=35°,ZC=50°,

：.ZBAC=\S0a-ZABC-ZC=95°,

rAB=BE

在△DAB與△OEB中，AD=DE,

BD=BD,

：./\ABD^/\EAD(SSS),

:.NBED=/BAD=95°,

AZAD￡=360°-95°-95°-35°=145°,

AZCDE=180°-ZADE=35°,

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，

熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）已知反比例函數(shù)>=生的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=以2一緘和一次函數(shù)y

x

=6x+a在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

【分析】先根據(jù)拋物線2過原點排除A,再反比例函數(shù)圖象確定的符號，再

由6的符號和拋物線對稱軸確定拋物線與直線y=fev+〃的位置關(guān)系，進而得解.

【解答】解：?..當x=0時，尸--Zt=0,即拋物線y=--2x經(jīng)過原點，故A錯誤;

?.?反比例函數(shù)>=生的圖象在第一、三象限，

X

/.ah>09即〃、b同號，

當a<0時，拋物線y=o?-2x的對稱軸x=L〈0,對稱軸在y軸左邊，故。錯誤；

a

當a>0時，b>0,直線y=Z?x+a經(jīng)過第一、二、三象限，故B錯誤，C正確.

故選：C.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖

象與系數(shù)的關(guān)系進行判斷是解題的關(guān)鍵，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）計算：逗兔（V3）°=2、巧+1.

V2——

【分析】根據(jù)二次根式混合運算的法則計算即可.

【解答】解：蟲石叵-（V3）。=2丑+2-1=2丑+1,

V2

故答案為：2，§+1.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟記法則是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2?-x+w=O有兩個相等的實數(shù)根，則，"的值為1.

-8.-

【分析】根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程2?-"加=0有兩個相等的實數(shù)根”，結(jié)合根的判

別式公式，得到關(guān)于機的一元一次方程，解之即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

△=1-4X2m=0,

整理得：1-8加=0,

解得：機=工，

8

故答案為：1.

8

【點評】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵.

11.（3分）射擊比賽中，某隊員10次射擊成績?nèi)鐖D所示，則該隊員的平均成績是8.5環(huán).

【解答】解：該隊員的平均成績?yōu)椤?（1X6+1X7+2X8+4X9+2X10）=8.5（環(huán)）；

10

故答案為：8.5.

【點評】本題考查了加權(quán)平均數(shù)和條形統(tǒng)計圖；熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算公式是解決

問題的關(guān)鍵.

12.（3分）如圖，五邊形A5CDE是。0的內(nèi)接正五邊形，AF是。0的直徑，則F的

度數(shù)是54°.

【分析】連接AD,根據(jù)圓周角定理得到N4￡>F=90°,根據(jù)五邊形的內(nèi)角和得到NABC

=NC=108°,求得/ABD=72°,由圓周角定理得到//=/ABO=72°,求得/布。

=18°,于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接AQ,

是。。的直徑，

:.NADF=90°,

?.,五邊形ABCQE是。。的內(nèi)接正五邊形，

AZABC=ZC=108°,

；.NABD=72°,

:.NF=NABD=72°,

.*.ZMD=18",

：.ZCDF=ZDAF=l8a,

:.NBDF=36°+18°=54°,

故答案為：54.

【點評】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵靈活運用所學知識解

決問題，屬于中考?？碱}型.

13.（3分）如圖，在正方形紙片A8CQ中，E是CZ）的中點，將正方形紙片折疊，點B落

在線段AE上的點G處，折痕為AF.若AQ=4c〃?，則CF的長為6-2證—皿

【分析】設(shè)BF=x,則FG=x,CF=4-x,在RtAG￡F41,利用勾股定理可得EF?=（2疾

-4）2+/,在Rt/\FC￡中，利用勾股定理可得￡產(chǎn)=（4-x）2+22,從而得到關(guān)于x方

程，求解x,最后用4-x即可.

【解答】解：設(shè)則/G=x,CF=4-x.

在RtZ\AOE中，利用勾股定理可得AE=2臟.

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=A8=4,所以GE=2泥-4.

在RtZXGEF中，利用勾股定理可得￡尸=（2臟-4）2+?,

在Rt△尸CE中，利用勾股定理可得￡產(chǎn)=（4-x）2+22,

所以（2泥-4）2+/=（4-X）2+22,

解得x=2V5-2.

則FC=4-x=6-2加.

故答案為6-2^/5-

【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理.折疊問題主要是抓住折疊的不變量，

在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，一個正方體由27個大小相同的小立方塊搭成，現(xiàn)從中取走若干個小立方

塊，得到一個新的幾何體.若新幾何體與原正方體的表面積相等，則最多可以取走4個

【分析】根據(jù)新幾何體的三視圖與原來的幾何體的三視圖相同解答即可.

【解答】解：若新幾何體與原正方體的表面積相等，則新幾何體的三視圖與原來的幾何

體的三視圖相同，所以最多可以取走4個小立方塊.

故答案為：4

【點評】本題主要考查了幾何體的表面積，理解三視圖是解答本題的關(guān)鍵.用到的知識

點為：主視圖，左視圖與俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形.

三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：Za?直線/及/上兩點4,B.

求作：RtAABC,使點C在直線/的上方，且NABC=90°，ZBAC=Za.

【分析】先作/D4B=a,再過8點作BE,AB,則AD與BE的交點為C點.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，

一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

2,2

16.（8分）⑴化簡：即工+（ra+n-2n）；

mm

’1J_式反

（2）解不等式組15、飛5,并寫出它的正整數(shù)解.

3x-l<8

【分析】（1）按分式的運算順序和運算法則計算求值；

（2）先確定不等式組的解集，再求出滿足條件的正整數(shù)解.

【解答】解：（1）原式:變9+m+n-2mn

mm

=IDFxm

1rl（m-n產(chǎn)

=J_;

in-n

⑵卜寺4i■①

3x-l<8②

由①，得x2-1,

由②，得x<3.

所以該不等式組的解集為：-\^x<3.

所以滿足條件的正整數(shù)解為：1、2.

【點評】本題考查了分式的混合運算、不等式組的正整數(shù)解等知識點.解決(1)的關(guān)鍵

是掌握分式的運算法則，解決(2)的關(guān)鍵是確定不等式組的解集.

17.(6分)小明和小剛一起做游戲，游戲規(guī)則如下：將分別標有數(shù)字1,2,3,4的4個小

球放入一個不透明的袋子中，這些球除數(shù)字外都相同.從中隨機摸出一個球記下數(shù)字后

放回，再從中隨機摸出一個球記下數(shù)字.若兩次數(shù)字差的絕對值小于2,則小明獲勝，否

則小剛獲勝.這個游戲?qū)扇斯絾幔空堈f明理由.

【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次數(shù)字差的絕對值小于2的情況數(shù)，分

別求出兩人獲勝的概率，比較即可得到游戲公平與否.

【解答】解：這個游戲?qū)﹄p方不公平.

理由：列表如下:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1：,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1，4)(2,4)(3,4)(4,4)

所有等可能的情況有16種，其中兩次數(shù)字差的絕對值小于2的情況有(1,1),(2,1),

(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)共10種,

故小明獲勝的概率為：則小剛獲勝的概率為：-§-=2,

168168

???5V*3f

88

這個游戲?qū)扇瞬还?

【點評】此題考查了游戲公平性，以及列表法與樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算每

個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

18.（6分）為了解學生每天的睡眠情況，某初中學校從全校800名學生中隨機抽取了40名

學生，調(diào)查了他們平均每天的睡眠時間（單位：〃），統(tǒng)計結(jié)果如下:

9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,

9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.

在對這些數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下的統(tǒng)計圖表:

睡眠時間分組統(tǒng)計表睡眠時間分布情況

組別睡眠時間分組人數(shù)（頻數(shù)）

170<8m

28Wf<911

39&<10n

410W4

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1），〃=7,n=1,4=17.5%,b=45%；

（2）抽取的這40名學生平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在—“組（填組別）；

（3）如果按照學校要求，學生平均每天的睡眠時間應(yīng)不少于9/n請估計該校學生中睡眠

時間符合要求的人數(shù).

睡眠時間分布情況

【分析】（1）根據(jù)40名學生平均每天的睡眠時間即可得出結(jié)果；

（2）由中位數(shù)的定義即可得出結(jié)論；

（3）由學?？?cè)藬?shù)X該校學生中睡眠時間符合要求的人數(shù)所占的比例，即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）7Wf<8時，頻數(shù)為根=7；

9W/V10時,頻數(shù)為”=18；

?,.a=-Lx100%=17.5%；6=運義100%=45%；

4040

故答案為：7,18,17.5%,45%；

（2）由統(tǒng)計表可知，抽取的這40名學生平均每天睡眠時間的中位數(shù)為第20個和第21

個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

落在第3組；

故答案為：3；

（3）該校學生中睡眠時間符合要求的人數(shù)為800義"坦=440（人）；

40

答：估計該校學生中睡眠時間符合要求的人數(shù)為440人.

【點評】本題考查了統(tǒng)計圖的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是仔細地審題，從圖中找到進一步

解題的信息.

19.（6分）如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB,棧道AB與

景區(qū)道路CD平行.在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在。處測得棧道另一

端8位于北偏西32°方向.已知CZ）=120〃?，BD=S0m,求木棧道AB的長度（結(jié)果保

留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin32°心TLcos32°tan32°心”，sin42°%cos42°g反，

32208404

tan420七且）

10

北

6東

【分析】過C作CE_LAB于E,交AB的延長線于F,于是得到CE//DF,推出

四邊形CQFE是矩形，得到EF=C￡>=120,DF=CE,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過C作CE_LA8于E,￡）F_LAB交A8的延長線于凡

則CE//DF,

"."AB//CD,

二四邊形CDFE是矩形,

；.EF=CZ)=120,DF=CE,

在RtZiBD尸中，'：ZBDF=32°,BO=80,

：.DF=cos32°?80=80X11七68,BF=sin32°?B￡>=80xlL2造，

20322

：.BE=EF-

2

在RtZXACE中，VZAC￡=42°,CE=CF=68,

.".AE=CEnan42°=68X±=_12§_,

105

：.AB=AE+BE=l^-+^-^\34m,

25

【點評】本題考查解直角三角形-方向角問題，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線.構(gòu)

造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

20.(8分)甲、乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的1.5倍，兩

人各加工600個這種零件，甲比乙少用5天.

(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個這種零件？

(2)已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是150元和120元，現(xiàn)有3000個

這種零件的加工任務(wù)，甲單獨加工一段時間后另有安排，剩余任務(wù)由乙單獨完成.如果

總加工費不超過7800元，那么甲至少加工了多少天？

【分析】(1)設(shè)乙每天加工x個零件，則甲每天加工1.5x個零件，根據(jù)甲比乙少用5天,

列分式方程求解；

(2)設(shè)甲加工了x天，乙加工了y天，根據(jù)3000個零件，列方程；根據(jù)總加工費不超

過7800元，列不等式，方程和不等式綜合考慮求解即可.

【解答】解：(1)設(shè)乙每天加工x個零件，則甲每天加工1.5x個零件，由題意得：遜_=

X

600空

1.5x

化簡得600X1.5=600+5X1.5x

解得x=40

.\1.5x=60

經(jīng)檢驗，x=40是分式方程的解且符合實際意義.

答：甲每天加工60個零件，乙每天加工，40個零件.

(2)設(shè)甲加工了x天，乙加工了y天，則由題意得

f60x+40y=3000①

1150x+120y<7800②

由①得了=75-1.5x③

將③代入②得150X+120(75-1.5x)W7800

解得x240,

當x=40時，y=l5,符合問題的實際意義.

答：甲至少加工了40天.

【點評】本題是分式方程與不等式的實際應(yīng)用題，題目數(shù)量關(guān)系清晰，難度不大.

21.(8分)如圖，在uABCO中，對角線AC與80相交于點。，點E,尸分別為OB,OD

的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：ZXABE之△CDF；

(2)當A3與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

G

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AB^CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,由平

行線的性質(zhì)得出/A8E=NCDF,證出BE=￡>F,由SAS證明△A8Etg△CDF即可；

(2)證出AB=OA,由等腰三角形的性質(zhì)得出AG1OB,NOEG=90°,同理：CFL

OD,得出EG//CF,由三角形中位線定理得出OE〃CG,EF//CG,得出四邊形EGCF

是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,

：.NABE=NCDF,

■:氤E,F分別為。分。。的中點，

:.BE=LOB,DF=1-OD,

22

：.BE=DF,

'AB=CD

在aABE和中，，NBAE=/CDF，

BE=DF

A/\ABE^^CDF（SAS）；

（2）解：當4c=2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：

'：AC=20A,AC=2AB,

：.AB=OA,

是OB的中點，

J.AG^OB,

：.ZOEG=90°,

同理：CF1OD,

：.AG//CF,

：.EG//CF,

,:EG=AE,OA=OC,

：.OE是XACG的中位線，

OE//CG,

：.EF//CG,

四邊形EGCF是平行四邊形，

VZOEG=90°,

四邊形EGCF是矩形.

【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定、三角

形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

22.（10分）某商店購進一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y

（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使

銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多

少件?

V件

100---------\

飛II

°3045X/元

【分析】(1)將點(30,150)、(80,100)代入一次函數(shù)表達式，即可求解；

(2)由題意得卬=(x-30)(-2x+160)=-2(%-55)2+1250,即可求解；

(3)由題意得(x-30)(-2x+160))800,解不等式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

將點(30,100)、(45,70)代入一次函數(shù)表達式得：［l0°=30k+b,

l70=45k+b

解得：『=-2,

lb=160

故函數(shù)的表達式為：y=-2A-+160；

(2)由題意得：w=(x-30)(-2x+l60)=-2(%-55)2+1250,

V-2<0,故當x<55時，w隨x的增大而增大，而30WxW50,

.?.當x=50時、卬由最大值，此時，卬=1200,

故銷售單價定為50元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤1200元；

(3)由題意得：(x-30)(-2r+160)2800,

解得：xW70,

,每天的銷售量y=-2x+160N20,

.?.每天的銷售量最少應(yīng)為20件.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次不等式的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一

次函數(shù)解析式等知識，正確利用銷量X每件的利潤=必得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

23.(10分)問題提出:

如圖，圖①是一張由三個邊長為1的小正方形組成的“L”形紙片，圖②是一張aX匕的

方格紙工義6的方格紙指邊長分別為小匕的矩形，被分成aX6個邊長為1的小正方形,

其中“22,且a,b為正整數(shù)).把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的

三個小正方形，共有多少種不同的放置方法？

問題探究：

為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，

最后得出一般性的結(jié)論.

探究一：

把圖①放置在2X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖③，對于2X2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個小正方形，顯然有4種不同的

放置方法.

探究二：

把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖④，在3X2的方格紙中，共可以找到2個位置不同的22X方格，依據(jù)探究一的結(jié)

論可知，把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有2X

4=8種不同的放置方法.

探究三：

把圖①放置在aX2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑤，在“X2的方格紙中，共可以找到（a-1）個位置不同的2X2方格,依據(jù)

探究一的結(jié)論可知,把圖①放置在aX2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形,

共有（4a-4）種不同的放置方法.

探究四：

把圖①放置在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑥，在“X3的方格紙中，共可以找到（2。-2）個位置不同的2X2方格,依據(jù)

探究一的結(jié)論可知,把圖①放置在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形,

共有（8.-8）種不同的放置方法.

問題解決：

把圖①放置在"X6的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？(仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.)

問題拓展：

如圖，圖⑦是一個由4個棱長為1的小立方體構(gòu)成的兒何體，圖⑧是一個長、寬、高分

別為b,c(.22,622,c22,且mc是正整數(shù))的長方體，被分成了aXbXc

個棱長為1的小立方體.在圖⑥的不同位置共可以找到8(a-1)(匕-1)(c-1)個

圖⑦這樣的幾何體.

田田田田

圖③

圖②

旺M

圖④

圖⑦圖⑧

【分析】對于圖形的變化類的規(guī)律題，首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什

么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真

觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

【解答】解：探究三：

根據(jù)探究二，“X2的方格紙中，共可以找到(a-1)個位置不同的2X2方格，

根據(jù)探究一結(jié)論可知，每個2X2方格中有4種放置方法，所以在aX2的方格紙中，共

可以找到(a-1)X4=(4?-4)種不同的放置方法;

故答案為a-1,4a-4；

探究四：

與探究三相比，本題矩形的寬改變了，可以沿用上一問的思路：邊長為a,有(a-1)條

邊長為2的線段，

同理，邊長為3,則有3-1=2條邊長為2的線段，

所以在“X3的方格中，可以找到2(a-1)=(2a-2)個位置不同的2X2方格，

根據(jù)探究一，在在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有(方-2)

X4=(8a-8)種不同的放置方法.

故答案為2a-2,Sa-8：

問題解決：

在aXb的方格紙中，共可以找到(a-1)(/?-1)個位置不同的2義2方格，

依照探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在aX6的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正

方形，共有4(a-1)1)種不同的放置方法；

問題拓展：

發(fā)現(xiàn)圖⑦示是棱長為2的正方體中的一部分，利用前面的思路，

這個長方體的長寬高分別為a、b、c,則分別可以找到(a-1)、(67)、(c-1)條邊長

為2的線段，

所以在aXbXc的長方體共可以找到(a-1)(b-1)(c-1)位置不同的2X2X2的正

方體，

再根據(jù)探究一類比發(fā)現(xiàn)，每個2X2X2的正方體有8種放置方法，

所以在aX6Xc的長方體中共可以找到8(a-1)(fe-1)(c-1)個圖⑦這樣的幾何體；

故答案為8(a-1)1)(c-1).

【點評】此題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學生通過觀察圖形，分析、歸納并發(fā)

現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)已知：如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,NAC8=90°,AB=\Ocm,