考點(diǎn)12導(dǎo)數(shù)與不等式,函數(shù)零點(diǎn)等原卷版

考點(diǎn)12導(dǎo)數(shù)與不等式、函數(shù)零點(diǎn)【考點(diǎn)剖析】L最新考試說明：1.從近幾年高考命題情況來看，對(duì)這部分內(nèi)容的考查題型有小題也有大題，作為解答題時(shí)難度較大.導(dǎo)數(shù)可以把函數(shù)、方程、不等式等有機(jī)地聯(lián)系在一起.解決函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題，在解題過程中要注意轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的應(yīng)用.此類試題一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，是近幾年高考命題熱點(diǎn).主要有兩種考查類型：（1）確定函數(shù)零點(diǎn)（圖象交點(diǎn)及方程根）的個(gè)數(shù)問題；（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)（圖象交點(diǎn)及方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)的值或取值范圍問題.【2020年高考全國(guó)【卷文數(shù)20】已知函數(shù)/（X）=e'—〃（x+2）.（1）當(dāng)。=1時(shí)，討論/（X）的單調(diào)性；（2）若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.[2020年高考全國(guó)III卷文數(shù)20]已知函數(shù)/（x）=d—丘+公（1）討論了（X）的單調(diào)性：（2）若/（X）有三個(gè)零點(diǎn)，求我的取值范圍.2.利用導(dǎo)數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題是高考的熱點(diǎn)，常以解答題形式出現(xiàn)，難度較大.常涉及不等式成立、恒成立、證明不等式、比較兩數(shù)（兩函數(shù)）大小問題等.問題的分類與解決思路：（1）不等式成立、恒成立問題：一般參變分離、轉(zhuǎn)化為最值問題；（2）證明不等式、比較兩函數(shù)大小問題：構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題.[2020年高考全國(guó)II卷理數(shù)21]已知函數(shù)/（x）=sin2asui2x.（1）討論f（x）在區(qū)間（0,萬(wàn)）的單調(diào)性;（2）證明：I"刈4半；3“（3）設(shè)〃wN",證明：sin2xsin22xsiii24.v---siii22ka<—.4〃【2020年高考天津卷20】已知函數(shù)/（x）=f+klnx（kwR）,/'（x）為/*）的導(dǎo)函數(shù).第1頁(yè)共9頁(yè)(I)當(dāng)k=6時(shí)，(i)求曲線)=/(x)在點(diǎn)(1JQ))處的切線方程；(11)求函數(shù)g(x)=/(x)-/*(x)+-的單調(diào)區(qū)間和極值；X(II)當(dāng)上》一3時(shí)，求證：對(duì)任意的演，X,,且X］，有Jd(')>'(\)./(1)2 xY-x2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值是近幾年高考的熱點(diǎn)..選擇題、填空題側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解答題側(cè)重于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，往往與函數(shù)、解析幾何、不等式、數(shù)列等交匯命題，一般難度較大..利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的最優(yōu)化問題，近幾年考查也較多..課本結(jié)論總結(jié)：.函數(shù)的單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間Q,幼內(nèi)，如果￡(x?0,那么函數(shù)尸f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增：如果F(aO<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減..函數(shù)的極值(1)判斷代加是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)選處連續(xù)時(shí)，①如果在照附近的左側(cè)f(x)>0,右側(cè)(.yXO,那么f(m)是極大值；②如果在照附近的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)r(.y)>0,那么f(m)是極小值.(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟①求f(x):②求方程￡(x)=o的根;③檢查￡(X)在方程f(X)=0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么/Xx)在這個(gè)根處取得極大值:如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值..函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間L，6］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在［a,6］上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在［辦6］上單調(diào)遞增，則叢包為函數(shù)的最小值，皿為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在［a,6］上單調(diào)遞減，則上a)為函數(shù)的最大值,為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在［辦6］上連續(xù)，在Q,8)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在［a,6］上的最大值和最小值的步驟如下：①求f{x)在(a,6)內(nèi)的極值;②將f(x)的各極值與之必進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.第2頁(yè)共9頁(yè).利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；⑵求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),解方程f(x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和￡(x)=0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值：(4)回歸實(shí)際問題作答..不等式問題(1)證明不等式時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問題.(2)求解不等式恒成立問題時(shí)，可以考慮將參數(shù)分離出來，將參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的值域問題..名師二級(jí)結(jié)論：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).(2)導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.①證明f(x)<g(x), 8),可以構(gòu)造函數(shù)尸(x)=f(x)—g(x),如果尸’(x)<0,則尸(x)在(a,8)上是減函數(shù)，同時(shí)若尸(加W0,由減函數(shù)的定義可知，大e(a,b)時(shí)，有尸(x)<0,即證明了f(x)〈g(x).②證明f(x)>g(x),(小6),可以構(gòu)造函數(shù)尸(x)=f(x)—g(x),如果F(x)>0,則廣(x)在Q,b)上是增函數(shù)，同時(shí)若Ra)20,由增函數(shù)的定義可知，(a,8)時(shí)，有尸(x)>0,即證明了f(x)>g(x).(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題..課本經(jīng)典習(xí)題：(1)(選修2-2第32頁(yè)B組第1題)L利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式：sinx(0,町；(2)x-x2>0,xe(0,1)：(3)e'>l+x,x￥0；(4)liix<x<e\x>0【解析】(1)令/(x)=x-sinx,則=l-cosx,因?yàn)閤>0所以/'(x)>0得到fW>/(0)即f(x)>0,故上式成立.第3頁(yè)共9頁(yè)(2)令/(1)=工一丁,工￡(0,1),則/'(x)=l-2x,因?yàn)閤e(O,l),所以X￡(O,；)時(shí)，/,(x)>0；所以X￡(g,l)時(shí)，r(x)<0；又"0)=0,/⑴=0,所以/(X)>/(O),即/(x)>0,故X—V>0,xe(0,l)成立.【經(jīng)典理由】在證明不等式時(shí)，可根據(jù)不等式特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，求出函數(shù)的最值，由該函數(shù)在取得最值時(shí)該不等式成立，可得該不等式成立。.考點(diǎn)交匯展示：(1)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)交匯x,x<0例L(2019浙江)已知,函數(shù)/*)=11 1 , .若函數(shù)一內(nèi)一〃恰-.V——(a+l)x"+ax,x>013 2有3個(gè)零點(diǎn)，則A,?<-11b<0B.?<-1,b>0 C.。>一1,b<0D.b>0例2.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知函數(shù)/(x)=smx—ln(l+x),廣。)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：(1)/'(X)在區(qū)間(-1,^)存在唯一極大值點(diǎn)；(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).(2)導(dǎo)數(shù)與不等式交匯例3.【2019年高考天津理數(shù)】已知aeR,設(shè)函數(shù)/*)=1'-2"+2兄若關(guān)于工的不等式[x-alnx,x>L/(x)20在R上恒成立，則〃的取值范圍為A.[0.1] B.[0,2] C.[0,e] D.[l,e]例4.【2019年高考浙江】已知實(shí)數(shù)。。0,設(shè)函數(shù)/(M=alnx+J77T,x>0.(1)當(dāng)。=—2時(shí)，求函數(shù)/5)的單調(diào)區(qū)間；4(2)對(duì)任意均有/㈤〈立，求〃的取值范圍.注：e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).e- 2a(3)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)、不等式、函數(shù)零點(diǎn)交匯例5.【2019年高考天津理數(shù)】設(shè)函數(shù)/(x)=e'cosx,g(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;第4頁(yè)共9頁(yè)<II)當(dāng) 時(shí),證明f(x)+g(x)y-xj>0;TOC\o"1-5"\h\z/ X(III)設(shè)乙為函數(shù)〃—1在區(qū)間2〃兀+q,2〃7t+g內(nèi)的零點(diǎn)，其中〃eN,證明\qz)_ _-2nK-7t e2〃兀+——xn< -2smx0-cosx0【考點(diǎn)分類】熱點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.(2020?湖南省高三模擬)己知函數(shù)/(X)=〃IN+(X—l)/+l(a￡R)./1\(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；⑵證明：當(dāng)-4時(shí)，/(x)>mr2+x3.IDz熱點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個(gè)數(shù)問題(2020?安徽省高三二模)己知函數(shù)/(x)=]/—x+lnx.(1)若函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范闈；(2)當(dāng)ae[l,e)時(shí)，討論方程/(%)=6一^根的個(gè)數(shù).(2020?黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高三)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e、+41nx—at(aeR)(1)若x=l為/(M的極大值點(diǎn)，求。的取值范I制；.(2)當(dāng)。之0時(shí)，判斷y=/(x)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明.熱點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(X—X"I€xX<1(2020?河北省衡水中學(xué)高三)已知函數(shù)’ ，若函數(shù)>=/(1)—心恰有三個(gè)不-x2+10x-9,x>l同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()A.[1,4) B.(-1,16)C.(-l,0]U[L16)D.{0}U[L4)(2020?浙江省高三期末)己知函數(shù)/(x)=e'+G〃—e)x一〃笛.(1)當(dāng)機(jī)=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程；第5頁(yè)共9頁(yè)

(2)當(dāng)初<0時(shí)，證明：/(x)在0」內(nèi)存在唯一零點(diǎn).熱點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，— 一—— ex 小 f(x.)/(尤)一.(2019?福建省高二)已知函數(shù)/(x)= at,1￡(。,+8),當(dāng)廠>王時(shí)，不等式 < -i*iIX - 9X］成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()A.(y,e]B.(y)，e)C.D.A.(y,e]B.(y)，e)C.D..(2020?湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=eA.(1)若力(力=/(司+^--1,求證：4(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；ex(2)不等式〃7[g'"(x)+l](2)不等式〃7[g'"(x)+l]之21X+-Xx>0恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.【方法規(guī)律】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問題.比如要證明對(duì)任意句都有/'(x)2g(x),可設(shè)Mx)=F(x)—g(x)只要利用導(dǎo)數(shù)說明力(x)在［a,8］上的最小值為0即可.解題技巧總結(jié)如下：(1)樹立服務(wù)意識(shí)：所謂“服務(wù)意識(shí)”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)(一般第一問先讓解決出來)，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式.(2)強(qiáng)化變形技巧：所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對(duì)于給出的不等式直接證明無(wú)法下手?，可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)(指數(shù))，移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.(3)巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)一個(gè)“巧妙”.【解題技巧】.利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題是將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用..在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】.函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)20而不是FU)>0(f(x)=0在有限個(gè)點(diǎn)處取到).第6頁(yè)共9頁(yè)

.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，要注意問題的實(shí)際意義.【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】.設(shè)函數(shù)/(x)=[x-lnx(x>0),則下列說法中正確的是().(1AA.7(x)在區(qū)間一,1,(l,e)內(nèi)均有零點(diǎn) B./(冷在區(qū)間一,1,(l,e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)(eJ Ve(1、/(x)在區(qū)間-,1內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(I,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)te)(1、/(x)在區(qū)間-」內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(Le)內(nèi)有零點(diǎn)2.(2020?湖北省黃岡中學(xué)高三)已知函數(shù)/(x)=(lnx+l—狗(e'f—狗，若存在實(shí)數(shù)。使得<02.恒成立，則實(shí)數(shù)〃？的取值范圍是()A.(1,+oc)B.(一叫1)C.(1,2)D.(-2,1)3.函數(shù)/(x)=2"+d—2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.B.1C.D.34.A.(1,+oc)B.(一叫1)C.(1,2)D.(-2,1)3.函數(shù)/(x)=2"+d—2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.B.1C.D.34.(2020安徽省六安一中)若不等式aln(x+l)—2/+3/>0在區(qū)間。戶)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().A.2780B.(2780<21n2'ln5>C.2780D.27 1 ,+s

[21n2 )5.若函數(shù)/(1)=二-“存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()5.A.C.1}-O0,一eB.0.A.C.1}-O0,一eB.0.一Ie)(—oO,0)kJv—eD.(YO,0)50,-6.嗎'一"6.嗎'一",若方程/(x)=g(x)有2不lux111X(2020?四川省高三期末)已知函數(shù)/(x)=———g(x)=第7頁(yè)共9頁(yè)

同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）（1、A.（Y,e） B.0,一 C.（―、O）U（e，+s）D.（e,+8）7.（2020?河南省高三二模）已知函數(shù)〃x）=V+2alnx+3,若%,9e[4,+8）&工々），全42,3],A.[-2,+00)D.D.--對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,〃x）NO恒成立,則〃?5-0,A.[-2,+00)D.D.--對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,〃x）NO恒成立,則〃?5-0,二/D.（2019?江蘇省高二期中）若關(guān)于x的方程（lnx-以）lnx=V有且只有三個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是 .（2020?合肥市第六中學(xué)高三）已知函數(shù)/（x）=xlnx+o￥+l,aeR.（1）如果關(guān)于％的不等式/WNO在x>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；（2）當(dāng)xNl時(shí)，證明：","Vlnx'x?-sin（x-l）-1.（2020?四川省閱中中學(xué)）已知函數(shù)/（切=-一翻一。（。￡/?）.（1）討論/（x）的單調(diào)性；（2）若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)不為，求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明石+%>°-（2020?河南省高三其他）已知函數(shù)/（x）=xe-'（x￡R）.（1）判斷函數(shù)/（X）的單調(diào)性；（2）若方程/（月+2/-3。+1=0有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（3）如果工產(chǎn)工，且/（內(nèi)）=/（々），求證：111（^+x2