2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知為等差數(shù)列，若，，則________.【答案】8【分析】首先根據(jù)題意得到，根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則..故答案為：2．直線m和平面所成角為，則直線m和平面內(nèi)任意直線所成角的取值范圍是_____【答案】【分析】根據(jù)直線與平面所成角的定義得到所成角的最小值為，由三垂線定理可得當(dāng)該平面內(nèi)的直線與已知直線在平面內(nèi)的射影垂直時(shí)，所成角為，達(dá)到最大值．由此即可得到本題答案．【詳解】直線為，平面為，為內(nèi)的任意一條直線．根據(jù)直線與平面所成角的定義，可得與平面所成的角是與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角，直線與平面內(nèi)的直線所成角的最小值為，當(dāng)平面內(nèi)的直線與直線在平面內(nèi)的射影垂直時(shí)，，與也垂直，此時(shí)，所成的角，達(dá)到所成角中的最大值．因此，此直線與該平面內(nèi)任意一條直線所成角的取值范圍是.故答案為：.3．已知等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，則它的項(xiàng)數(shù)是________.【答案】46【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】d＝－1－1＝－2，設(shè)an＝－89，則－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.故答案為：464．若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【分析】由題意，向量,,共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程組即可求解.【詳解】解：因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以向量,,共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得,即，所以，解得，故答案為：.5．在空間直角坐標(biāo)系中，，，則的最小值是________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，以及向量模的計(jì)算公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.6．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________.【答案】【分析】在等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d，由已知得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，繼而有a1＋3d＝a4＝，從而a3＋a5＝2a4，代入可求得答案.【詳解】解：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d，由a1＋a3＋a8＝，得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝，∴a3＋a5＝2a4＝，則cos(a3＋a5)＝cos＝－.故答案：－.7．如圖已知A是所在平面外一點(diǎn)，，E?F分別是的中點(diǎn)，若異面直線與所成角的大小為，則與所成角的大小為___________.【答案】或【分析】取的中點(diǎn)，連接，則或，分別分析這兩種情況下的大小即為與所成角.【詳解】解：如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，則，，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，為等邊三角形，，即與所成角的大小為；當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形，，即與所成角的大小為.故答案為：或.8．如果把地球看成一個(gè)球體，則地球上的北緯緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為_______.【答案】【分析】作出示意圖，北緯緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)是兩個(gè)圓的周長(zhǎng)，其比等于半徑比.【詳解】如圖所示，赤道圓半徑為，北緯圓半徑為.由，可得.所以北緯緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為.【點(diǎn)睛】本題考查球體的結(jié)構(gòu)特征，解答本題需要理解地理中緯線的概念.9．在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑biēnào是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體．如圖，在直角中，為斜邊上的高，，，現(xiàn)將沿翻折△，使得四面體為一個(gè)鱉臑，則四面體的體積為__．【答案】【分析】依題意先過作，再證明平面，再求得的值，最后根據(jù)錐體的體積公式求解即可．【詳解】由題意，，即．要使四面體為鱉臑，根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，需要平面，此時(shí)，，，為直角，由平面，平面，則平面平面，在平面內(nèi)，過作，得平面，在原直角三角形中，由，，得，，．則，，所以，所以，所以．故答案為：．10．已知兩個(gè)不同平面α，β和三條不重合的直線a，b，c，則下列命題：（1）若，，則（2）若a，b在平面α內(nèi)，且，，則（3）若α，β分別經(jīng)過兩異面直線a，b，且，則c必與a或b相交（4）若a，b，c是兩兩互相異面的直線，則存在無數(shù)條直線與a，b，c都相交其中正確的命題是________．（請(qǐng)寫上正確命題的序號(hào)）【答案】（3）（4）【分析】簡(jiǎn)單的反例可以否定（1）（2），利用反證法，借助平行公理可以確認(rèn)（3），通過較為復(fù)雜的構(gòu)造與證明，可以確認(rèn)（4）【詳解】（1）在保持與平面平行的條件下可以在一個(gè)與平行的平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，故a與定直線b所成的角是任意的，故（1）錯(cuò)誤；（2）當(dāng)平行時(shí)，不能保證直線垂直于平面，直線甚至可以在平面內(nèi)，故（2）錯(cuò)誤；（3）假若c既不與a相交，也不與b相交，由于a,c都在α內(nèi)，故a,c平行，同理b,c平行，根據(jù)平行公理得到a,b平行，與已知a,b為異面直線矛盾，故（3）正確；（4）如圖所示，a，b，c是異面直線，上下兩個(gè)平面α，β是分別通過a,c中的一條而與另一條平行的平面，直線b與這兩個(gè)平面都相交，交點(diǎn)A,B都不在直線a,c上.在直線b上任取一點(diǎn)不同于A,B的點(diǎn)P，由于a,b異面，∴P?a，則直線a與點(diǎn)P確定一個(gè)平面，可知這平面與直線c相交，設(shè)交點(diǎn)為Q,連接PQ的直線與直線a必然相交（否則，這條線必在平面β內(nèi))，由于P點(diǎn)的任意性，可知這樣可以做出無數(shù)條直線與a,b,c都相交，故（4）正確.【點(diǎn)睛】本題考查線面的平行相交，異面直線等關(guān)系，關(guān)鍵難點(diǎn)在于（4）的構(gòu)造性證明.11．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為面和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為__.【答案】【分析】由題意，△PEQ周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，P在上，在平面上，設(shè)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為N，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為M，求出MN，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，△PEQ周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，P在上，在平面上，設(shè)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為N，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則即為周長(zhǎng)的最小值，則，由勾股定理得：.故答案為：.12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則下列說法正確的是__________.①線段的最大值是②③與一定異面④三棱錐的體積為定值【答案】①④【分析】過點(diǎn)作出與平面平行的平面，找出其與面的交線，從而確定點(diǎn)在線段上.選項(xiàng)①中線段的最大值可直接得到為；選項(xiàng)②通過建系求向量數(shù)量積來說明與平面不垂直，從而不一定成立；選項(xiàng)③通過構(gòu)造平面來確定位置關(guān)系；選項(xiàng)④通過證明平面，來說明三棱錐即的體積為定值.【詳解】如圖，延長(zhǎng)至，使得，則有取的中點(diǎn)，連接，則有，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn).因?yàn)?，平面，平面所以平?同理可得平面.又，在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面平面.故點(diǎn)在線段上.由圖知，，故選項(xiàng)①正確；以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.，，.因?yàn)椋耘c不垂直，而點(diǎn)在線段上，所以條件不一定成立，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；如圖，連接，，，則有，且，故四邊形為梯形，與為相交直線，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.故線段上的點(diǎn)到平面的距離都相等.又點(diǎn)在線段上，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)④正確.故答案為：①④.【點(diǎn)睛】立體幾何問題中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)問題，可以從一下幾點(diǎn)考慮：(1)先作輔助線，找出動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡.(2)判斷與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的條件是否成立常需結(jié)合動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡，利用線線、線面、面面位置關(guān)系求解，或線線、線面、面面位置關(guān)系的判定或性質(zhì)求解，或建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.二、單選題13．已知向量，，是空間不共面的三個(gè)向量，則下列可以表示空間任何向量的一組向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A，由，則是共面向量，即其不可以作為空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然不是共面向量，即其可以作為空間向量一個(gè)基底，故B正確；對(duì)于C，由，則是共面向量，即其不可以作為空間向量一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則是共面向量，即其不可以作為空間向量一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤．即A，C，D選項(xiàng)都是共面向量，因此不能作為空間向量一個(gè)基底．故選：B．14．現(xiàn)有兩個(gè)所有棱長(zhǎng)都是2的正四棱錐，讓它們的底面完全重合，拼成一個(gè)新的多面體，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．這個(gè)多面體有8個(gè)面和12條棱B．這個(gè)多面體有6對(duì)棱互相平行C．這個(gè)多面體有4對(duì)面互相垂直D．這個(gè)多面體所有的頂點(diǎn)在一個(gè)半徑為的球面上【答案】C【分析】通過數(shù)數(shù)可以判斷A；通過線線平行的證明可以判斷B；算出面面之間的夾角即可判斷C；根據(jù)O到八個(gè)頂點(diǎn)的距離即可判斷D.【詳解】由題意，多面體是一個(gè)八面體，且棱長(zhǎng)均為2，如圖1，通過數(shù)數(shù)可知A正確；因?yàn)椋晒垂啥ɡ硪椎?，所以與全等，則，由于，所以四點(diǎn)共面，于是.同理可得：，故該八面體有6對(duì)平行棱，故B正確；對(duì)C，如圖2，根據(jù)該八面體的對(duì)稱性，只考慮面ABC與其它面的情況，分別取AC,BC,DE的中點(diǎn)M,N,P，過點(diǎn)A作BC的平行線l，容易判斷l(xiāng)為面與面的交線.易知均垂直于AC，則是二面角的一個(gè)平面角，易知，所以，即面與面不垂直，根據(jù)對(duì)稱性，面與面不垂直.易知均垂直于l，則是二面角的一個(gè)平面角，易知，所以，即面與面不垂直.而由B中推理可知，所以面面，同理面面，面面，面面，則面與該八面體其它各面均不垂直.根據(jù)對(duì)稱性可知，該八面體不存在兩個(gè)面互相垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)镺到八個(gè)頂點(diǎn)的距離均為，則該多面體所有的頂點(diǎn)在一個(gè)半徑為的球面上，所以D正確.故選：C.15．已知a?b為異面直線，則下列命題正確的是（

）A．過直線a?b外一點(diǎn)P一定可以作一條與a?b都平行的直線B．過直線a?b外一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)與a?b都平行的平面C．過直線a一定可以作一個(gè)與直線b平行的平面D．過直線a一定可以作一個(gè)與直線b垂直的平面【答案】C【分析】A、用反證法說明a，b為異面直線時(shí)，過a，b外一點(diǎn)P引條直線l與a、b不能都平行；B、當(dāng)a，b為異面直線時(shí)，過兩直線外一點(diǎn)P作平面，該平面可能與a，b都平行，這樣的平面也可能不存在；C、當(dāng)a，b為異面直線時(shí)，過a作與b平行的平面有且只有一個(gè)；D、當(dāng)a，b為異面直線時(shí)，過a作一個(gè)平面可能與b垂直也可能與b不垂直.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)a，b為異面直線，假設(shè)過a，b外一點(diǎn)P引一條直線l與a，b都平行，即l∥a，l∥b，則a∥b，這與a、b是異面直線相矛盾，∴假設(shè)不成立.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：a，b為異面直線，∴a，b不平行.∴過P作a的平行線有且只有一條，設(shè)為c，過P作b的平行線有且只有一條設(shè)為d，則a、b的平行線只能組成一個(gè)平面，設(shè)為平面A.①如果c恰好和b相交或者d與a相交，即當(dāng)a或者b正好在A平面內(nèi)時(shí)，過P且與a、b都平行的平面不存在；②如果c不與b相交或者d不與a相交，過P且與a、b都平行的平面有且只有一個(gè).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：∵a、b為異面直線，∴a、b不平行，在a上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線c∥b，c是唯一的.又a∩c=P，∴由a、c確定的平面α也是唯一的，∴b∥α，∴.C正確.對(duì)于D：∵a、b為異面直線，但a與b不一定垂直，過a作一個(gè)平面可能與b垂直，也可能與b平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.16．已知正方體，點(diǎn)，，分別是線段，和上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：①對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；②對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；③對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；④對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得．其中正確的結(jié)論是（

）A．① B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體的性質(zhì)，分別分析選項(xiàng)，利用排除法可得結(jié)論．【詳解】①當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，，且，所以平面，因?yàn)閷?duì)于任意給定的點(diǎn)，都有平面，所以對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，所以①正確；②只有平面，即平面時(shí)，才能滿足對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，因?yàn)檫^點(diǎn)與平面垂直的直線只有一條，而，所以②錯(cuò)誤；③當(dāng)與重合時(shí)，在線段上找不到點(diǎn)，使，所以③錯(cuò)誤；④只有當(dāng)平面時(shí)，④才正確，所以對(duì)于任意給定的點(diǎn)不存在點(diǎn)，使，故④錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行．（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為線面垂直．三、解答題17．已知空間三點(diǎn)，，（1）求以為邊的平行四邊形的面積;（2）若向量分別與垂直，且||=，求的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或【詳解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=,||=,cos∠BAC==,∴∠BAC=60°,∴S=||·||sin∠BAC=7.(2)設(shè)向量=(x,y,z),則由·=0,·=0,||=,得∴或∴=(1,1,1)或(-1,-1,-1).【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示以及向量夾交余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行;（2）兩向量垂直.18．如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成．已知球的直徑是6cm，圓柱筒長(zhǎng)2cm．(1)這種“浮球”的體積是多少（結(jié)果精確到）？(2)要在這樣2500個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100g，共需膠多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)球的體積公式及圓柱的體積公式即可求解；（2）根據(jù)球的表面積公式及圓柱的側(cè)面積公式，求出1個(gè)“浮球”的表面積，進(jìn)而可得2500個(gè)“浮球”的表面積的和，從而即可求解.【詳解】（1）解：∵球的直徑是6cm，可得半徑R=3cm，∴兩個(gè)半球的體積之和，而，∴該“浮球”的體積；（2）解：根據(jù)題意，上下兩個(gè)半球的表面積為，而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積，∴1個(gè)“浮球”的表面積，∴2500個(gè)“浮球”的表面積的和為，∵每平方米需要涂膠100g，∴總共需要膠的質(zhì)量為．19．如圖所示，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為的正方形，球在圓柱內(nèi)，且與圓柱的上、下底面均相切.(1)求球的表面積；(2)若為圓柱下底面圓弧的中點(diǎn)，求平面截球所得截面的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）求出球的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果；（2）計(jì)算出球心到平面的距離，可求得截面圓的半徑，利用圓的周長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意可知，球的直徑為，則，因此，球的表面積為.（2）解：連接、、、，為弧的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，，故平面，，則，，，則，因?yàn)榕c圓柱的上底面垂直，而為上底面圓的一條直徑，則，，平面，平面，則，因?yàn)?，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，點(diǎn)到平面的距離，所以，平面截球所得截面圓的周長(zhǎng)為.20．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求；（2）求，及的最小值．【答案】（1）（2）,．【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式即可得出；（2）由于，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式可得，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：（1）為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差設(shè)為，則依題意有，解得，．（2），．設(shè)，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，首項(xiàng)為