北京大學數(shù)學物理方法經(jīng)典課件第五章——傅里葉變換

1、2目的與要求目的與要求：了解了解在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里 葉級數(shù)展開法；掌握周葉級數(shù)展開法；掌握周期函數(shù)的期函數(shù)的展開、定義和性質；展開、定義和性質；函數(shù)的函數(shù)的 定義與性質。定義與性質。重點：重點：難點：難點：傅里葉變換傅里葉變換、函數(shù)。函數(shù)。函數(shù)的概念。函數(shù)的概念。 18071807年年1212月月2121日，日，fourierfourier向法國科學院宣布：任意的周向法國科學院宣布：任意的周期函數(shù)都能展開成正弦及余期函數(shù)都能展開成正弦及余弦的無窮級數(shù)。當時整個科學院，弦的無窮級數(shù)。當時整個科學院，包括拉格朗日等，都認為他的結果是荒謬的。包括拉格朗日等，都認為他

2、的結果是荒謬的。傅立葉的兩個最主要的貢獻傅立葉的兩個最主要的貢獻: “” 傅里葉的第一個主要論點傅里葉的第一個主要論點 “” 傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點4 1.1.波的疊加波的疊加 在普通物理學中在普通物理學中, ,我們已經(jīng)知道最簡單的波是諧波我們已經(jīng)知道最簡單的波是諧波( (正弦正弦波波),),它是形如它是形如 asin(t+)的波的波, ,其中其中a是振幅是振幅, ,是角頻率是角頻率, , 是初相位是初相位. .其他的波如矩形波其他的波如矩形波, ,鋸齒形波等往往都可以用一系列鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來諧波的疊加表示出來. .非正弦周期函數(shù)非正弦周期函

3、數(shù): :矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當當當當5tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu 6)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu )0,( tt 由上例可以由上例可以：一個：一個周期為周期為2l的的 可以可以看作是許多不同頻率的簡諧函數(shù)的疊加看作是許多不同頻率的簡諧函數(shù)的疊加. .)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 7,1cos,xl sin,xl cos2,xl sin2,xl cos,xkl

4、sin,xkl , l l此此函函數(shù)數(shù)族族在在上上正正交交: :即即-l, ,l 上的積分等于上的積分等于 0 . .其中任意兩個不同的函數(shù)之積在其中任意兩個不同的函數(shù)之積在 2. 三角函數(shù)族及其正交性三角函數(shù)族及其正交性上的積分不等于上的積分不等于 0 .0 .兩個相同的函數(shù)的乘積在兩個相同的函數(shù)的乘積在-l, ,l 8證證: :1 cosdllk xxl 1 sind0llk xxl (1,2,)k sin0lllk xkl cosdlllk xk xkll 同理可證同理可證 : :任意兩個不同的函數(shù)之積在任意兩個不同的函數(shù)之積在-l,l上的積分等于上的積分等于 0 .912cos()co

5、s()dllxxknknxllcoscosk xn xll)(nk coscosdllk xn xxll0sinsind0llk xn xxll同理可證同理可證 : :12cos()cos()xxknknllcossind0llk xn xxll)(nk 101 1d2llxl2sindllk xxl 2cosd1 cos2d2llllk xxlk xlxl (1,2,)k 1 cos2d2llkxlxl 兩個相同的函數(shù)的乘積在兩個相同的函數(shù)的乘積在-l,l 上的積分不等于上的積分不等于 0 .證證: :11如果周期為如果周期為2l 的函數(shù)的函數(shù) f (x)滿足滿足,則它可以展開式為下列級數(shù)則

6、它可以展開式為下列級數(shù)01( )cossin2kkkakxkxf xabll(在在 f (x) 的連續(xù)點處的連續(xù)點處) 3.3.式式 稱為稱為f(x) )的的 .式中式中a0, ak, bk稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的的問題問題: a0, ak, bk 等于什么等于什么? ?我們利用三角函數(shù)族的正交性來求解我們利用三角函數(shù)族的正交性來求解1201( )ddcosdsind2llllkkkllllakkfabll0a l對在對在-l,l逐項積分逐項積分, 得得0( )cosdcosd2llllakkfll01( )dllafl1ncoscosdlnlknall cossindlnlknbll 2c

7、osdlklkal ka l乘乘 在在-l,l逐項積分并運用正交性逐項積分并運用正交性, 得得coskl由三角函數(shù)的正交性由三角函數(shù)的正交性由三角函數(shù)的正交性得由三角函數(shù)的正交性得n=k由三角函數(shù)的正交性由三角函數(shù)的正交性131( )cosdlklkafll),2, 1(k1( )sind(1, 2,)lklkbfkll類似地類似地, , 用用 sin k/l 乘乘 式兩邊式兩邊, , 再逐項積分可得再逐項積分可得1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 01( )cossin2kkkakxkxf xabll14(1)處處連續(xù)，或在

8、每個周期內只有有限個處處連續(xù)，或在每個周期內只有有限個； (2)在每個周期內只有有限個極值點，則在每個周期內只有有限個極值點，則傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)收斂，收斂，且且在在收斂點收斂點有：有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll在在間斷點間斷點有：有： 0112 ()()(cossin)kkkk xk xf xf xaabll狄里希利定理狄里希利定理 : 若函數(shù)若函數(shù)f(x)滿足條件：滿足條件： 4. 4. 傅里葉級數(shù)的收斂性定理傅里葉級數(shù)的收斂性定理 如果如果f(x)在間斷點在間斷點x0處左右極限存在處左右極限存在, 則稱點則稱點x0為為f(x) 的第一類間斷點的第一類

9、間斷點.151( )sinkkkxf xbl ( )sind(1, 2,)kkbfkl 其中其中(在在 f (x) 的連續(xù)點處的連續(xù)點處)l20l 如果如果 f (x) 為為, , 則則a0和和ak均為零，即有均為零，即有01( )cossin2kkkakxkxf xabll1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 16 如果如果 f (x) 為為,則則bk為零，即有為零，即有(在在 f (x) 的連續(xù)點處的連續(xù)點處)01( )cos2kkakxf xal02( )cosd(0,1, 2,)lkkaf xkll 其中其中注注: :

10、無論哪種情況無論哪種情況 , ,).()(21xfxf在在 f (x) 的間斷點的間斷點 x 處處, ,傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)都收斂于都收斂于1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 01( )cossin2kkkakxkxf xabll17當函數(shù)定義在當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間任意有限區(qū)間上時上時, ,變換法變換法0( ) , , f xxl令2,lxz即即2lzx2( )( )(),lf zf xf zz22,ll在22,ll上展成傅里葉級數(shù)上展成傅里葉級數(shù)( )f z周期延拓將將2lzx)(xf在0 , l回代入展開式回代入展開式

11、上的傅里葉級數(shù)上的傅里葉級數(shù) 其傅里葉展開方法其傅里葉展開方法: :（三）（三） 有限區(qū)間中的函數(shù)的傅里葉展開有限區(qū)間中的函數(shù)的傅里葉展開* *( (自學自學) )18延拓法延拓法0( ) , , f xxl在0 , l上展成正弦或余弦級數(shù)上展成正弦或余弦級數(shù)( )f x奇或偶式周期延拓奇或偶式周期延拓19利用利用已知周期為已知周期為 2 l 的周期函數(shù)的周期函數(shù)f (x)可展開為級數(shù)可展開為級數(shù)：012kk( )cossinkkkaxxf xabll12kkiikcoseexxllxl12kkiiksineeixxllxl01( )22kkaaf xiieexlkkxli2kbkiieek

12、xlxl01i22kkkaabi2kkabiek xliek xl0ckckc（四）（四） 復數(shù)形式的傅里葉展開復數(shù)形式的傅里葉展開2012i( )edklllfl 12( )dllfl200ac i1 1k( )cosd22lkkklabcfll i( )sindllkfll1kk( )cosi sind2llflll11 22i( )ed(, ,)klllfkl 注意到注意到i2kkkabc同理同理(1, 2,)k 21傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式: :i1( )ed2kllklcfli( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k 因此得因此得例例2 2：矩形波矩形波1(

13、2,(21) )( )1(21) ,2)mmf xmm i(),kxkkfxc e 0iii0111( )11222kkkkcfededed 212121i()()inxnfxen x110 2i0i01111()()2i2ikkeekk 0(2 )2(21).i (21)knknn 解：解：coskk=2n: cosk=1k=2n+1: cosk=- -111( 1) ( 1)12 ikkk 231. 周期為周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式)(xf20a1cossinkkkk xk xabll(x 間斷點間斷點)其中其中1( )cosdlklkafll1( )

14、sindlklkbfll(0,1,)k (1,2,)k 當當f (x)為奇為奇( (偶偶) ) 函數(shù)時函數(shù)時,為正弦為正弦(余弦余弦) 級數(shù)級數(shù). 2. 2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換變換延拓延拓3. 3. 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式 利用歐拉公式導出利用歐拉公式導出24 1 225 周期函數(shù)的性質是周期函數(shù)的性質是f(x+2l)=f(x), x每增大每增大2l，函數(shù)值就重復，函數(shù)值就重復一次，非周期函數(shù)沒有這個性質，但可以認為它是周期一次，非周期函數(shù)沒有這個性質，但可以認為它是周期2l的周期函數(shù)。所以，我們也可以把非周期函數(shù)展開為

15、所謂的周期函數(shù)。所以，我們也可以把非周期函數(shù)展開為所謂“”?？疾鞆蛿?shù)形式的傅里葉級數(shù)考察復數(shù)形式的傅里葉級數(shù): :i1( )ed2k xlllkf xxlc i( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k （一）（一） 傅里葉變換傅里葉變換2626非周期函數(shù)的復數(shù)形式的非周期函數(shù)的復數(shù)形式的: :i1( )ed2k xlllkf xxlc i( )limek xllkkf xc (0, 1,2,)k 1/kkkl i( )ed2lxkklkf xcx i( )limekxklkf xc /(0, 1,2,)kklk上式改寫為：上式改寫為：27令令i( )( )ed .xf xf 有有i1

16、2( )( )ed ,xff xx 若若 有限，則非周期函數(shù)可以展開為有限，則非周期函數(shù)可以展開為lim( )lllfd ii( )lim( )ede2lxkkkllkf xf ii1( ) limeed2xkkklkf ii( )ede12xfd 稱稱f(x)的的稱稱f()的的像函數(shù)像函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)1lim/0;dklklkkl 28傅里葉積分定理傅里葉積分定理：若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間(- - ，+ + )上滿足條件上滿足條件: : (1) (1) 在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件； (2) (2) 在區(qū)間在區(qū)間 (-(- ，+ + ) )上絕對可

17、積（即上絕對可積（即 收收斂），斂）， 則則 f(x) 可表為傅里葉積分，且可表為傅里葉積分，且 傅里葉積分值傅里葉積分值= =()()/ 2f xf x ()f xdx i( )( )ed .xf xf i1( )( )ed ,2xfxff xx f f29奇函數(shù)與偶奇函數(shù)與偶函函數(shù)的傅里葉變換數(shù)的傅里葉變換 傅里葉變換對傅里葉變換對i( )( )dxf xfe-i-iii11( )dd221( )dd21( )cosdd2i( )sindd2( )( )dxxttxfexexfexftxxftxffxxe -i1( )( )d2xff x ex30 當當f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù) 000(

18、)1( )cosdddd1i( )cosd( )sindxxxfftftxftxx 當當f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 01( )( )sinddfftxx 進一步注意到進一步注意到 coscoscossinsintxtxtx 000( )cosd22( )cosdcosdfx xx xftf x 當當f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù) 同理同理,當當f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 000( )sind22( )sindsindfx xx xftf x 31例例100011,(),2rect()10,().2xxaxxaxxa 定義定義:矩形函數(shù)為矩形函數(shù)為0 x1ax( )f xx將矩形脈沖將矩形脈沖 展開為傅里

19、葉積分。展開為傅里葉積分。( )rect()2fhttt0htt( )f tti1( )rect()d22ttf xhett f f解解:矩形脈沖函數(shù)的周期為矩形脈沖函數(shù)的周期為-t,t, 如右圖如右圖.246810-0.20.20.40.60.8112i-isin-ik xk xllkxeel iid22 itttttthhete sin.ht 32(1) (1) 導數(shù)定理導數(shù)定理i1d2d ( )( )dxf xfxxex f f（二）（二） 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質根據(jù)傅里葉積分定理，根據(jù)傅里葉積分定理，lim( )0 xf x ii11( )( )di( )di.22x

20、xfxf xexf x exf f ffxf( )i( ) f f i1( )ed ,2xfxf xx f fddbbbaaau vxu vv uxii11( )( )d22xxf x ef xex i1( )ed ,2xfxf xx f f33 ( )i( )xx ffff(2) (2) 積分定理積分定理()1( )d ()ixff f f 0dxxfx 由變上限積分定理：由變上限積分定理： xfx 由由導數(shù)定理導數(shù)定理( )111( ) ( )( ) ( )( )iiixfdxxf xf ffffffff利用利用導數(shù)定理導數(shù)定理證明，記證明，記 i1( )ed ,2xfxf xx f f

21、0()ddxxxff (3) (3) 相似性定理相似性定理1()()f axfaa f fii11 ()()d( )d22y axyxayf axf ax exf y ea f fi111( )d2yaf y efaaay 比比較較定定義義式式 i1( )ed ,2xfxf xx f f空域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮）空域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮） f(x/2)0 x)2(2f2llll l 02()fx04/ l4/ l x)2(21f2l4l 4l 壓縮擴展11035(4) (4) 延遲定理延遲定理0i0 ()( )xf xxef f fi001 ()()d2xf

22、 xxf xx ex f f 00i1( )d2yxxyxf y ey 0ii1( )d2xyef y ey 0ixef i1( )ed ,2xfxf xx f f(5) (5) 位移定理位移定理xef xf 0i0( )()f f00iii1( )( )d2xxxef xef x ex f f 0()01( )2ixf x edxf 由由定定義義 3600012iicos()xxxee 000001212ii( )cos( )()()()xxf xxf xeeff f ff f00012iisin()ixxxee 00012( )sin()()if xxff f f例例2求：求：0( )co

23、sf xx 的頻譜？的頻譜？解：解：由由 位移定理位移定理xef xf 0i0( )()f f37若若(6) (6) 卷積定理卷積定理fxf 11( )( ) f ffxf 22( )( ) f f和和則則fxfxff 1212()()2()() f f1212()()()()fxfxffxd 12i12( )()d1d2( )( )xfffxexxfx f f-ii121( )( )d d2yxyffy ey 作作代代換換 ii12121( )d ( )d 22yfefy eyff i1( )ed ,2xfxf xx f f38卷積卷積 卷積定理反映了卷積定理反映了兩個傅立葉變換之間的關系，

24、它構成了空兩個傅立葉變換之間的關系，它構成了空間域和頻率域之間的基本關系。卷積對深入理解在傅立葉變換間域和頻率域之間的基本關系。卷積對深入理解在傅立葉變換基礎上的圖像處理技術是十分重要的?；A上的圖像處理技術是十分重要的。dxgfxgxf)()()()(其中其中 是積分偽變量。是積分偽變量。 兩個函數(shù)兩個函數(shù)f(x)和和g(x)的卷積記作的卷積記作f(x)*g(x)，由下式所定義：，由下式所定義：39f( ) 011g(- ) 0-11/2g(x- ) 0-11/2xg( ) 011/2f(x)xg(x)x011011/2例：求如圖所示的例：求如圖所示的f(x)*g(x)，即，即 dxgf)(

25、)(卷積積分的圖解計算卷積積分的圖解計算40f ( ) g(x- ) 0-11/211x0 x 1卷積為卷積為：x/2 0-11/2x-1f ( ) g(x- )1x11 x 2卷積為卷積為：1- x/2x0-11/211f (x)* g(x) x/2 0 x 1f(x)*g(x)= 1 - x/2 1 x 2 0 其它其它22( ) d2() df xxfx （7 7）帕塞瓦爾等式）帕塞瓦爾等式能量守恒能量守恒*2( )d) dfxf xxf xx ii( )d()( )dd()dxxf xxff xeexf ii( )( )ed( ),( )edxxxffxff 2()()dff i1(

26、)ed2),(xfxf xxf f f42 i( )dxf xfe ( (三三) ) 傅里葉變換的物理意義傅里葉變換的物理意義 (ii)dxfee iffe 求和求和 , : ; df 無無窮窮多多個個的的連連續(xù)續(xù)指指數(shù)數(shù)信信號號之之和和; ;信信號號頻頻率率變變化化范范圍圍為為幅幅度度為為無無窮窮域域小小整整個個頻頻振幅譜振幅譜 相位譜相位譜43( (四四) ) 高維傅里葉變換高維傅里葉變換 二維連續(xù)函數(shù)二維連續(xù)函數(shù)f (x,y)的傅里葉變換定義的傅里葉變換定義如下：如下： 設設f (x,y)是兩個獨立變量是兩個獨立變量x,y的函數(shù)，且在的函數(shù)，且在上絕對可上絕對可積，則定義積分積，則定義積

27、分 為二維連續(xù)函數(shù)為二維連續(xù)函數(shù)f (x,y)的的傅里葉變換傅里葉變換，并定義，并定義 為為f(k1,k2)的的逆逆變換變換。 f (x,y)和和f(k1,k2)稱為傅里葉變換對。稱為傅里葉變換對。()121221(,)(,)2id dk xkyf kkfx y ex y （1） （2） ()121212( , )(,)id dk x k yf x yf k k ek k 1 1 二維傅里葉變換二維傅里葉變換44例例2 2: : 求函數(shù)求函數(shù) 0,( , ),axxyyf x yxxyy的傅里葉變換的傅里葉變換(矩孔費瑯和夫衍射矩孔費瑯和夫衍射)。 解：由傅里葉變換關系解：由傅里葉變換關系 (

28、)121221(,)( , )2id dk x kyf k kf x y ex y 有有12122(,)2iiddxyk xkyxyaf k kexey 12212sinsink xk yaxyk xk y 1221211222121121122iiiiiiiiiixyk xkyxyk xk xk yk yaeekkaeeeekk 12iisineeixxx45其幅度譜為其幅度譜為（a a）信號的頻譜圖）信號的頻譜圖 （b b）圖（）圖（a a）的灰度圖）的灰度圖（幅度譜）（幅度譜）圖圖 信號的頻譜圖信號的頻譜圖 k1f(k1,k2)k21212212sinsin,k xk yaxyf k k

29、k xk y 462 2 三維三維fourierfourier變換變換123, ,kk kkrx y z 123i123i3123d ddd, ,k rk x k y k zf rff kek kkf k ekx y zk k 12333i3i1231212d, ,d d dk rk x k y k zf kf r erf k k kfx y z ex y z 4722210( ),rf rerxyzr 求求的的 三三 重重：傅傅 里里 葉葉 變變 換換 。例 312313112id d d()k x k y k xrf k kkeex y zr 2 23 3( ( , , ,) )21232

30、213000112 icosd d dsin d d dcossin d d d()rkrx y zrrk xk yk xkrf k k keerrr 2 23 3由由直直角角坐坐標標與與球球坐坐標標系系間間關關系系: :( ( , , ,) )1231312i( , , )d d d()k x k y k xf kkkf x y z ex y z 2323(,)=(,)=( )f r解解：函函數(shù)數(shù)是是球球對對稱稱函函數(shù)數(shù), ,因因此此采采用用球球坐坐標標較較方方便便. . 由由三三重重傅傅里里葉葉變變換換公公式式：48ii220000i20011sin d dsin dd221dcosd2c

31、oscoscos()()()rkrrkrrkrreerreerreer ii00ii1dcoisicoscoskrkkrkrreekrreek 其中：其中：ii12200ii200ii20022i2i11dd2i21ddi2111i2ii11112i2iii2()()()()()()rrkrkkrrkkrk rk rkrreekrf kkkrereeerkererkeekkkkkk 2323(,)(,)2k49 5.2 1, 550 1. 1. 源與場源與場 質點質點引力場，引力場， 電荷電荷電場，電場， 熱源熱源溫度場溫度場 2.2.點源：質點點源：質點點電荷點電荷點熱源點熱源點光源點光源

32、點電荷激發(fā)的場：點源點電荷激發(fā)的場：點源q0位于位于 0處處，場點位于場點位于r 處的處的電場的數(shù)學表示電場的數(shù)學表示： 3.3.連續(xù)分布的源所產(chǎn)生的場連續(xù)分布的源所產(chǎn)生的場： 無數(shù)個點源產(chǎn)生的場的疊加無數(shù)個點源產(chǎn)生的場的疊加。 如何描述點源如何描述點源? ?204rqe51 在物理學中對于在物理學中對于在某種坐標系下高在某種坐標系下高度集中的量，如點電荷、點光源、質點度集中的量，如點電荷、點光源、質點以及又窄又強的電脈沖等，常用一個特以及又窄又強的電脈沖等，常用一個特殊的函數(shù)殊的函數(shù)來描述。來描述。 0lm/2/ l2/ l)(xlx 設質量設質量m均勻分布在均勻分布在長為長為l的線段的線段

33、- -l/2,l/2上（上（如圖如圖）, 進一步設線的單位長度質量即進一步設線的單位長度質量即線質量密度線質量密度為為 l ：0(/2)( )/(/2)lxlxm lxl 下面我們從質點的描述來引入下面我們從質點的描述來引入( )rectlmxxll 引引入入矩矩形形函函數(shù)數(shù) 52/2/2( )lllmxxxml dd線段總質量：線段總質量：llllxxxxm/20/2lim( )d( )d, 0l 時，線段收縮為質點時，線段收縮為質點(x=0)。設線段在收縮為。設線段在收縮為當線段在當線段在質點的極限下總質量不變，即質點的極限下總質量不變，即0l ，即線段收縮為質點，即線段收縮為質點(x=0

34、)。為為當線段在當線段在lllxmxxxxll000,(0)( )lim( )limrect().(0) 5353引入引入： 函數(shù)函數(shù)0(0)( )(0)xxx xx ( )d1 x( )x0一般地，我們有一般地，我們有：0000, (), xxxxxx 01()d.xxx 且且 量綱為：量綱為：1/x (x)的形象描述見（圖示）的形象描述見（圖示） 54(1) 0000()()()( )()( )xxxxxxxxx 函數(shù)函數(shù) 如果對于任意一個在區(qū)間如果對于任意一個在區(qū)間 (,) 上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù) ( )f x恒有恒有 00() ( )d()xxf xxf x為為則稱滿足上式中的函數(shù)則稱滿足上式中的函數(shù) 0()xx函數(shù)函數(shù)， 55(2) (函數(shù)的原函數(shù)函數(shù)的原函數(shù))xxh xttx 0,(0)( )( )d1.(0) 0 x1)(xh