無(wú)失真的信源編碼

無(wú)失真的信源編碼第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日8.1霍夫曼（Huffman）碼設(shè)離散無(wú)記憶信源二進(jìn)制香農(nóng)碼的編碼步驟如下：將信源符號(hào)按概率從大到小的順序排列，為方便起見(jiàn)，令p(x1)≥p(x2)≥…≥p(xn)令p(x0)=0，用pa(xj)，j=i+1表示第i個(gè)碼字的累加概率，則：確定滿足下列不等式的整數(shù)ki，并令ki為第i個(gè)碼字的長(zhǎng)度－log2

p(xn)≤ki<－log2

p(xn)+1將pa(xj)用二進(jìn)制表示，并取小數(shù)點(diǎn)后ki

位作為符號(hào)xi的編碼。第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例有一單符號(hào)離散無(wú)記憶信源對(duì)該信源編二進(jìn)制香農(nóng)碼。其編碼過(guò)程如下表所示。8.1霍夫曼（Huffman）碼第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算出給定信源香農(nóng)碼的平均碼長(zhǎng)若對(duì)上述信源采用等長(zhǎng)編碼，要做到無(wú)失真譯碼，每個(gè)符號(hào)至少要用3個(gè)比特表示。相比較，香農(nóng)編碼對(duì)信源進(jìn)行了壓縮。由離散無(wú)記憶信源熵定義，可計(jì)算出：對(duì)上述信源采用香農(nóng)編碼的信息率為編碼效率為信源熵和信息率之比。則可以看出，編碼效率并不是很高。8.1霍夫曼（Huffman）碼第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)費(fèi)諾編碼費(fèi)諾編碼也是一種常見(jiàn)的信源編碼方法。編碼步驟如下：將概率按從大到小的順序排列，令p(x1)≥p(x2)≥…≥p(xn)按編碼進(jìn)制數(shù)將概率分組，使每組概率盡可能接近或相等。如編二進(jìn)制碼就分成兩組，編m進(jìn)制碼就分成m組。給每一組分配一位碼元。將每一分組再按同樣原則劃分，重復(fù)步驟2和3，直至概率不再可分為止。第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)費(fèi)諾編碼例設(shè)有一單符號(hào)離散信源對(duì)該信源編二進(jìn)制費(fèi)諾碼。編碼過(guò)程如下表。第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)費(fèi)諾編碼該信源的熵為平均碼長(zhǎng)為編碼效率為本例中費(fèi)諾編碼有較高的編碼效率。費(fèi)諾碼比較適合于每次分組概率都很接近的信源。特別是對(duì)每次分組概率都相等的信源進(jìn)行編碼時(shí)，可達(dá)到理想的編碼效率。第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)費(fèi)諾編碼題中碼字還可用碼樹(shù)來(lái)表示，如圖所示。第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼

霍夫曼(Huffman)編碼是一種效率比較高的變長(zhǎng)無(wú)失真信源編碼方法。編碼步驟二進(jìn)制哈夫曼編碼m進(jìn)制哈夫曼編碼第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——編碼步驟將信源符號(hào)按概率從大到小的順序排列，令p(x1)≥p(x2)≥…≥p(xn)給兩個(gè)概率最小的信源符號(hào)p(xn-1)和p(xn)各分配一個(gè)碼位“0”和“1”，將這兩個(gè)信源符號(hào)合并成一個(gè)新符號(hào)，并用這兩個(gè)最小的概率之和作為新符號(hào)的概率，結(jié)果得到一個(gè)只包含(n－1)個(gè)信源符號(hào)的新信源。稱為信源的第一次縮減信源，用S1表示。將縮減信源S1的符號(hào)仍按概率從大到小順序排列，重復(fù)步驟2，得到只含(n－2)個(gè)符號(hào)的縮減信源S2。重復(fù)上述步驟，直至縮減信源只剩兩個(gè)符號(hào)為止，此時(shí)所剩兩個(gè)符號(hào)的概率之和必為1。然后從最后一級(jí)縮減信源開(kāi)始，依編碼路徑向前返回，就得到各信源符號(hào)所對(duì)應(yīng)的碼字。第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼例設(shè)單符號(hào)離散無(wú)記憶信源如下，要求對(duì)信源編二進(jìn)制霍夫曼碼。編碼過(guò)程如下圖（后頁(yè)）。在圖中讀取碼字的時(shí)候，一定要從后向前讀，此時(shí)編出來(lái)的碼字才是可分離的異前置碼。若從前向后讀取碼字，則碼字不可分離。第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼將上圖左右顛倒過(guò)來(lái)重畫(huà)一下，即可得到二進(jìn)制哈夫曼碼的碼樹(shù)。第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日信源熵為：平均碼長(zhǎng)為編碼效率為若采用定長(zhǎng)編碼，碼長(zhǎng)K=3，則編碼效率可見(jiàn)哈夫曼的編碼效率提高了12.7%。第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼注意：哈夫曼的編法并不惟一。每次對(duì)縮減信源兩個(gè)概率最小的符號(hào)分配“0”和“1”碼元是任意的，所以可得到不同的碼字。只要在各次縮減信源中保持碼元分配的一致性，即能得到可分離碼字。不同的碼元分配，得到的具體碼字不同，但碼長(zhǎng)ki不變，平均碼長(zhǎng)也不變，所以沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別；縮減信源時(shí)，若合并后的新符號(hào)概率與其他符號(hào)概率相等，從編碼方法上來(lái)說(shuō)，這幾個(gè)符號(hào)的次序可任意排列，編出的碼都是正確的，但得到的碼字不相同。不同的編法得到的碼字長(zhǎng)度ki也不盡相同。第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例：?jiǎn)畏?hào)離散無(wú)記憶信源，用兩種不同的方法對(duì)其編二進(jìn)制哈夫曼碼。siliWi概率s1s2s3s4s512344101000001000110.40.20.20.10.10.40.20.20.20.40.40.20.60.4010101方法一：合并后的新符號(hào)排在其它相同概率符號(hào)的后面。第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日siliWi概率s1s2s3s4s512344101000001000110.40.20.20.10.10.40.20.20.20.40.40.20.60.4010101

這兩種編碼哪一種更好呢，我們來(lái)計(jì)算一下二者的碼長(zhǎng)。方法二：合并后的新符號(hào)排在其它相同概率符號(hào)的前面。第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日兩種編碼的平均碼長(zhǎng)是一樣的，都是2.2，那一種更好呢，我們可以計(jì)算一下平均碼長(zhǎng)的方差。定義碼字長(zhǎng)度的方差σ2：第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——二進(jìn)制哈夫曼編碼可見(jiàn)：第二種編碼方法的碼長(zhǎng)方差要小許多。意味著第二種編碼方法的碼長(zhǎng)變化較小，比較接近于平均碼長(zhǎng)。第一種方法編出的5個(gè)碼字有4種不同的碼長(zhǎng)；第二種方法編出的碼長(zhǎng)只有兩種不同的碼長(zhǎng)；顯然，第二種編碼方法更簡(jiǎn)單、更容易實(shí)現(xiàn)，所以更好。結(jié)論：在哈夫曼編碼過(guò)程中，對(duì)縮減信源符號(hào)按概率由大到小的順序重新排列時(shí)，應(yīng)使合并后的新符號(hào)盡可能排在靠前的位置，這樣可使合并后的新符號(hào)重復(fù)編碼次數(shù)減少，使短碼得到充分利用。第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——m進(jìn)制哈夫曼編碼“全樹(shù)”概念定義：碼樹(shù)圖中每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)后續(xù)的枝數(shù)為m時(shí)稱為全樹(shù)；若有些節(jié)點(diǎn)的后續(xù)枝數(shù)不足m，就稱為非全樹(shù)。二進(jìn)制碼不存在非全樹(shù)的情況，因?yàn)楹罄m(xù)枝數(shù)是一時(shí)，這個(gè)枝就可以去掉使碼字長(zhǎng)度縮短。對(duì)m進(jìn)制編碼：若所有碼字構(gòu)成全樹(shù)，可分離的碼字?jǐn)?shù)（信源個(gè)數(shù)）必為m+k(m－1)。k為信源縮減次數(shù)。若信源所含的符號(hào)數(shù)n不能構(gòu)成m進(jìn)制全樹(shù)，必須增加s個(gè)不用的碼字形成全樹(shù)。顯然s<m－1，若s=m－1，意味著某個(gè)中間節(jié)點(diǎn)之后只有一個(gè)分枝，為了節(jié)約碼長(zhǎng)，這一分枝可以省略。第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——m進(jìn)制哈夫曼編碼在編m進(jìn)制哈夫曼碼時(shí)為了使平均碼長(zhǎng)最短，必須使最后一步縮減信源有m個(gè)信源符號(hào)。非全樹(shù)時(shí)，有s個(gè)碼字不用：第一次對(duì)最小概率符號(hào)分配碼元時(shí)就只取(m－s)個(gè)，分別配以0,1,…,m－s－1，把這些符號(hào)的概率相加作為一個(gè)新符號(hào)的概率，與其它符號(hào)一起重新排列。以后每次就可以取m個(gè)符號(hào)，分別配以0,1,…,m－1；…；如此下去，直至所有概率相加得1為止，即得到各符號(hào)的m進(jìn)制碼字。第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——m進(jìn)制哈夫曼編碼例：對(duì)如下單符號(hào)離散無(wú)記憶信源(例5.4.1)編三進(jìn)制哈夫曼碼。這里：m=3，n=8令k=3，m+k(m－1)=9，則s=9－n=9－8=1所以第一次取m－s=2個(gè)符號(hào)進(jìn)行編碼。第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——m進(jìn)制哈夫曼編碼第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)霍夫曼編碼——m進(jìn)制哈夫曼編碼平均碼長(zhǎng)為：信息率為：編碼效率為：可見(jiàn)：哈夫曼的編碼效率相當(dāng)高，對(duì)編碼器的要求也簡(jiǎn)單得多。第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日一些結(jié)論香農(nóng)碼、費(fèi)諾碼、哈夫曼碼都考慮了信源的統(tǒng)計(jì)特性，使經(jīng)常出現(xiàn)的信源符號(hào)對(duì)應(yīng)較短的碼字，使信源的平均碼長(zhǎng)縮短，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)信源的壓縮；香農(nóng)碼有系統(tǒng)的、惟一的編碼方法，但在很多情況下編碼效率不是很高；費(fèi)諾碼和哈夫曼碼的編碼方法都不惟一；費(fèi)諾碼比較適合于對(duì)分組概率相等或接近的信源編碼；哈夫曼碼對(duì)信源的統(tǒng)計(jì)特性沒(méi)有特殊要求，編碼效率比較高，對(duì)編碼設(shè)備的要求也比較簡(jiǎn)單，因此綜合性能優(yōu)于香農(nóng)碼和費(fèi)諾碼。第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼香農(nóng)編碼、費(fèi)諾編碼、哈夫曼編碼主要是針對(duì)無(wú)記憶信源。當(dāng)信源有記憶時(shí)上述編碼效率不高；游程編碼對(duì)相關(guān)信源編碼更有效；香農(nóng)編碼、費(fèi)諾編碼、哈夫曼編碼屬于無(wú)失真信源編碼；游程編碼屬于限失真信源編碼。第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼游程：數(shù)字序列中連續(xù)出現(xiàn)相同符號(hào)的一段。二元序列的游程：只有“0”和“1”兩種符號(hào)。連“0”這一段稱為“0”游程，它的長(zhǎng)度稱為游程長(zhǎng)度L(0)；連“1”這一段稱為“1”游程，它的游程長(zhǎng)度用L(1)表示。游程編碼①二元獨(dú)立序列游程長(zhǎng)度概率若規(guī)定二元序列總是從“0”開(kāi)始。對(duì)于隨機(jī)序列，游程長(zhǎng)度是隨機(jī)的其取值可為1,2,3,…，直至無(wú)窮。游程長(zhǎng)度序列/游程序列：用交替出現(xiàn)的“0”游程和“1”游程長(zhǎng)度表示任意二元序列。游程變換：是一種一一對(duì)應(yīng)的變換，也是可逆變換。例如：二元序列：，可變換成如下游程序列：31132131第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼游程變換減弱了原序列符號(hào)間的相關(guān)性。游程變換將二元序列變換成了多元序列；這樣就適合于用其他方法，如哈夫曼編碼，進(jìn)一步壓縮信源，提高通信效率。編碼方法：首先測(cè)定“0”游程長(zhǎng)度和“1”游程長(zhǎng)度的概率分布，即以游程長(zhǎng)度為元素，構(gòu)造一個(gè)新的信源；對(duì)新的信源（游程序列）進(jìn)行哈夫曼編碼。游程編碼第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼②二元獨(dú)立序列游程長(zhǎng)度的熵若二元序列的概率特性已知，由于二元序列與游程變換序列的一一對(duì)應(yīng)性，可計(jì)算出游程序列的概率特性。令“0”和“1”的概率分別為p0和p1，則“0”游程長(zhǎng)度L(0)的概率為

p[L(0)]=p0L(0)－1p1

式中L(0)=1,2,…,在計(jì)算p[L(0)]時(shí)必然已有“0”出現(xiàn)，否則就不是“0”游程，若下一個(gè)符號(hào)是“1”，則游程長(zhǎng)度為1，其概率是p1=1－p0；若下一個(gè)符號(hào)為“0”、再下一個(gè)符號(hào)為“1”，則游程長(zhǎng)度為2，其概率將為p0p1

；依此類推。游程編碼第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼游程編碼游程長(zhǎng)度至少是1，理論上，游程長(zhǎng)度可以是無(wú)窮，但很長(zhǎng)的游程實(shí)際出現(xiàn)的概率非常小。同理可得“1”游程長(zhǎng)度L(1)的概率為：P[L(1)]=p1L(1)-1p0“0”游程長(zhǎng)度的熵：第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼③二元獨(dú)立序列的平均游程長(zhǎng)度“0”游程序列的平均游程長(zhǎng)度同理可得“1”游程長(zhǎng)度的熵和平均游程長(zhǎng)度游程編碼第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼游程編碼④二元獨(dú)立序列的熵“0”游程序列的熵與“1”游程長(zhǎng)度的熵之和除以它們的平均游程長(zhǎng)度之和，即為對(duì)應(yīng)原二元序列的熵H(X)游程變換后符號(hào)熵沒(méi)有變。因?yàn)橛纬套儞Q是一一對(duì)應(yīng)的可逆變換，所以變換后熵值不變。第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼游程變換有較好的去相關(guān)效果，因而對(duì)游程序列進(jìn)行哈夫曼編碼可獲得較高的編碼效率。假設(shè)“0”游程長(zhǎng)度的哈夫曼編碼效率為η0，“1”游程長(zhǎng)度的哈夫曼編碼效率為η1，由編碼效率的定義和式(5.4.9)可得對(duì)應(yīng)二元序列的編碼效率（信源熵和信息率之比為編碼效率η=H(X)/R）當(dāng)“0”游程和“1”游程的編碼效率都很高時(shí)，采用游程編碼的效率也很高，至少不會(huì)低于較小的那個(gè)效率。要想編碼效率盡可能高，應(yīng)盡可能提高熵值較大的游程編碼效率。游程編碼第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼算術(shù)編碼不同于哈夫曼碼，它是非分組（非塊）碼。它從全序列出發(fā)，考慮符號(hào)之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行編碼。算術(shù)編碼利用了累積概率的概念。算術(shù)碼主要的編碼方法是計(jì)算輸入信源符號(hào)序列所對(duì)應(yīng)的區(qū)間。因?yàn)樵诰幋a過(guò)程中，每輸入一個(gè)符號(hào)要進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算，所以稱此編碼方法為算術(shù)編碼。二元序列的算術(shù)編碼可用于黑白圖像的編碼，例如傳真。第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼設(shè)信源符號(hào)集A={a1,a2,…,an}，其相應(yīng)概率分布為P(ai)，

P(ai)>0(i=1,2,…,n)信源符號(hào)的累積分布函數(shù)為：所得累積分布函數(shù)為每臺(tái)級(jí)的下界值，則其區(qū)間為[0,1)左閉右開(kāi)區(qū)間。

F(a1)=0

F(a2)=P(a1)

F(a3)=P(a1)+P(a2)

…當(dāng)A={0,1}二元信源時(shí)：F(0)=0，F(xiàn)(1)=P(0)第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼計(jì)算二元無(wú)記憶信源序列的累積分布函數(shù)初始時(shí)：在[0,1)區(qū)間內(nèi)由F(1)劃分成二個(gè)子區(qū)間[0,F(1))和[F(1),1)，F(xiàn)(1)=P(0)。子區(qū)間[0,F(1))的寬度為A(0)=P(0)，對(duì)應(yīng)于信源符號(hào)“0”；子區(qū)間[F(1),1)的寬度為A(1)=P(1)，對(duì)應(yīng)于信源符號(hào)“1”；若輸入符號(hào)序列的第一個(gè)符號(hào)為s=“0”，落入[0,F(1))區(qū)間，得累積分布函數(shù)F(s=“0”)=F(0)=0；

第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼輸入第二個(gè)符號(hào)為“1”，s=“01”s=“01”所對(duì)應(yīng)的區(qū)間是在區(qū)間[0,F(1))中進(jìn)行分割；符號(hào)序列“00”對(duì)應(yīng)的區(qū)間寬度為:A(00)=A(0)P(0)=P(0)P(0)=P(00)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為[0,F(s=“01”))。符號(hào)序列“01”對(duì)應(yīng)的區(qū)間寬度為

A(01)=A(0)P(1)=P(0)P(1)=P(01)=A(0)－A(00)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為[F(s=“01”),F(1))。累積分布函數(shù)F(s=“01”)=P(00)=P(0)P(0)第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼

輸入第三個(gè)符號(hào)為“1”：輸入序列可記做s1=“011”（若第三個(gè)符號(hào)輸入為“0”，可記做s0=“010”）；現(xiàn)在，輸入序列s1=“011”對(duì)應(yīng)的區(qū)間是對(duì)區(qū)間[F(s),F(1))進(jìn)行分割；序列s0=“010”對(duì)應(yīng)的區(qū)間寬度為

A(s=“010”)=A(s=“01”)P(0)=A(s)P(0)

其對(duì)應(yīng)的區(qū)間為[F(s),F(s)+A(s)P(0))；序列s1=“011”對(duì)應(yīng)的區(qū)間寬度為

A(s=“011”)=A(s)P(1)=A(s=“01”)－A(s=“010”)=A(s)－A(s0)

其對(duì)應(yīng)的區(qū)間為[F(s)+A(s)P(0),F(1))；符號(hào)序列s1=“011”的累積分布函數(shù)為F(s1)=F(s)+A(s)P(0)；若第三個(gè)符號(hào)輸入為“0”，符號(hào)序列s0=“010”的區(qū)間下界值仍為F(s)，得符號(hào)序列s0=“010”的累積分布函數(shù)為F(s0)=F(s)。第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼歸納當(dāng)已知前面輸入符號(hào)序列為s，若接著再輸入一個(gè)符號(hào)“0”，序列s0的累積分布函數(shù)為：F(s0)=F(s)對(duì)應(yīng)區(qū)間寬度為：A(s0)=A(s)P(0)若接著輸入的一個(gè)符號(hào)是“1”，序列的累積分布函數(shù)為：F(s1)=F(s)+A(s)P(0)對(duì)應(yīng)區(qū)間寬度為：A(s1)=A(s)P(1)=A(s)－A(s0)第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼符號(hào)序列對(duì)應(yīng)的區(qū)間寬度A(s=“0”)=P(0)A(s=“1”)=1－A(s=“0”)=P(1)A(s=“00”)=P(00)=A(0)P(0)=P(0)P(0)A(s=“01”)=A(s=“0”)－A(s=“00”)=P(01)=A(0)P(1)=P(0)P(1)A(s=“10”)=P(10)=A(1)P(0)=P(1)P(0)A(s=“11”)=A(s=“1”)－A(s=“10”)=P(11)=A(s=“1”)P(1)=P(1)P(1)A(s=“010”)=A(s=“01”)P(0)=P(01)P(0)＝P(010)A(s=“011”)=A(s=“01”)-A(s=“010”)=A(s=“01”)P(1)=P(01)P(1)=P(011)

信源符號(hào)序列s所對(duì)應(yīng)區(qū)間的寬度等于符號(hào)序列s的概率P(s)。第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼二元信源符號(hào)序列的累積分布函數(shù)的遞推公式F(sr)=F(s)+P(s)F(r)(r=0,1)

sr表示已知前面信源符號(hào)序列為s，接著再輸入符號(hào)為rF(0)=0，F(xiàn)(1)=P(0)F(s0)=F(s)F(s1)=F(s)+P(s)F(1)=F(s)+P(s)P(0)A(sr)=P(sr)=P(s)P(r)(r=0,1)A(s0)=P(s0)=P(s)P(0)A(s1)=P(s1)=P(s)P(1)第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼舉例：已輸入二元符號(hào)序列為s=“011”，接著再輸入符號(hào)為“1”，得序列累積分布函數(shù)為：

F(s1)=F(0111)=F(s=“011”)+P(011)P(0)=F(s=“01”)+P(01)P(0)+P(011)P(0)=F(s=“0”)+P(0)P(0)+P(01)P(0)+P(011)P(0)=0+P(00)+P(010)+P(0110)

對(duì)應(yīng)的區(qū)間寬度為

A(s1)=P(s=“011”)P(1)=P(011)P(1)=P(0111)上述整個(gè)分析過(guò)程可用圖描述式(5.6.1)和(5.6.2)是可遞推運(yùn)算，在實(shí)際中，只需兩個(gè)存儲(chǔ)器，把P(s)和F(s)存下來(lái)，然后，根據(jù)輸入符號(hào)和式(5.6.1)、(5.6.2)更新兩個(gè)存儲(chǔ)器中的數(shù)值。因此在編碼過(guò)程中，每輸入一個(gè)符號(hào)要進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算，所以稱為算術(shù)編碼。第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼

通過(guò)關(guān)于信源符號(hào)序列的累積分布函數(shù)的計(jì)算，把區(qū)間分割成許多小區(qū)間，不同的信源符號(hào)序列對(duì)應(yīng)不同的區(qū)間為[F(s),F(s)+P(s))。可取小區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)來(lái)代表這序列。編碼方法：將符號(hào)序列的累積分布函數(shù)寫(xiě)成二進(jìn)位的小數(shù)，取小數(shù)點(diǎn)后k位，若后面有尾數(shù)，就進(jìn)位到第k位，這樣得到的一個(gè)數(shù)C，并使k滿足舉例第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼編碼效率這樣選取的數(shù)值C，一般根據(jù)二進(jìn)小數(shù)截去尾數(shù)的影響得

C－F(s)<1/2k，當(dāng)在l以后沒(méi)有尾數(shù)時(shí)C=F(s)。

F(s)+1/2k>C而P(s)≥1/2k信源符號(hào)序列對(duì)應(yīng)區(qū)間的上界為F(s)+P(s)≥F(s)+1/2k>C可見(jiàn)，數(shù)值在區(qū)間[F(s),F(s)+P(s))內(nèi)。而信源符號(hào)序列對(duì)應(yīng)的不同區(qū)間（左封右開(kāi)）是不重疊的，所以編得的碼是即時(shí)碼。第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼算術(shù)編碼的編碼效率很高。