河北省廊坊市香河縣2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

河北省廊坊市香河縣2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

閱卷人

-------------------、單選題(共8題；共16分)

得分

1.(2分)已知全集U=R,函數(shù)y=ln(l—%)的定義域為M,集合N={%|/+5久—6<0},則下

列結(jié)論正確的是()

A.MCiN=NB.MUN=U

C.MCI(QN)=0D.Mc(QN)

【答案】A

【解析1【解答】函數(shù)y=ln(l—%)的定義域為M=[x\x<1},

集合N={x\x24-5x—6<0]={x|—6<x<1},

而(QN)={x\x<-6或x>1},

對于A,MCiN={x\x<1}D[x|-6<x<1}={x|-6<x<1}=/V,故正確；

對于B,MUN={x\x<1}U[x|-6<x<1}={x\x<1}=M#U,故錯誤；

對于C,Mn(QN)=(x\x<1}Cl[x\x<-6或%>1}={x\x<-6]豐0,故錯誤；

對于D,由"={刈》<1},(QN)={久|%W-6或％21},所以M不是QN的子集，故錯誤.

故答案為：A.

【分析】求出M=(x\x<1},N={x\x2+5%-6<0}={x|-6<x<1},(QN)={x\x<一6或

%>1}，然后根據(jù)集合的運算逐項判斷可得答案.

2.(2分)下列說法中正確的是()

A.匕>5”是“X>3”的必要不充分條件

B.命題“對V%€R,恒有7+1>0”的否定是F久eR,使得/+1<0”

C.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2工與y=Igx的圖象關(guān)于直線y=%對稱

D.若塞函數(shù)/(x)=機工。過點弓，￥),則m+a=|

【答案】D

【解析】【解答】對于A選項：“x>5”是“X>3”的充分不必要條件，所以A選項不正確；

對于B選項：命題“對VxeR,恒有/+1>0”的否定是叼xeR,使得/+1式0"，所以B選項不

正確；

對于C選項：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2%與y=log2%的圖象關(guān)于直線y=%對稱，所以C選

項不正確；

對于D選項：因為幕函數(shù)/（%）=2過點亭），所以號=7n（/,且6=1,解得a=4,即

m+a=楙，所以D選項正確；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)從充分必要條件判斷A選項；利用全稱命題的否定形式判斷B選項；利用對數(shù)函數(shù)與

指數(shù)函數(shù)的關(guān)系判斷C選項；由嘉函數(shù)的定義求參數(shù)即可判斷D選項.

3.（2分）隨著人們生活水平的提高，產(chǎn)生的垃圾也越來越多，而進行垃圾分類管理能將這些垃圾轉(zhuǎn)

化為新能源，同時還能讓這些垃圾得到有效的處理，這樣能減少對土壤的危害，防止污染空氣，但

是人們對垃圾分類知識了解不多，所以某社區(qū)通過公益講座的形式對社區(qū)居民普及垃圾分類知識，

為了解講座的效果，隨機抽取了10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識

問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖所示，則（）

95%

90%

蓄85%

騫80%*講座前

由75%?講座后

70%

65%

居民編號

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】【解答】解：對于A,講座前問卷答題的正確率從小到大為：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

???講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：70與7咨=72.5%，A不符合題意;

對于B,講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為:

1

高（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）=89.5%>85%,B

符合題意；

對于C,由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，

???講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，C不符合題意；

對于D,講座后問卷答題的正確率的極差為：100%-80%=20%,

講座前正確率的極差為：95%-60%=35%,

???講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】對于A,求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)進行判斷；對于B,求出講座后問卷答題

的正確率的平均數(shù)進行判斷；對于C,由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答

題的正確率相對集中，進行判斷；對于D,求出講座后問卷答題的正確率的極差和講座前正確率的

極差，由此判斷D.

4.（2分）如圖所示，在長方體48。。一4816。1中，40=411=2,AB=4,點E是棱的中

點，則點E到平面AC%的距離為（）

AEB

A.1B.1C.gD.V2

【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)點E到平面AC%的距離為h,

因為點E是棱的中點，

所以點E到平面AC%的距離等于點B到平面AC。1的距離的一半，

又平面ACDi過BO的中點，

所以點B到平面ACDi的距離等于點D到平面ACDi的距離，

由等體積法VD-4CDI=V/Ji-ACD，

-1-1

所以9S"CDi,2h=飛S>ACDeDDI，

SSACD=*X2X4=4，DD]=2,

在△ACDi中，AD±=2V2,AC=CD1=2A/5,

所以S“c4=*x2四xJ(2V5)2-(V2)2=6,

則gx6x2八=恭4x2

解得九=I,

即點E到平面/CD1的距離為|.

故答案為：B.

【分析】設(shè)點E到平面力CQ的距離為h,根據(jù)力_48]VD.-ACD，利用等體積法即可得出答案.

5.的圖像可能是（）

_sM(-x)_sinx

【解析】【解答】解：f（-X）=ln\-x\=~Tn\x\=-f（X）,則函數(shù)f（X）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于

原點對稱,

排除B,D,

函數(shù)的定義域為{x|x，O且x杜1},

由f（x）=0得sinx=0,得距離原點最近的零點為兀,

則￡(I)=普=/<0,排除C,

oZng/rig

故答案為：A.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性，定義域和特值法進行判斷，即可得到函數(shù)圖象.

6.(2分)某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用

分為裝修費和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)

列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高

168萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費

用最多需要()

A.3233萬元B.4706萬元C.4709萬元D.4808萬元

【答案】C

【解析】【解答】設(shè)每個實驗室的裝修費用為x萬元，設(shè)備費為即萬元(n=l,2,3,…，10),

口Ietc—=42,廣廣tI—a1g=42,.?/口（nn=3,t,c

則52所以1：解得4:'故Qio=Qiq9=1536.

。7—=168,——168,1q=2.

依題意入+1536<1700,即x<164.

所以總費用為10x+ai+a2+…+%0=io%+3（匕1）=10%+3069<4709-

故答案為：C.

【分析】設(shè)備費為即萬元，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得的一例=42,,由此可求出a”=口他鄉(xiāng)=

Q7—04=168,

1536；設(shè)每個實驗室的裝修費用為x萬元，由題意可知久+1536W1700,即xW164,再根據(jù)等比數(shù)

列前n項和，即可求出結(jié)果.

7.(2分)已知/(X)=+6℃+b的兩個極值點分別為久1，%2(%1。%2)，且%2=微％1，則

函數(shù)/(X1)—/(%2)=()

A.-1B.1C.1D.與b有關(guān)

【答案】B

2

【解析】【解答】/'(%)=——5ax+6a,故％i+%2=5a,x1x2=6a,S.25a—24a>0,

又42=9％1，所以=2a,%2=3a,故6a=6&2,解得a=0(含■)或者a=1.

此時尤1=2,冷=3，/(x)=^x3—|x2+6x+b>

故fQi)-f(X2)=/X(8_27)遙(4_9)+6(2-3)='

故答案為：B.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用韋達定理得到久i+%2=5a,%ix2=6a,且25a2-24a>0,解方

程組可以得到了i=2,x2—3>a=1從而可求/(%i)-7'(型)。

8.(2分)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子''的稱號，他和阿基米

德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)用[制表示不超過x的最

大整數(shù)，則丫=[對稱為高斯函數(shù)，例如：[一3.5]=-4,[2.1]=2,已知函數(shù)/(%)=黑f+5

。(嗎=[/(%)]，則下列敘述正確的是()

A.g(x)是偶函數(shù)B./(%)在R上是增函數(shù)

C./(%)的值域是(一±,+00)D.g(x)的值域是{—1,0,1}

【答案】B

【解析】【解答】對于A,根據(jù)題意知，〃%)=咨+卜、高.

7v7l+e"Z2l+ex

?..g(2)=[/(2)]=g5一言2]=2,

g(-2)=[/(-2)]=[匿當(dāng)+芻=[島+}=o，

g(2)Kg(-2),.,.函數(shù)g(x)不是偶函數(shù)，A不符合題意；

對于B,?;)/=1+靖在R上是增函數(shù)，則曠=熹在R上是減函數(shù)，則/(%)=￡一高在R上是增函

數(shù)，B符合題意；

對于???即/(%)的

C,,?e”>0,.?1+e”>1,0v-V2,-2<,x<0,.?</(%)<§,

1+e"l+e2)、)2

值域是&,|),c不符合題意；

對于D,?.?/(%)的值域是I),則g(x)的值域是{0,1,2},D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】計算得出g(2),g(-2)判斷選項A不正確；通過分離常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出

/(x)在R上是增函數(shù)，判斷選項B正確；由y=l+e*的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出

/(x)<|，進而判斷選項CD不正確，即可求得結(jié)果.

閱卷人

—二、多選題(共4題；共8分)

得分

9.（2分）已知復(fù)數(shù)z=l+6i，。為z的共趣復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)3=9,則下列結(jié)論正確的是（）

A.3對應(yīng)的點在復(fù)平面的第二象限

B.|o）|=1

C.3的實部為

D.3的虛部為一整i

【答案】B,C

【解析】【解答】解：因為z=l+gi,所以2=1—Ki,

由2z1-V3i（1一、閔）（1-丹i）-2-2萬i1乃.

所以“=萬=強標(biāo)=（］+南（］二廓==一2一亍，

即實部為-義，虛部為一夕，對應(yīng)的點為（_［,—卓）在第三象限,

乙乙LL

1^1=j（一》2+（一空/=+1=1，

AD不符合題意；BC符合題意.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)3=-±-亨i，再根據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部

的定義即可判斷CD；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式可判斷B.

10.（2分）在A4BC中，點。滿足前=反，當(dāng)點E在線段40上（不含A點）移動時，記荏=2荏+

〃而則（）

A.A=2/zB.4=〃

c.3+〃的最小值為1D.2+〃的最小值為4

【答案】B,C

【解析】【解答】???麗=覺，二O是BC中點，則而=/（而+而），又點E在線段40上，即

1..1

A,E,。三點共線，設(shè)ZE=WL4O（0<mW1）,故4E=mA。=2血（48+AC）,4=〃=2m.B對A

不符合題意.

白+〃=3+422J幺?%—1,當(dāng)且僅當(dāng)去—z時,即a=4，c對.

*+〃=*+4在46（0,芻上單調(diào)遞減，當(dāng);1=抓最小值孝，D不符合題意.

故答案為：BC

【分析】根據(jù)中點和向量共線，可得荏=771而=；771(而+照)，進而可得/1=〃=3M，然后根據(jù)

基本不等式以及對勾函數(shù)可求最小值.

11.(2分)已知正數(shù)x,y,z，滿足3X=4，=12Z，則()

12

+C442

<<--=X+y>Z寸<Z

A.6Z3X4yB.XyD.

【答案】A,C

11

【解析】【解答】由題意，可令3、=4丫=122=巾>1,由指對互化得：此3=%，忌"=

y，［og：i2=Z，由換底公式得：=log,n3-^=lo§m44=logm12'則有［+"=B不符合題

思；

-1OA42

=1012,O9

對于A，z~x§)71~gm=SgmW>0，所以％>2z,又因為---=logm81-

logm64=logm||〉o，所以4y>3x,所以4y>3x>6z,A符合題意；

111

為

因+所以z=條；，所以4z2—盯=""二哼次=一型咨<

X-y一=Z-

O

所以xy>4z2,貝ijz(x+y)>4z2,貝ijx+y>4z,所以C符合題思，D不符合題意；

故答案為：AC.

【分析】由題意，可令3”=4y=12Z=7H>1，再利用指數(shù)與對數(shù)的互化公式，得出忒5=

==z,由換底公式得出1+/=再利用對數(shù)的運算法則結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性，再結(jié)合作差比較大小法，進而選出不等式成立的選項。

12.(2分)已知函數(shù)/(久)=黃詈，以下結(jié)論中正確的是()

A./(%)是偶函數(shù)B./(%)有無數(shù)個零點

C./(%)的最小值為一D./(%)的最大值為1

【答案】A,B,D

、cosf—7TX)COS7TX”、

【解析】【解答】對于A選項：因為f(x)的定義域為R,則/(-%)=%:=/(%)，所以

/'(久)是偶函數(shù)，A選項正確；

對于B選項：令/(%)=0,貝!Jcosm=0,所以兀%=而+eZ),解得％=k+eZ),所以

/(%)有無數(shù)個零點，B選項正確；

對于C選項：因為/(1)=一手所以若/(%)的最小值為-熱貝以=1是f(x)的一個極小值點，而

/㈤=(兀x2+7r)sin7rxq2scos7rx,則，⑴=27TSin7r+2cos7r_10)

(%2+1)，、42

x=1不是函數(shù)的極小值點，C選項錯誤；

對于D選項：因為一1wCOS兀XW1,X2+1>1，當(dāng)久=0時，COS7T支取到最大值1,/+1取到最小

值1,所以此時/(%)取到最大值1,D選項正確；

故答案為：ABD.

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值，及最值關(guān)系檢驗各選項即可判

斷.

閱卷入

一三、填空題(共4題；共5分)

得分

13.(1分)已知隨機變量X?B(2,p),P(X=1)=}則。(X)=.

【答案】J

【解析】【解答】解：隨機變量X?B(2,p),則P(X=l)=dp(l—p)=會

即p2—2+/=0,所以p=i,

而D(X)=2xp(l-p)=2x*x(1/

故答案為：!

【分析】根據(jù)二項分布的概率公式求出p=%再根據(jù)二項分布的方差公式計算可得.

14.(1分)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)f(x)=.

?/(x)>0；0/(-%)+/(%)=2.

【答案】x+1(答案不唯一)

【解析】【解答】解：若/(%)=%+1,則/'(%)=1，滿足性質(zhì)①；

/(—%)+/(%)=(-x+l)+(x+l)=2,滿足性質(zhì)②.

故答案為：x+1(答案不唯一)

【分析】根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性和奇偶性求出函數(shù)的解析式即可.

15.（1分）若實數(shù)a>1,b>2滿足2a+b—6=0，則工+言的最小值為

a—1b—Z--------

【答案】4

【解析】【解答】解：：a>l,b>2滿足2a+b-6=0,

2（a-1）+b-2=2,a-l>0,b-2>0,

則〃11+〃11+（2、）[2（a-1）+b-2]x,

a—lb—Za—1b—Z2

=4（4+W+^?）|（4+=|（4+4）=4-

當(dāng)且僅當(dāng)二=斗印且2a+b-6=0即a=尚，b=3時取得最小值為4.

a—1D—zz

故答案為：4.

【分析】先由己知等式變形，得到2（a-1）+b-2=2,再把所求整理，利用基本不等式即可求出最

小值.

16.（2分）倡導(dǎo)環(huán)保意識、生態(tài)意識，構(gòu)建全社會共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為

社會生活中的主流文化.為使排放的廢氣中含有的污染物量減少，某化工企業(yè)探索改良工藝，已知改

良前所排放的廢氣中含有的污染物量為2mg/cm3,首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量為

1.94mg/cm3.設(shè)改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為小（單位：mg/cm3）,首次改良后所排放

3

的廢氣中含有的污染物量為勺（單位：mg/cm）,則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物量rn

（單位：mg/cm3）滿足函數(shù)模型r”=ro-To-x5°'"+P（pcR,n€N*）.

（1）（1分）％-；

（2）（1分）依據(jù)當(dāng)?shù)丨h(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量不能超過0.08mg/cm3,則

至少進行次改良才能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達標(biāo).（參考數(shù)據(jù)：lg2*

0.3）

【答案】（1）2-0.06x5O-5n-°-5（neN*）

（2）6

【解析】【解答】⑴由題意得r0=2,r1=1.94,

所以當(dāng)九=1時，n=r0-(r0-n)x505+P,

即1.94=2-(2-1.94)x505+P,解得p=-0.5,

5n-05

所以rn=2-0.06x5°--(nGN*).

(2)由題意可得%=2-0.06x50-5n-0-5<0.08)

整理得5().5n-0.5>蓋I，即5O.55O.5232，

可得0.5zi—0.5>loggSZ=j.一igz,即n21—ig/+1,

由lg2?0.3,得n之乎+1=5,3-

又nCN*,所以nN6,

故至少進行6次改良才能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達標(biāo).

故答案為：2-0.06x50-5n-a5(nwN*)；6.

【分析】(1)先由2,71=1.94,求出p=-0.5,即可得到心的表達式；

(2)由題意可得％=2-0.06X50-5"一°-530.08,兩邊取對數(shù)，解不等式得到n26,即可得到答案.

閱卷人

四、解答題(共6題；共55分)

得分

*12

17.(10分)已知a<3,設(shè)4={x|%2—(3+a)x+3a<0},B=(x\log3(x+4x+4)>2}.

(1)(5分)若“工€力”是“XCB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)(5分)若“4C4”是“x€CRB”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)解：因為%2—(3+d)x+3a<0,a<3，解得：a<x<3,所以4=(a,3).又因為

2

log3(x+4%+4)>2,即爐+4%―5〉o,所以久<-5或無>1,即B=(―8,—5)U(1,+oo),

因為“xCA”是"xCB”的充分不必要條件，則有所以有(a,3)$(-00,-5)U(l,+00),

即a21且a<3,所以實數(shù)a的取值范圍是aW口，3)

(2)解：因為B=(—8,—5)u(l,+8),所以CRB=[-5,1],又“xe2”是"％eCRB”的必要不

充分條件，則CRB04,即[一5,1]旱(a,3),所以實數(shù)a的取值范圍是aC(-8,-5).

【解析】【分析】(1)先分別解出集合4=(a,3),B=(-00,-5)u(1,+00),由“xeA”是“xe

B”是的充分不必要條件，得到4列不等式，即可求得；

(2)先求出CRB=［—5,1］,由"%eA”是"xeCRB”必要不充分條件，得到CRB崔4即可求出實

數(shù)a的取值范圍.

18.(5分)已知/(%)是定義在［一1,1］上的奇函數(shù)，且/(I)=1,若a,be，且a+

b。0時，有/兜仔)>0恒成立.

Q+/)

(I)用定義證明函數(shù)/(%)在［一1,1］上是增函數(shù)；

(II)解不等式：/(X+1)</(I-X)；

(III)若/(%)<m2-2m+1對所有尤C［-1,1］恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】證明：(I)設(shè)任意xllX2e［-1,1］且Xi<%2，由于/(%)是定義在［一1,1］上的奇函

數(shù)，，/(X2)-f(Xl)=/(久2)+因為X1<x2，所以％2+(-X1)H0,由己知有

9；憶［jl)>0,：%2+(-％1)=%2一%1>0，?,?/■(%2)+/(一/)>0,即/，所

1

-1<X+^<1

以函數(shù)/(%)在［一1,1］上是增函數(shù).(H)由不等式/(%+&<f(l—x)得｛—1S1—久工1,

z1

%+,V1-X

解得OWx</(III)由以上知/(%)最大值為"1)=1,所以要使/(x)Wm2—2m+l對所

有久e［-1,1］,只需1W一2m+1恒成立，得實數(shù)m的取值范圍為mW0或622.

【解析】【分析】(1)由函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明出函數(shù)的單調(diào)性。(2)利用(1)函數(shù)的單調(diào)性即可得

出關(guān)于x的不等式解出即可。(3)由函數(shù)的最大值再結(jié)合二次函數(shù)再指定區(qū)間上的最值情況即可得出

關(guān)于m的不等式，解出m的取值范圍即可。

19.(10分)某校為了解高三學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)情況，隨機抽取高三年級甲、乙兩班學(xué)生進行網(wǎng)絡(luò)問

卷調(diào)查，統(tǒng)計了甲、乙兩班各40人每天的學(xué)習(xí)時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成［3,4),

［4,5),［5,6),［6,7),［7,8］五組，整理得到如下頻率分布直方圖：

2

參考公式：K2二中昂篇備En=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù)①:

P(K2>fc0)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

②若X?N(4,M),貝ijP(〃-c<XW〃+<T)=0.6827,P(〃-2c<XW〃+2c)=

(2)(5分)此次問卷調(diào)查甲班學(xué)生的學(xué)習(xí)時間大致滿足f?N(〃,0.36),其中M等于甲班學(xué)

生學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)，求甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間在區(qū)間(6.2,6.8］的概率.

【答案】(1)解：由頻率分布直方圖可知，甲班學(xué)習(xí)時間不少于6小時的人數(shù)為：

(0.250+0.050)x1X40=12人，則甲班學(xué)習(xí)時間少于6小時的人數(shù)為28人；

同理得乙班學(xué)習(xí)時間不少于6小時的人數(shù)為(0.250+0.200)x1x40=18人，

則甲班學(xué)習(xí)時間少于6小時的人數(shù)為22人.

由此得到2X2列聯(lián)表：

不少于6小時少于6小時總計

甲班122840

乙班182240

總計305080

7

因為/<2=80X(12X22-18X28).=192<3841,

K40x40x30x50

所以沒有95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時間不少于6小時與班級有關(guān).

(2)解：甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)

林=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25X6.5+0.05x7.5=5.6.

<T=VO.36=0.6,

所以P(6.2<fW6.8)=P(〃+c<fW〃+2。)

_PQi—2(r<XW4+2。)—PQi-cr<X</z+cr)

二2

0.9545-0.6827

=------2------=01359.

即甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間在區(qū)間(6.2,6.8］的概率為0.1359.

【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖分別求出甲班、乙班學(xué)習(xí)時間不少于6小時和少于6小

時的人數(shù)，完成2X2列聯(lián)表，計算K的觀測值，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論；

(2)先求出班學(xué)生學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)卬再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解.

20.(10分)△ABC中，內(nèi)角為A,B,C,所對的三邊分別是a,b,c,已知用=M，cosB=

⑴(5分)求盛+金；

(2)(5分)設(shè)瓦5猊=|,求a+c.

【答案】(1)解：???b2=ac???sin2B=sinAsinC

vcosB=不且B為三角形內(nèi)角???sinCA+C)=sinB=—r-

44

**tan?l+tanC-sinA+sinC-7V

(2)解：BA-BC=，cosB=^??CLC-cosB=^ac=

則〃=ac=2

222222

?na+c-ha+c-2(a+c)—2ac—23

?,cosB=-------=----1

2ac4------=----------4-----------=4-T

?<*(a+c)29，a+c=3

【解析】【分析】(1)由正弦定理得silB=sizMs沆C,由題意得sinB=，，再由切化弦和兩角和的

正弦公式，化簡即可得解；

(2)由向量的數(shù)量積的定義可得ac=2,再由余弦定理可得a+c=3.

21.(5分)己知/'(%)=xlnx,g(x)——x2+ax-3.

(I)求函數(shù)/(%)御t,￡+2］(t>0)上的最小值；

(II)若對一切％C(0,+8),2/(%)2g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(III)證明：對一切為e(0,+00),都有血>我一2成立.

【答案】解：(I)/'(%)=歷久+1,當(dāng)%€(0,1),f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)％C?,+00),/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增.

①0<t<t+2<",t無解；

②0<t<4<t+2,即0<t時，f(x)min=熊)=-今

?|<t<t+2,即t2/時，/(%)在［t,t+2］上單調(diào)遞增，

f(.x)min=/(t)=tint,

0<t<-

所以ee

(tint,t>-

o

(II)2xlnx>—x2+ax-3,則a42lnx+%+-，

x

設(shè)九(%)=2lnx+%+,(%>0),則九'(x)=.1),

%6(0,1),/iz(x)<0,h(x)單調(diào)遞增，%G(1,+oo),/i\x)>0,

h(x)單調(diào)遞減，所以譏=h(l)=4,

因為對一切％6(0,+oo),2/(x)>g(%)恒成立，

所以a工Kx)min=4；

(HI)問題等價于證明％仇%>云-1(%€(0,+oo)),

由⑴可知/(%)=xlnx^x6(0,+8))的最小值是—：，當(dāng)且僅當(dāng)先=1時取到，

設(shè)M(X)j(X6(0)+8)),則加(X)=g

易得機⑴租以=m(l)=—p當(dāng)且僅當(dāng)％=1時取到，

從而對一切工€(0,4-co),都有"—2成立.

【解析】【分析】(I)求出f'(x)=Inx+1,分別令/(%)>0得增區(qū)間，f(x)<0得減區(qū)間，分三種

情況討論，從而可得函數(shù)f(%)在［3t+2］的最小值；

(II)2xlnx>-x2+ax-3,則+%只需證a工九⑴血譏即可；

(III)問題等價于證%仇》>云—叁(％w(0,+8))明，由%"W(0,+8))的最小值是

-J，一(%)=今一、(％W(0,+8))最大值為巾(%)2=血1)=一小

22.(15分)已知函數(shù)/(X)=Inx+2x—ax2,aeR.

(1)(5分)若/(%)在x=l處取得極值，求a的值；

(2)(5分)設(shè)g(%)=/(%)+(a-4)》,試討論函數(shù)gQ)的單調(diào)性；

(3)(5分)當(dāng)a=-2時，若存在正實數(shù)xltx2滿足/(%i)+/(%2)+3/工2=+%2，求

1

證：+%2>2?

【答案】(1)解：因為/(%)=Inx+2%—ax2,所以/'(%)=1+2—2ax,

因為/(%)在％=1處取得極值，

所以f(l)=1+2-2a=0,解得a=|.

驗證：當(dāng)a=|時，/(x)在％=1處取得極大值.

(2)解:因為g(x)=/(x)+(a—4)x=Inx—ax2+(a—2)x

所以g'(%)=g-2ax+(a-2)=-(""+1乎"-D(%>0).

①若a>0,則當(dāng)xG(0,J)時，g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(0,｝上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe時，^(%)<0，.1.函數(shù)g(x)在得+8)上單調(diào)遞減.

②若a<。，g，(x)=_a(x+12I%>o),

當(dāng)”一2時，易得函數(shù)g(x)在(0,-》和&,+9)上單調(diào)遞增，

在(二;)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=—2時，g\x)>0恒成立，所以函數(shù)gQ)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)一2<a<0時，易得函數(shù)g(x)在(0金和(神+8)上單調(diào)遞增，

在逑-》上單調(diào)遞減

(3)證明：當(dāng)a=-2時，/(%)=Inx+2%—ax2,

因為f(%i)+/(%2)+3%I%2=+%2，

22

所以lnxr+/+2%i+lnx2+犯+2%2+3%1%2=0，

2

即i%2+2(%i4-%2之)+(%]+%2)+3%I%2=0，

所以2(%1+%2)2+(%1+x2)=xlx2一加％1%2.

令t=xrx2,(p(t)=t—lnt[t>0),

則/(t)=1-1=(t>0),

當(dāng)t6(0,1)時，(p'(t)<0,所以函數(shù)(p(t)=t-lnt(t>0)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)te(l,4-oo)時，(pz(t)>o,所以函數(shù)(p(t)=t-lnt(t>0)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)<p(t)=t-lnt(t>0)在t=l時，取得最小值，最小值為1.

2

所以2(/+x2)+(%i+x2)>1，

2

即2(%1+%2)+01+%2)-12°，所以％1+%233或+%24一1.

因為%1，%2為正實數(shù)，所以％1+%2之;-

當(dāng)%1+x2=1時，％1%2=1，此時不存在XlfX2滿足條件，

所以+%2>3.

【解析】【分析】(1)先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，即可求出a的值；

(2)先求導(dǎo)，分兩種情況討論a,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)g(x)的單調(diào)

性；

(3)先由已知得到2(%i+冷)？+(%1+%2)=%1%2-仇工1%2，令t~xlx2，=t-

lnt(t>0),求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)(p(t)=t-lnt(t>0)在t=l時，取

2

得最小值1,可證2(%+X2)+(%!+x2)>1,整理化簡即可證明%1+X2>

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：84分

客觀題（占比）24.0(28.6%)

分值分布

主觀題（占比）60.0(71.4%)

客觀題（占比）12(54.5%)

題量分布

主觀題（占比）10(45.5%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(18.2%)5.0(6.0%)

解答題6(27.3%)55.0(65.5%)

多選題4(18.2%)8.0(9.5%)

單選題8(36.4%)16.0(19.0%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(72.7%)

2容易(18.2%)

3困難(9.1%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1等比數(shù)列的前n項和2.0(2.4%)6

2頻率分布直方圖10.0(11.9%)19

3散點圖2.0(2.4%)3

4函數(shù)奇偶性的判斷4.0(4.8%)8,12

5復(fù)數(shù)的基本概念2.0(2.4%)9

6正弦定理10.0(11.9%)20

7復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算