20高中物理比賽力學(xué)題集錦-1

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全國中學(xué)生物理比賽集錦（力學(xué)）

第21屆預(yù)賽（2004.9.5）

二、（15分）質(zhì)量分不為m1和m2的兩個(gè)小物塊用輕繩連結(jié)，繩跨過位于傾

角α＝30?的光滑歪面頂端的輕滑輪，滑輪與轉(zhuǎn)軸之間的磨擦別計(jì)，歪面

固定在水平桌面上，如圖所示。第一次，m1懸空，m2放在歪面上，用t表

示m2自歪面底端由靜止開始運(yùn)動至歪面頂端所需的時(shí)刻。第二次，將m1

和m2位置互換，使m2懸空，m1放在歪面上，發(fā)覺m1自歪面底端由靜止開

始運(yùn)動至歪面頂端所需的時(shí)刻為t/3。求ml與m2之比。

七、（15分）如圖所示，B是質(zhì)量為mB、半徑為R的光滑半球形碗，

放在光滑的水平桌面上。A是質(zhì)為mA的細(xì)長直桿，被固定的光滑套管

C約束在豎直方向，A可自由上下運(yùn)動。碗和桿的質(zhì)量關(guān)系為：mB＝

2mA。初始時(shí)，A桿

被握住，使其下端正好與碗的半球面

的上邊緣接觸（如圖）。然后從靜止

開始釋放A，A、B便開始運(yùn)動。設(shè)A

桿的位置用θ表示，θ為碗面的球心

O至A桿下端與球面接觸點(diǎn)的連線方

向和豎直方向之間的夾角。求A與B

速度的大?。ū硎境搔鹊暮瘮?shù)）。

九、（18分）如圖所示，定滑輪B、C與動滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉(zhuǎn)軸

間的摩擦、滑輪的質(zhì)量均別計(jì)。在動滑輪D上，懸掛有砝碼托盤A，跨過滑輪組

的別可伸長的輕線的兩端各掛有砝碼2和3。一根用輕線（圖中穿過彈簧的那條

堅(jiān)直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤底上，彈簧的下端與托盤底固連，

上端放有砝碼1（兩者未粘連）。已加三個(gè)砝碼和砝碼托盤的質(zhì)量基本上m，彈簧

的勁度系數(shù)為k，壓縮量為l0，整個(gè)系統(tǒng)處在靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)忽然燒斷栓住彈簧的

輕線，彈簧便伸長，并推動砝碼1向上運(yùn)動，直到砝碼1與彈簧分離。假設(shè)砝碼1

在往后的運(yùn)動過程中不可能與托盤的頂部相碰。求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸

記憶的時(shí)刻。

第21屆復(fù)賽

二、(20分)兩顆人造衛(wèi)星繞地球沿同一橢圓軌道同向運(yùn)動，它們經(jīng)過軌道上同

一點(diǎn)的時(shí)刻相差半個(gè)周期．已知軌道近地方離地心的距離是地球半徑R的2倍，衛(wèi)星經(jīng)過近地方時(shí)的速度RGM43=v，式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量．衛(wèi)

星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛(wèi)星與任意兩點(diǎn)的兩條連線之間的夾角．試設(shè)計(jì)一種測量方案，利用這兩個(gè)測量儀測定太空中某星體與地心在某時(shí)間的距離．（最終結(jié)果要求用測得量和地球半徑R表示）

六、(20分)如圖所示，三個(gè)質(zhì)量基本上m的剛性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（圖中紙面），A、B之間，B、C之間分不用剛性輕桿相連，桿與A、B、C的各連接

處皆為“鉸鏈?zhǔn)健钡模▌e能對小球產(chǎn)生垂直于桿方向的作用力）．已知桿AB與BC的夾角為π-α，α觀測計(jì)算。為了解釋T觀測與T計(jì)算的別同，目前有一種流行的理論以為，在宇宙中也許存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測別到的暗物質(zhì)。作為一種簡化模型，我們假定在這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而別思考其它暗物質(zhì)的妨礙。試依照這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。

六、（25分）如圖復(fù)16-6所示，z軸豎直向上，xy平面是一絕緣的、固定的、

剛性平面。在0(,0,0)Ax處放一帶電量為(0)qq->的小物塊，該物塊與一細(xì)線

相連，細(xì)線的另一端B穿過位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的光滑小孔，可經(jīng)過它牽引小物塊。

現(xiàn)對該系統(tǒng)加一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)方向垂直與x軸，與z軸夾角為θ（如圖復(fù)16-6

所示）。設(shè)小物塊和絕緣平面間的摩擦系數(shù)為tanμθ=,且靜摩擦系數(shù)和滑動摩

擦系數(shù)相同。別計(jì)重力作用?，F(xiàn)經(jīng)過細(xì)線來牽引小物塊，使之挪移。在牽引過

程中，我們約定：細(xì)線的B端只準(zhǔn)沿z軸向下緩慢挪移，別得沿z軸向上挪移；

小物塊的挪移很緩慢，在任何時(shí)間，都可近似以為小物塊處在力平衡狀態(tài)。

若已知小物塊的挪移軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程。

全國中學(xué)生物理比賽集錦（力學(xué)）答案

第21屆預(yù)賽（2004.9.5）

二、第一次，小物塊受力事情如圖所示，設(shè)T1為繩中張力，a1為兩物塊加速度的大小，l為歪面長，則有

1111mgTma-=（1）

1221sinTmgmaα-=（2）

2112

lat=（3）第二次，m1與m2交換位置．設(shè)繩中張力為T2，兩物塊加速度

的大小為a2，則有

2222mgTma-=（4）

2112sinTmgmaα-=(5)

2

2123tla??=???

(6)由（1）、（2）式注意到α＝30?得

1211222()

mmagmm-=+（7）由（4）、（5）式注意到α＝30?得

2121222()

mmagmm-=+（8）由（3）、（6）式得

219

aa=（9）由（7）、（8）、（9）式可解得

121119

mm=（10）評分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各2分，

求得（10）式再給3分。

七、由題設(shè)條件知，若從地面參考系觀測，則任何時(shí)間，A沿豎直方向運(yùn)動，

設(shè)其速度為vA，B沿水平方向運(yùn)動，設(shè)其速度為vB，若以B為參考系，從B觀測，

則A桿保持在豎直方向，它與碗的接觸點(diǎn)在碗面內(nèi)作半徑為R的圓周運(yùn)動，速

度的方向與圓周相切，設(shè)其速度為VA。桿相對地面的速度是桿相對碗的速度

與碗相對地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示。

由圖得

AAsinVvθ=（1）

BAcosVvθ=（2）

因而

BAcotvvθ=（3）

由能量守恒

A22

BBAA12

1cos2mgRmvmvθ=+（4）由（3）、（4）兩式及mB＝2mA得

A22cossin1cosgRvθθθ

=+（5）B22coscos1cosgRvθθ

θ=+（6）評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題（15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）兩式各2分。

九、設(shè)從燒斷線到砝碼1與彈簧分離記憶的時(shí)刻為△t，在這段時(shí)刻內(nèi)，

各砝碼和砝碼托盤的受力事情如圖1所示：圖中，F(xiàn)表示△t時(shí)刻內(nèi)任

意時(shí)間彈簧的彈力，T表示該時(shí)間跨過滑輪組的輕繩中的張力，mg為

重力，T0為懸掛托盤的繩的拉力。因D的質(zhì)量忽略別計(jì)，有

T0＝2T（1）

在時(shí)刻△t內(nèi)任一時(shí)間，法碼1向上運(yùn)動，托盤向下運(yùn)動，砝碼2、

3則向上升起，但砝碼2、3與托盤速度的大小是相同的。設(shè)在砝碼1與

彈簧分離的時(shí)間，砝碼1的速度大小為v1，砝碼2、3與托盤速度的大小

基本上v2，由動量定理，有1mgFIImv-=（2）

2mgTIImv-=（3）

圖1

2mgTIImv-=（4）

02mgFTIIImv+-=（5）

式中IF、Img、IT、IT0分不代表力F、mg、T、T0在△t時(shí)刻內(nèi)沖量的大小。注意到式（1），有

IT0＝2IT（6）

由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得

2113

vv=（7）在彈簧伸長過程中，彈簧的上端與砝碼1一起向上運(yùn)動，下端與托盤一起向下運(yùn)動。以△l1表示在△t時(shí)刻內(nèi)彈簧上端向上運(yùn)動的距離，△l2表示其下端向下運(yùn)動的距離。由于在彈簧伸長過程中任意時(shí)間，托盤的速度都為砝碼1的速度的1／3，故有

2113

ll?=?（8）

另有120lll?+?=（9）

在彈簧伸長過程中，機(jī)械能守恒，彈簧彈性勢能的減少等于系統(tǒng)動能和重力勢能的增加，即有

22201212211132222

klmvmvmglmglmgl+?+?-?+?=（10）由（7）、（8）、（9）、（10）式得

221003122vklmglm??=-???

（11）砝碼1與彈簧分開后，砝碼作上拋運(yùn)動，上升到最大高度記憶時(shí)

間為t1，有

v1＝gt1（12）

砝碼2、3和托盤的受力事情如圖2所示，以a表示加速度的大小，有

mg－T＝ma（13）

mg－T＝ma（14）

T0－mg＝ma（15）

T0＝2T（16）

由（14）、（15）和（16）式得13

ag=（17）托盤的加速度向上，初速度v2向下，設(shè)記憶時(shí)刻t2，托盤速度變?yōu)榱?，?/p>

v2＝at2（18）

由（7）、（12）、（17）和（18）式，得

112vttg

==（19）即砝碼1自與彈簧分離到速度為零記憶的時(shí)刻與托盤自分離到速度為零記憶的時(shí)刻相等。由對稱性可知，當(dāng)砝碼回到分離位置時(shí)，托盤亦回到分離位置，即再記憶t1，砝碼與彈簧相遇。題中要求的時(shí)刻

12tt=總（20）

由（11）、（12）、（20）式得

20023122tklgmmgl??=???

-總評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題18分．求得（7）式給5分，求得（11）式給5分，（17）、（19）、（20）、（21）式各2分。

第21屆復(fù)賽

二、如圖，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌道為一橢圓，地心位于軌道橢圓的一具焦點(diǎn)O處，設(shè)待測量星體位于C處．依照題意，當(dāng)一具衛(wèi)星運(yùn)動到軌道的近地方A時(shí)，另一具衛(wèi)星恰好到達(dá)遠(yuǎn)地方B處，只要位于A點(diǎn)的衛(wèi)星用角度測量儀測圖

2

出AO和AC的夾角α1，位于B點(diǎn)的衛(wèi)星用角度測量儀測出BO和BC的夾角α2，就能夠計(jì)算出此刻星體C與地心的距離OC．

因衛(wèi)星橢圓軌道長軸的長度遠(yuǎn)近＋rrAB=(1)

式中r近、與r遠(yuǎn)分不表示軌道近地方和遠(yuǎn)地方到地心的距離．由角動量守恒

遠(yuǎn)遠(yuǎn)近近＝rmrvmv(2)

式中m為衛(wèi)星的質(zhì)量．由機(jī)械能守恒遠(yuǎn)

遠(yuǎn)近近－－rGMmmrGMmm222121vv=(3)已知

Rr2＝近，RGM43＝

近v得

Rr6=遠(yuǎn)(4)因此

RRRAB862=+=(5)在△ABC中用正弦定理()

ABBC211

πsinsinααα--=(6)

因此()ABBC211sinsinααα+=(7)

地心與星體之間的距離為OC，在△BOC中用余弦定理

2222cos2αBCrBCrOC?-+=遠(yuǎn)遠(yuǎn)(8)由式(4)、(5)、(7)得

()()212121212sincossin24sinsin1692ααααααα+-++=ROC(9)

評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6)、(8)式各3分，(9)式6分．

六、令I(lǐng)表示題述極短時(shí)刻?t內(nèi)擋板對C沖量的大小，因?yàn)閾醢鍖無摩擦力作用，可知沖量的方向垂直于DE，如圖所示；I'表示B、C間的桿對B或C沖量的大小，其方向沿桿方向，對B和C皆為推力；Cv表示?t末了時(shí)間C沿平行于DE方向速度的大小，Bv表示?t末了時(shí)間B沿平行于DE方向速度的大小，⊥Bv表示?t末了時(shí)間B沿垂直