將軍飲馬18道典型習(xí)題

“將軍飲馬”常見模型及18道典型習(xí)題何為將軍飲馬？2000城里來了一位將軍，聽聞海倫盛名，特來向他請(qǐng)教一個(gè)問題。將軍說，每天早上，他都騎著馬兒從營帳出發(fā)，到河邊讓馬兒飲水，然后，再去河岸同一側(cè)的一塊草地上帶著馬兒去吃草，問題時(shí)，在河岸的哪個(gè)具體位置喝水，行程最短？最佳方案為何？且閱下文：一、將軍飲馬常見的5種模型：1、一動(dòng)兩定（和最小：如圖，點(diǎn)A是將軍和馬居住的營帳，點(diǎn)B是一塊指定的草地，一條小河L潺潺流過，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，P的值最??？解析：做A點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)與L的交點(diǎn)即為P點(diǎn)。為什么這時(shí)PA+PB最??？LM（P?！逜點(diǎn)與A’關(guān)于L對(duì)稱∴∴AP+BP=A’P+BP=A’B而AM+BM=A’M+MB在△A’MB中，兩邊之和大于第三邊∴A’B< +MB；ML（P。∴動(dòng)點(diǎn)PLAP+BP如圖，點(diǎn)A是將軍和馬居住的營帳，小河L1依然像上題中一樣潺潺流過，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，不同的是，這次吃草的地L2，Q則是將軍騎馬吃草的地方，水足草飽以后，將軍和馬兒QAP+PQ+QAA1A212、。為什么此時(shí)，AP+PQ+AQL1M（P、L2N（Q。∵A點(diǎn)與A’關(guān)于L1對(duì)稱；A點(diǎn)與A‘’關(guān)于L2對(duì)稱?！郃Q=A”Q；∴Q=’”Q；AM+MN+AN=A’M+MN+A”N在四邊形A’MNA”中：A’M+MN+A”N>A’A”∴P、Q位于A’A”與L1和L2的交點(diǎn)處時(shí)，AP+PQ+AQ的和最小。延伸閱讀：如果將上述問題改為：P、Q位于何處時(shí)，AP+PQ的和最??？我們又當(dāng)如何應(yīng)對(duì)？A12QA’QL1P由圖易知：AP+PQ=A’Q。L1L2M如圖∵A’Q⊥L2∴A’N>A’Q∴AP+PQ3、兩定兩動(dòng)：如圖，點(diǎn)AL1BPQAP+PQ+QBA1B2B’B12、。同學(xué)們可以參考前面兩個(gè)模型并結(jié)合圖示自己推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論?？偨Y(jié)1A、B、P2、確定動(dòng)點(diǎn)所在直線。3、做定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。4、連接對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)（或另一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)。4、兩定一線：如圖，你一定猜對(duì)了----點(diǎn)A是將軍和馬居住的營帳。那條小河經(jīng)過千年的流淌，終于流成了一條大河，L1、L2分別代表河的兩岸；B點(diǎn)是河對(duì)岸的一塊修到哪里，將軍走的路最短？（）B平移至點(diǎn)BB河岸寬度相同，且與河岸垂直。AB’，L1PPQ⊥L2。PQ即為要修的橋。為何此時(shí)路徑最短？假設(shè)橋修在MN處，連接AM、MB’、NB。∵BB’∥PQ∥MN，且BB’=PQ=MN?！?BB’均為平行四邊形∴BQ=B’P；BN=B’M則AP+PQ+QB=AP+PQ+PB’=AB’+PQ而AM+MN+NB=AM+MN+MB’在B’中：B’MN=PQ∴AM+MN+MB’>AB’+PQ即AM+MN+MB’>AP+PQ+QB∴橋修在PQ5、一動(dòng)兩定（差最大：為了能更清楚的說明問題，這次情景模型有一定的改變。如圖點(diǎn)是一家儲(chǔ)備了很多現(xiàn)金的銀行代表的是離這家銀行最近的警察局 你猜對(duì)了，我們正在策劃一件可怕的事情：搶！銀！行！在銀行和警的什么位置，最利于我們逃跑？（L。相信很多同學(xué)和我一樣，都希望把LH而這樣的問題是：車確實(shí)離我們很近，但離警察也并不遠(yuǎn)。也許，我們剛上車還未關(guān)上車門。警察叔叔就已出現(xiàn)在我們面前，邀請(qǐng)我們?nèi)ニ麄児ぷ鲉挝蝗コ悦赓M(fèi)的午餐。其實(shí)，我們真正理想的狀態(tài)是：車可以離我們適當(dāng)遠(yuǎn)一點(diǎn)，比如西安至鄭州；但一定要離警察足夠的遠(yuǎn)，比如地球到月球。即，雙方離車的距離差最大。具體方案如下：BLBPBLQ。∵BQ=B’QQQ’B如果停車點(diǎn)選在Q以外的L點(diǎn)，比如H。則，PH-BH=PH-B’H在△B’HP中，PB’>PH-B’H（兩邊之差小于第三邊）∴車停在Q處時(shí)，其差值最大。選址已定，讓我們開始行動(dòng)吧！二、練習(xí)題：1ABCDPSABCD=3S△ABPPA+PB的最小值。2、長方形ABCD中，AB=5，BC=10，M、N分別是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，求MN+CM的最小值。3AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)DBC、如圖，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE= 。EDEECACEFABEDE+EF4、問題提出：D60BDEBD1BE2問題解決：y=-x+4xyA、BPABP△Q0（04（0CQP2存在，說明理由。5、已知直線y=3x+6與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)。點(diǎn)C是OA中點(diǎn)，M是y軸上一點(diǎn)，求BM+2CM的最小值。6°，弧BC60°，點(diǎn)PBC上一動(dòng)點(diǎn)，E、FAB、ACC△PEF的最小值。7、如圖AC=BC=6，DACEBCDECDE為CNABBC8、如圖，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC= 2，E、F分別是、上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；且CF=AE，連接BE、AF。求BE+AF的最小值。9、矩形ABCD中，AB=4 3，BC=4。、點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE= 3；F為AC上一動(dòng)點(diǎn)，求EF+DF的最小值。、E為AB上一點(diǎn)，AE= 3，F(xiàn)為AC上一動(dòng)點(diǎn)，求EF+BF最小值。E、FA、CEF=2，DE+BF、E、FACEF=2DE+DFEFABCD10ABCDEFABCDAE=CF，BF+CEAE11、菱形ABCD邊長為10，對(duì)角線BD=16，P、Q為BD上的動(dòng)點(diǎn)。PQ=2，E為AB中點(diǎn)，求EPQA最小值。12EFABBCACDE+DF31bx（yBC(a,4)。cAB2，在的條件下，過點(diǎn)El⊥xE，y=2xbE（0。①求△CGF的面積。②直線l上是否存在點(diǎn)P，使OP+BP的值最??？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)。、若（2）ExExlQ，使得以ACQAOCQ14ABCDEFCDBE+BF15、在△ABC中，∠BAC=30°，BC=2；△ABC的面積是6；點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB和AC上的動(dòng)點(diǎn)。連接DE、EF和DF。求△DEF周長的最小值。16、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA的解析式為y= 3x，動(dòng)線段BC射線OA上動(dòng)線段EF在X軸正半軸上且BC=23D∠AOFD、x軸的距離分別為2和1，求點(diǎn)D到B、CE、F四個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值，并求此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)。17、如圖，L是一條筆直的公路，兩側(cè)是草原，消防站A位于公路旁；倉庫位于草原深處，距離公路50千米，與消防站