彩票設(shè)置方案的分析及優(yōu)化模型

No.2韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集第二期（2003年8月）PAGE64 PAGE64彩票設(shè)置方案的分析及優(yōu)化模型[摘要]:本文針對彩票方案設(shè)置及中獎(jiǎng)問題,應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法給出了單注中獎(jiǎng)概率及其概率分布；應(yīng)用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望,得到了購買注獎(jiǎng)中等獎(jiǎng)的平均個(gè)數(shù)；應(yīng)用獨(dú)立事件概率,得到了第方案等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金或比例；給出了各項(xiàng)獎(jiǎng)的返獎(jiǎng)率及其分布.通過綜合分析,對29個(gè)方案進(jìn)行了合理性評價(jià)；并通過彩民的心理,提出了“雙高”標(biāo)準(zhǔn),建立了描述單注中獎(jiǎng)概率、單項(xiàng)獎(jiǎng)返獎(jiǎng)率的多目標(biāo)規(guī)劃模型,應(yīng)用線性加權(quán)法進(jìn)行求解,得出了更為“合理”的新方案；分別對彩票管理部門和彩民提出了建議或參考意見.關(guān)鍵詞:彩票;設(shè)置方案;中獎(jiǎng)概率;返獎(jiǎng)率1問題的提出我國目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種.其中“傳統(tǒng)型”采用的是“6+1/10”的方案,而“樂透型”則有多種不同方案,不過歸結(jié)起來主要有兩種方案：“”、“”.對于“傳統(tǒng)型”和“樂透型”這兩大類型,我們有29種方案可以讓廣大彩民們選擇,而每一種方案都有不同的特點(diǎn).試綜合分析這些方案的獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價(jià),并討論各個(gè)方案的合理性.通過對29種方案的合理性的研究,試建立彩票設(shè)計(jì)方案的優(yōu)化模型,為彩票管理部門提供一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法,并給報(bào)紙寫一篇短文為彩民們提供參考建議.2模型的假設(shè)與符號的約定2.1模型假設(shè)“傳統(tǒng)型”的基本號碼可重復(fù),且有順序；“樂透型”的基本號碼不可重復(fù),但無順序;同一注號可重復(fù)選取且選取相互獨(dú)立;單注金額為2元;一、二、三等獎(jiǎng)為高項(xiàng)獎(jiǎng),后面的為低項(xiàng)獎(jiǎng);高項(xiàng)獎(jiǎng)按比例分配(可從表三中看出),低項(xiàng)獎(jiǎng)固定獎(jiǎng)金；兩種類型的總獎(jiǎng)金比例為銷售總額的50%;一等獎(jiǎng)單注保低金額60萬元,封頂金額500萬元；在一期中,沒有人買中的中獎(jiǎng)號,其獎(jiǎng)金將滾入下一期作為累積獎(jiǎng)金;6.高項(xiàng)獎(jiǎng)中同等獎(jiǎng)多注中時(shí),獎(jiǎng)金將平均分配;7.單注若已得到高級別的獎(jiǎng)就不再兼得低級別的獎(jiǎng)；8.高項(xiàng)獎(jiǎng)?lì)~的計(jì)算方法為:[(當(dāng)期銷售總額總獎(jiǎng)金比例)–低項(xiàng)獎(jiǎng)總額]單項(xiàng)獎(jiǎng)比例2.2符號約定1.單個(gè)彩票方案選出的基本號碼的個(gè)數(shù);2.在單個(gè)彩票方案中可選號碼的個(gè)數(shù);3.方案單注彩票獲得等獎(jiǎng)的概率;4.第種方案總的中獎(jiǎng)概率;5.方案等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額比例（）;6.彩票部門售出的總注數(shù);7.第方案等獎(jiǎng)的單注獎(jiǎng)金額;8.第方案等獎(jiǎng)的可能號碼個(gè)數(shù);9.第種方案的樣本空間中的點(diǎn)數(shù);10.第種方案總的返獎(jiǎng)率;11．第種方案等獎(jiǎng)的返獎(jiǎng)率；12.彩票部門的收益率;3彩票設(shè)置方案的分析模型3.1單注獲獎(jiǎng)概率的計(jì)算及概率分布表.方案單注彩票獲得等獎(jiǎng)的概率為(1)傳統(tǒng)型樣本空間的點(diǎn)數(shù)為:(其中);;;;;;;;;;;;(2)樂透型(一)樣本空間的點(diǎn)數(shù)為:(其中);;;;;;;;;;;;;;(3)樂透型(二)樣本空間的點(diǎn)數(shù)為:(其中);;;;;;;;;;;;;*單注獲獎(jiǎng)概率分布表見附錄1.3.2購買注時(shí),至少有一個(gè)獲等獎(jiǎng)概率及獲等獎(jiǎng)的平均個(gè)數(shù)(1).設(shè)這注是依次購買(可一人也可多人),他們的選號中等獎(jiǎng)的事件是互相獨(dú)立的個(gè)事件.又可設(shè);則注中至少有一個(gè)獲等獎(jiǎng)的概率為:(2)購買注可視為重貝努里試驗(yàn),記事件為“購買注中獲等獎(jiǎng)次”.則這是一個(gè)二項(xiàng)分布,其數(shù)學(xué)期望（這也就是購買注中獲等獎(jiǎng)的平均個(gè)數(shù)）為:3.3第方案等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額和管理部門平均收益率以及返獎(jiǎng)率對于方案,單項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額比例為.設(shè)彩民共購買注,注購買中獲等獎(jiǎng)視為個(gè)互相獨(dú)立的事件.公司總銷售額為.則有 當(dāng)時(shí)有 總返獎(jiǎng)率彩票管理部門收益率:．當(dāng)時(shí)總返獎(jiǎng)率:;當(dāng)時(shí) 總返獎(jiǎng)率:;各項(xiàng)獎(jiǎng)的返獎(jiǎng)率:;*返獎(jiǎng)率分布表(見附錄2)4彩票設(shè)置方案的評價(jià)由上面的討論我們可以知道：1 方案的構(gòu)成是由投注方式與獎(jiǎng)金設(shè)置所決定的．而投注方式?jīng)Q定了獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置和中獎(jiǎng)概率；在某種方案中各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性是指每一種獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)概率,單注中獎(jiǎng)概率與投注數(shù)無關(guān)；獎(jiǎng)金的設(shè)置是由高項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金比例和低項(xiàng)獎(jiǎng)的固定獎(jiǎng)金構(gòu)成；單注獎(jiǎng)的返獎(jiǎng)率是由該項(xiàng)獎(jiǎng)的所有獎(jiǎng)金與總投注金額之比,即,它是與無關(guān)的一個(gè)常數(shù)．從上面單注中獎(jiǎng)概率分布表和單注獎(jiǎng)項(xiàng)返獎(jiǎng)率分布表可知：從高項(xiàng)獎(jiǎng)到低項(xiàng)獎(jiǎng)其概率越來越大,而返獎(jiǎng)率卻越來越小．通過我們考察,現(xiàn)在彩民主要是分為兩類：一類是追求高額獎(jiǎng)金,即高返獎(jiǎng)率,另一類是追求高中獎(jiǎng)概率．評價(jià)某個(gè)方案是否合理,主要看是否吸引更多的人來購買彩票,關(guān)鍵是要把這兩類彩民同時(shí)吸引過來．通過對29種方案的中獎(jiǎng)概率和中獎(jiǎng)金額的計(jì)算,我們可以發(fā)現(xiàn),只有第27項(xiàng)方案的一等獎(jiǎng)平均獎(jiǎng)金大于封頂金額,即Ｒ＞50%,對彩民來說是損害了他們的利益,該方案是不合理的．在衡量某方案對彩民的吸引力方面,我們引入單項(xiàng)返獎(jiǎng)率,與投注總數(shù)n無關(guān)．在實(shí)際中,一類追求高額獎(jiǎng)金的彩民,他們要求高項(xiàng)獎(jiǎng)返獎(jiǎng)率盡量高,另一類是追求高中獎(jiǎng)率的彩民,他們要求總中獎(jiǎng)概率盡量高．我們稱之為“雙高”標(biāo)準(zhǔn),我們評價(jià)某方案是否合理就是看它的能否較好的達(dá)到“雙高”的標(biāo)準(zhǔn)．在某方案中,一方面,單項(xiàng)獎(jiǎng)的概率已經(jīng)確定,所以高項(xiàng)獎(jiǎng)金額越高,則高項(xiàng)返獎(jiǎng)率越高；另一方面,方案總的獲獎(jiǎng)率跟獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置有直接的關(guān)系,獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置越多,則中獎(jiǎng)率越大,但中獎(jiǎng)率增大的同時(shí),高項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額必定會減少,為此,我們計(jì)算了２９種方案的和總中獎(jiǎng)概率（如下表所示）,通過衡量各方案和的值,容易求得方案2,3,4,5,6,7,8,9,10,16,18,20,21,22,23,24,26相對比較合理．方案１２３４５６７總中獎(jiǎng)概率0.026%3.598%3.598%3.598%0.791%1.801%3.313%高項(xiàng)返獎(jiǎng)率49.39%35.24%35.24%35.24%40.35%35.20%28.77%方案８９１０１１１２１３１４總中獎(jiǎng)概率3.313%3.313%2.921%0.563%0.479%0.479%0.479%高項(xiàng)返獎(jiǎng)率33.17%35.55%25.20%43.19%40.52%40.52%40.52%方案１５１６１７１８１９２０２１總中獎(jiǎng)概率0.410%2.294%0.352%2.043%0.304%1.826%1.826%高項(xiàng)返獎(jiǎng)率41.15%37.30%44.93%41.54%45.54%35.86%31.93%２２２３２４２５２６２７２８２９1.826%12.48%1.636%0.761%1.637%0.229%0.500%0.277%40.78%35.93%33.59%35.77%41.64%37.97%47.54%44.59%５“雙高”標(biāo)準(zhǔn)的多目標(biāo)規(guī)劃模型及新方案作為一種新方案的設(shè)計(jì),站在彩票部門的角度看,“更好”應(yīng)體現(xiàn)在使盡可能多吸引彩民,即兼顧“雙高”標(biāo)準(zhǔn).因此,從此著手,可考慮更改投注方式(玩法),改變獎(jiǎng)項(xiàng)及各獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)金數(shù)額.故我們應(yīng)在這三種模式下尋找一個(gè)較好的投注方式.為簡單起見,以“”為例討論如下：設(shè)高項(xiàng)獎(jiǎng)比例為:令我們追求的是“雙高”即高返獎(jiǎng)率和高中獎(jiǎng)概率,容易寫成如下數(shù)學(xué)模型:這里.由于各種獎(jiǎng)項(xiàng)自身的相互約束性,所以不能使每一獎(jiǎng)項(xiàng)的單注中獎(jiǎng)概率與單項(xiàng)獎(jiǎng)返獎(jiǎng)率同時(shí)達(dá)到最優(yōu),這是一個(gè)多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題.現(xiàn)考慮一等獎(jiǎng)的返獎(jiǎng)率與七等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率,將問題簡化如下：應(yīng)用線性加權(quán)法將上述多目標(biāo)規(guī)劃化為如下單目標(biāo)規(guī)劃問題：其中表示對不同偏好的權(quán)值.出于彩票部門的考慮,若太小,則必會失去部分追求高獎(jiǎng)金的彩民,且若太小,對追求高概率彩民的選擇又有影響,所以我們作如下限制條件（具體可根據(jù)彩票具體測定）解如下數(shù)學(xué)規(guī)劃：當(dāng),當(dāng), 當(dāng)時(shí), 當(dāng), 6給彩民的建議彩票號碼組合看似千變?nèi)f化,看上去也是變幻莫測.而搖獎(jiǎng)所出現(xiàn)的一組號碼都是相互獨(dú)立的、隨機(jī)的,大量的隨機(jī)性存在著內(nèi)在的規(guī)律性.通過上面的討論,下面我們給彩民提供一個(gè)選擇彩票方案的建議,使彩民心中有底.現(xiàn)把彩民分為兩大類,一類是以追求高中獎(jiǎng)概率的彩民;另一類是以追求高獎(jiǎng)金的彩民,下面我們引入兩種標(biāo)準(zhǔn)為彩民們提供一些建議：假設(shè)某方案不設(shè)置某獎(jiǎng)項(xiàng)時(shí),該獎(jiǎng)項(xiàng)的獲獎(jiǎng)概率為0,；每一方案的(見附錄1),例如方案“6＋1/10”與“7/30”.從總概率表（見附錄1）可以看出,各個(gè)方案的中獎(jiǎng)總概率大小順序排列為：“7/35”,“6＋1/10”,“7/30”,“7/31”,“7/33”等等,對追求高獎(jiǎng)金的彩民來說,你們可以選用前面的幾種方案.從單項(xiàng)獎(jiǎng)返獎(jiǎng)率表（見附錄2）可以看出,各個(gè)方案一等獎(jiǎng)返獎(jiǎng)率的大小順序排列為：“6/40”,“7/31”,“7/35”,“7/32”,“7從22種“選7”的樂透型彩票的概率和獎(jiǎng)金統(tǒng)計(jì)中可以看出,29選7在最高獎(jiǎng)等中獎(jiǎng)概率上顯然有著絕對優(yōu)勢,60萬元的保底獎(jiǎng)金也極富吸引力,因此以大獎(jiǎng)為目標(biāo)的彩民選擇這一彩票是比較“劃算”的.但彩民在投注時(shí)必須注意兩點(diǎn)：第一,50％的返獎(jiǎng)率決定了29選7的大獎(jiǎng)獎(jiǎng)?lì)~與其銷量密不可分,較高的中獎(jiǎng)率又使獎(jiǎng)金積累很難達(dá)到必需的數(shù)額,因此頭獎(jiǎng)?wù)嬲_(dá)到500萬元的可能性其實(shí)與另外21種樂透型彩票差不了多少；第二,盡管其中獎(jiǎng)率比另外21種彩票高,但64*10的負(fù)8次方的中獎(jiǎng)率決不可能意味著大獎(jiǎng)“隨手可得”,因此彩民們千萬不要因?yàn)閷χ笙Ｍ罅客蹲?還是應(yīng)當(dāng)保持平常心,以量力而行為上.兩種比較特殊的彩票類型（6/40,5/60）的一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率的百分比明顯低于以上22種樂透型彩票的.我們再從4種傳統(tǒng)型彩票的概率和獎(jiǎng)金統(tǒng)計(jì)可以得出,當(dāng)時(shí),一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率顯然大于以上樂透型彩票的,但當(dāng)時(shí),則小于樂透型的.因此,追求高中獎(jiǎng)率的彩民可選買q比較小的,例如方案,這樣獲獎(jiǎng)面就會大.所以彩民用我們上面討論的在購買樂透型彩票時(shí),首先應(yīng)當(dāng)考慮自己究竟“追求”的是什么,而后再據(jù)此選擇在概率和獎(jiǎng)等設(shè)置上能夠符合自己要求的種類,同時(shí)還應(yīng)當(dāng)保持平和的心態(tài),不能因?yàn)橹歇?jiǎng)率高或獎(jiǎng)金額大了就盲目投注.參考文獻(xiàn):[1]魏宗舒概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第一版）[M]高等教育出版社1983,10；[2]洪毅,賀德化,昌志華經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型[M]華南理工大學(xué)出版社1998,6[3]蔣加林攻克500萬[M]深圳：海天出版社2002,2附錄1:單注獲獎(jiǎng)概率分布表.()序號一等二等三等四等五等六等七等總概率10.000020.00010.18002.43000.00000.00000.00002.610120.000020.00010.18002.430029.1600328.05000.0000359.820130.000020.00010.18002.430029.1600328.05000.0000359.820140.000020.00010.18002.430029.1600328.05000.0000359.820150.000060.00040.94182.825528.255147.09180.000079.114860.000060.14100.84578.880222.2004148.00290.0000180.070370.000050.00030.75652.269423.828539.7141264.7608331.329680.000050.00030.75652.269423.828539.7141264.7608331.329690.000050.00030.75652.269423.828539.7141264.7608331.3296100.000040.00030.61231.836820.204833.6746235.7225292.0513110.000040.00030.61231.836820.204833.67460.000056.3288120.000030.00020.49911.497417.220028.70000.000047.9167130.000030.00020.49911.497417.220028.70000.000047.9167140.000030.00020.49911.497417.220028.70000.000047.9167150.000020.00020.40961.228914.747024.57840.000040.9641160.000020.00020.40961.228914.747024.5784188.4342229.3984170.000020.00010.33831.014912.686821.14460.000035.1848180.000020.00010.33831.014912.686821.1446169.1571204.3419190.000020.00010.28110.843210.961418.26900.000030.3547200.000020.00010.28110.843210.961418.2690152.2414182.5961210.000020.00010.28110.843210.961418.2690152.2414182.5961220.000020.00010.28110.843210.961418.2690152.2414182.5961230.000020.291511.8046170.51031065.6890.00000.00001248.296240.000010.00030.20842.91827.295465.659087.5453163.6267250.000010.00030.20842.91827.295465.65900.000076.0814260.000010.00010.23480.70449.509215.8487137.3555163.6528270.000010.00010.19720.59158.281313.80220.000022.8723280.000030.00020.51581.289620.633727.51160.000049.9509290.000020.00010.49440.988726.20150.00000.000027.6848

附錄2:單項(xiàng)獎(jiǎng)返獎(jiǎng)率分布表序號一等二等三等四等五等六等七等124.6963%9.8785%14.8178%0.6075%0.0000%0.0000%0.0000%221.1427%7.0476%7.0476%3.6450%2.9160%8.2013%0.0000%322.9045%5.2857%7.0476%3.6450%2.9160%8.2013%0.0000%424.6664%5.2857%5.2857%3.6450%2.9160%8.2013%0.0000%524.2077%8.0692%8.0692%4.2383%4.2383%1.1773%0.0000%621.1198%8.7999%5.2800%8.8802%2.2200%3.7001%0.0000%718.7017%4.3158%5.7544%5.6734%5.9571%2.9786%6.6190%823.2181%3.3169%6.6338%2.2694%5.9571%1.9857%6.6190%926.6637%3.5552%5.3327%2.2694%3.5743%1.9857%6.6190%1015.1219%3.7805%6.3008%4.5920%5.0512%3.3675%11.7861%1132.3914%4.3189%6.4783%2.9389%3.0307%0.8419%0.0000%1226.3357%6.0775%8.1033%3.7435%4.3050%1.4350%0.0000%1328.3616%4.0517%8.1033%3.7435%4.3050%1.4350%0.0000%1430.3874%4.0517%6.0775%3.7435%4.3050%1.4350%0.0000%1528.8062%4.1152%8.2304%3.6868