山西省太原市2022屆高三上學(xué)期理數(shù)期末考試試卷

山西省太原市2022屆高三上學(xué)期理數(shù)期末考試試卷

閱卷人

-------------------、單選題（共12題；共24分）

得分

?3

1.（2分）復(fù)數(shù)l+2i+i一（）

2-i~

A13.1^3.1.1.

A-5-5lRB-5+5lrC,3-1nD-3+l

【答案】B

【解析】【解答】再M(fèi)=爐=后喝摸=上攔。

2—12—1（2-i）（2+i）5

故答案為：B

【分析】利用己知條件結(jié)合虛數(shù)單位i的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)

3

_l+__2_i_+_i_O

2-i

2.（2分）已知函數(shù)/（x）='產(chǎn)一3%的定義域?yàn)榱?集合8={加一1<%<5},則集合4nB中整數(shù)

的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】【解答】由題設(shè)，X2-3X>0,可得定義域A={加久W0或久23},

所以4。8={%]-1<%30或3式％<5},故其中整數(shù)元素有{0,3,4}共3個。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合偶次根式函數(shù)的定義域求解方法求出集合A,再利用交集的運(yùn)算法則求

出集合ACI8中整數(shù)的個數(shù)。

3.（2分）設(shè)a,0為兩個不同的平面，則allS的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與￡平行B.a,0垂直于同一平面

C.a,0平行于同一條直線D.a內(nèi)的任何直線都與3平行

【答案】D

【解析】【解答】A選項(xiàng)，a內(nèi)有無數(shù)條直線與0平行，a與6可能相交，A選項(xiàng)錯誤.

B選項(xiàng)，a,0垂直于同一平面，a與￡可能相交，B選項(xiàng)錯誤.

C選項(xiàng)，a,平行于同一條直線，a與6可能相交，C選項(xiàng)錯誤.

D選項(xiàng)，a內(nèi)的任何直線都與/?平行，則?！?,D選項(xiàng)正確.

故答案為：D

【分析】利用線面平行和線線平行的判定和性質(zhì)，面面平行的判定和性質(zhì)的應(yīng)用判定A、B、C、D

的結(jié)論，可得答案.

4.（2分）等比數(shù)列｛an｝中，a3=8,a2+a4=20,則｛即｝的通項(xiàng)公式為（）

1

na

A.an=2n~2n—6

11

n

C斯=2n或271-6D.an=2+1或2n-5

【答案】C

【解析】【解答】令公比為q,由題設(shè)有。2+。4=號+。3"=畀89=20,

所以2q2一5q+2=（2q-l）（q—2）=0,解得q=*或q=2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題設(shè).

1

所以須=。3甲-3,可得斯=2"或斯=產(chǎn)行。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和一元二次方程求解方法，進(jìn)而得出公比，再利用等比

數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

5.（2分）已知a="4,b=log3e,c=log34^貝U（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)y=log3%為增函數(shù)，貝卜<4,

所以b<c,

又因?yàn)?<e<3,所以①4>log34,

所以b<c<a。

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較出a,b,c的大小。

6.(2分)從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的概率為()

A-nB-Ic-ID-i

【答案】D

【解析】【解答】設(shè)“從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)”為事件4

從1到10這十個數(shù)中任取三個數(shù)有C；o=嘿孵=120種取法，

要使這三個數(shù)的和為奇數(shù)，須取的三個數(shù)中有2個偶數(shù)一個奇數(shù)，或者三個數(shù)都為奇數(shù)兩種情況;

1到10這十個數(shù)分成偶數(shù)一組，奇數(shù)一組各有5個，所以

三個數(shù)中有2個偶數(shù)一個奇數(shù)有底星=鬻X5=50種，三個數(shù)都為奇數(shù)的取法有度=豁?=

10種,

即從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的情況有60種，

所以從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的概率為P(A)=粽=；。

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合組合數(shù)公式和分類加法計數(shù)原理，再結(jié)合古典概型求概率公式，進(jìn)而得

出這三個數(shù)的和為奇數(shù)的概率。

7.(2分)已知函數(shù)y=4s沆(3%+尹)(4>0,］卬|<芻的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達(dá)式是

()

A.y=2sin(2x+B.y=sin(2x+看)

C.y=2sin(2x—5)D.y=sin(2x—5)

【答案】A

【解析】【解答】結(jié)合圖像和選項(xiàng)可知Z=2,

27rllnn37i

石=立一〕4=32,

1^rr「/rr

/(O)=1=2sin(p=1=sin<p==尹=g+2kn,kGZ或<p=-g-+2kn,kG.Z.

v\<p\<^,：.k=0,(p=瑩,???/(x)=2sin(2x+

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦型函數(shù)的最大值求出A,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式得出3

的值，再結(jié)合五點(diǎn)對應(yīng)法和代入法求出少的值，從而求出正弦型函數(shù)的解析式。

8.（2分）已知向量優(yōu)b,2滿足悶=|山=M+山=2,|江+3-司=1，則忙|的最大值為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】【解答】|五+B—冽2=（五+石：4-c2—2（a+6）-c=1?

得44-|c|2-2X2x|c|cos0=1,os0=叱1,

C引c|

_2

因?yàn)閨cosO|Wl,所以可需W1，即?2一4同+3W0，解得：1WMIW3,

所以同的最大值為3。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的定義，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象求值

域的方法，再結(jié)合一元二次不等式求解集的方法，進(jìn)而得出?的最大值。

9.（2分）某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是上底為2,下底為4,底角為韻勺等腰梯

形，則該幾何體的體積為（）

B.2873C.20啟D56

【答案】B

【解析】【解答】根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個正四棱臺,

棱臺的體積公式為V=/h（Si+S2+店a），其中h為棱臺的高，Si、S2為上底和下底面積,

S]=4,52=16,h=1xtan^=V3,

.,.V=gxV3x（4+16+<4x16）=^^o

故答案為：B.

【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個正四棱臺，再利用正四棱臺求體積公式，進(jìn)而得出該幾何

體的體積。

10.（2分）已知a,b為正實(shí)數(shù)，a+b=3,則占+心的最小值為（）

LvIJLUI乙

A.1B.|C.1D.4

【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)閍+b=3,

所以4+用=6（在l+申）（a+l+b+2）=G（4+用+2）?i（2j不1-用+2）=多

當(dāng)且僅當(dāng)繽=魯，即a=2,b=l時等號成立。

Q+1匕+2

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合均值不等式變形求最值的方法，進(jìn)而得出工+工的最小值。

11.(2分)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(2x+l)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列命題正確

的個數(shù)是()

?/(x)=/(x-16)；②f(11)=0;③/(2022)=—/(0)；④f(2021)=f(-3).

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【解析】【解答】因?yàn)?(2x+1)是偶函數(shù)，所以/(2x+1)=/(-2x+1),

令t=2x+l,貝Ij2x=t-1,故―2x+1=2-3

所以/(t)=/(2-t),即/(x)=/(2-x),

所以函數(shù)/(%)關(guān)于直線X=1對稱，

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以/(—1)=0,且函數(shù)/(X—1)關(guān)于(0,0)對稱，

又因函數(shù)/(X-1)是由函數(shù)/(%)向右平移1個單位得到，

所以/(久)關(guān)于(一1,0)對稱，所以/(一%-1)=一-x-l),所以=2),

所以f(2-4)=-/(_%_2),則/(x)=-/(x-4)=f(x-8),

即/(X)=/(X+8)，所以函數(shù)/(%)的一個周期為8,

故有/(%)=/(%+(-2)x8)=/(x-16),故①正確;

由函數(shù)/(%)關(guān)于直線久=1對稱，/(-1)=0,所以/(3)=/(—1)=0,

所以/(II)=f(3)=0,故②正確；

因?yàn)椤?022)=/(8x253-2)=/(-2),

因?yàn)閒(x)關(guān)于(一1,0)對稱，所以/(-2)=-/(0),

所以“2022)=—/(0),故③正確;

又/(2021)=/(8x253-3)=/(-3),故④正確,

所以正確的個數(shù)為4個.

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義、圖象的平移、函數(shù)的周期性，進(jìn)而找出命題正

確的個數(shù)。

12.(2分)下列四個命題中，正確的是()

A.VxG/?,ex>x+1

B.f(x)=\sinx\+|cosx|的最小正周期為兀

C.3xGR,x2+2x+廣+1|<0

D.點(diǎn)4和點(diǎn)B分別在函數(shù)y=m%和丁=e'的圖象上，則a,B兩點(diǎn)距離的最小值為無

【答案】D

【解析】【解答】對A,令/(%)=靖—x-1,則/'(%)=/-1，

/(x)>0=>x>0>/(%)<0=>x<0>

所以在(―8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以f(x)2f(0)=0,所以/1(x)=e*-x-120,故VxeR,ex>%+1，A不正確；

對B,/(%)=|sinx|+|cosx|=7(|stnx|4-|cosx|)2=yjl+|sin2x|,所以其最小正周期7=%,B不

正確；

x+11

對C,令%=-/一2x,y2-el,可知為=-/-2%W1(當(dāng)％=-1時等號成立)，y2=

elx+i|>1(當(dāng)X=-1時等號成立).

所以y22yl恒成立，即elx+"2—久2一2%恒成立，即X2+2x+eW+il20恒成立，C不正確；

對D,函數(shù)3/="》與7=二互為反函數(shù)，根據(jù)對稱性，只需要求、=靖上的點(diǎn)到直線y=x的最小距

離，設(shè)丁=靖上任意一點(diǎn)(％,ex),則(x,短)到直線y=x的距離d=寫科=但源，

VNVZ

令/i(x)=ex-x,則//(久)=ex-1>

八(%)>0=%>0，h(x)<0=>x<0>

所以八(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以h(x)>/i(0)=1,

所以(％,短)到直線y=x的最小距離為因此4B兩點(diǎn)距離的最小值為磊=/，D符合題意.

VZVZ

故答案為：D

【分析】令/(%)=靖-工-1,利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值再利用不

等式恒成立問題求解方法得出VxeR,ez>x+1；利用/(%)=\sinx\+|cosx|=Jl+|sin2x|結(jié)合

2

正弦型函數(shù)的最小正周期個數(shù)得出函數(shù)f(x)的最小正周期；令為=-x-2x,y2=elx+1再結(jié)合二

次函數(shù)的圖象求最值的方法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值的方法，所以y22yl恒成立，即N+2x+

elx+il20恒成立；利用函數(shù)丁="%與、=短互為反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)圖象的對稱性，只需要求丁=

靖上的點(diǎn)到直線y=x的最小距離，設(shè)曠上任意一點(diǎn)Q,ex)，再利用點(diǎn)到直線的距離個數(shù)得出

(%,1)到直線y=x的距離d工令人(%)=峭-%,再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)

v2

而求出函數(shù)的最值，從而得出點(diǎn)(x,eX)到直線y=x的最小距離，從而得出48兩點(diǎn)距離的最小

值，進(jìn)而找出真命題的選項(xiàng)。

閱卷人

—二、填空題(共4題；共4分)

得分

13.(1分)(1+%)(1-2%)5展開式中％3的系數(shù)為.

【答案】-40

【解析】【解答】(1+x)(l-2x)5=(1-2x)5+%(1_2x)5,

其中(1-2x)5中含爐的系數(shù)是底.12.(—2)3=-80.%(1-2x)5中含%3的系數(shù)，即(1_2x)5中含%2

的系數(shù)，即正?好.(-2)2=40，

所以(14-x)(l-2x)5中含%3的系數(shù)是一80+40=-40o

故答案為：-40。

【分析】利用已知條件結(jié)合二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式結(jié)合求和法，進(jìn)

而得出(1+%)(1-2x)5中含爐的系數(shù)。

14.(1分)已知a為銳角，sin("金)=|,則cos(a+9=.

【答案】余

【解析】【解答】o<a.=-金<a-金〈瑞，

sE（a—僉■）=，>0，0<cz—

cos（a—1—sin^（ct—=卷，

???cos（a+j）=cos［（a-金）+*=辛［cos（a一僉）一sin（a-僉）］=￥［一|）=余。

故答案為：仔

【分析】利用已知條件結(jié)合角a的取值范圍和構(gòu)造法，從而結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象得出角a-金的取

值范圍，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進(jìn)而得出cos(a-告)的值，再利用角之間的關(guān)系式和兩

角和的余弦公式，進(jìn)而得出?！雹?裝)的值。

15.(1分)已知四面體ABC。中，AB=3V3.其余各棱長均為6,則四面體4BCD外接球的表面積

為.

【答案】527r

【解析】【解答】如圖,

D

設(shè)外接球的球心為。，半徑為R,底面力BC的外心為。1，底面外接圓的半徑為r,因?yàn)?8=36，其

222I

余各棱長均為6,所以可得cos乙4BC=6+(3.)46=卓,所以sinzABC=k一滲y=平,

2x6x3734y4

62412I?I

由正弦定理得o2r=孳=反=「=反，即0〃=卷，所以0山=」心—孫2=

222

J62—(得)=備，因?yàn)椤Ｍ?+0]02=(0"-0]0)2,可得(笥+0]。2=(據(jù)—0]0),求

解得。1。=-^==,所以R=—=V13,所以外接球的表面積為S=4TIR2=4TTx(VT3)2=

52兀。

故答案為:52兀。

【分析】設(shè)外接球的球心為0,半徑為R,底面ABC的外心為。0底面外接圓的半徑為r,利用AB=

3百，其余各棱長均為6,再利用余弦定理可得cos乙4BC的值，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出

sin/ABC的值，由正弦定理得出r的值，從而得出。便的長，再利用勾股定理得出。1。的長，再結(jié)合

勾股定理得出01。的長，再利用作差法得出外接球的半徑，再結(jié)合外接球的表面積公式得出四面體

ABCD的外接球的表面積。

16.(1分)函數(shù)/(x)=asin?！贰住?2久2-3%+,(a>0)恰好有三個不同的零點(diǎn)％i，x2>

X3，則+%2+%3的值為-

【答案】6

【解析】【解答】/(2)=asin(^-J)-|+8-6+|=0.不妨設(shè)》=2,

令Zi(x)=—可/+2x*12—3久+可貝(Jh(4—x)+h(x)=—(4—x)3+2(4—x)2—3(4—x)+可一

i2

/3+2x2—3x+耳=0

所以h(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱，又g(4-x)=asin/-表)=-asin(看久一處g(x)+g(4-x)=

0,即g(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱,故/(%)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱，

所以％2+%3=2x2=4,%1+%2+%3=6。

故答案為：6。

【分析】利用已知條件結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)求解方法，再利用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱的判斷方法，進(jìn)而得出

%1+%2+%3的值o

閱卷入

三、解答題（共7題；共70分）

得分

17.(10分)己知a,b,c分別是AABC內(nèi)角4,B,C的對邊，a=2,且c?=廿一2b+4.

（1）（5分）求角C；

（2）（5分）若A=45°,求邊b.

【答案】（1）解：由余弦定理得?2=a2+b2—2abcosC=b2—2b+4<

又a=2,二cosC=^=$又C€（0°,180°）

：.C=60°

（2）解：sinB=s沆［180°-（45°+60°）］=sin75°=

c2b

由正弦定理得島=島h，交=后而，解得6=遮+1

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合余弦定理和三角形中角的取值范圍，進(jìn)而得出角C的值。

（2）利用已知條件結(jié)合兩角和的正弦公式，再結(jié)合正弦定理得出b的值。

18.（10分）已知數(shù)列｛%｝中,即=2,nan+1-n（n+1）=2（n4-l）（an-n）（ne/V*）.

（1）（5分）證明：數(shù)列｛^-1｝為等比數(shù)列，并求｛。九｝的通項(xiàng)公式；

（2）（5分）求數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和Sn-

【答案】(1)證明：由條件可得a吐三，+D=2(即一磔,

n+1n

又空-1=1,所以穹-1｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

n-1

:.an=n-2+n

(2)解：Sn=1+2?2+3。22+…+n?2”I+(1+2+3+…+n),

設(shè)7n=1+2-2+3-22+-+n-2n~1,2

則2〃=1?2+2?22+3?23+…+n?271,

兩式相減，整理得7\=(n-l)-2n+l,

所以Sn=(n-1)2"+"2學(xué)+2

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合遞推公式變形和等比數(shù)列的定義，從而證出數(shù)列｛拳-1｝是

首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式。

(2)利用已知條件結(jié)合錯位相減的方法得出數(shù)列｛a4｝的前n項(xiàng)和。

19.(10分)2022年2月4日，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳北京冬奧會，某

大學(xué)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了11()名學(xué)生，對是否喜歡冬季體育運(yùn)動情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)

據(jù)如下:

喜歡不喜歡

男生5010

女生3020

2

附：心中旗黯而E其中心=a+b+c+d.

P(K2>ko)0.0250.010.005

ko5.0246.6357.879

(1)(5分)根據(jù)上表說明，能否有99%的把握認(rèn)為，是否喜歡冬季體育運(yùn)動與性別有關(guān)？

(2)(5分)現(xiàn)從這110名喜歡冬季體育運(yùn)動的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取8人

參加2022年北京冬奧會志愿者服務(wù)前期集訓(xùn)，且這8人經(jīng)過集訓(xùn)全部成為合格的冬奧會志愿者.若從

這8人中隨機(jī)選取3人到場館參加志愿者服務(wù)，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為X,寫出X的分布列，并

求E(X).

2

【答案】⑴解：因?yàn)閭€=喘疆符”486>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為，是否喜歡冬季體育運(yùn)動與性別有關(guān).

（2）解：根據(jù)分層抽樣方法得，選取的8人中，男生有5人，女生有3人.

由題意知，X的可能取值有0,1,2,3.

P（X=O）=4

范10…）量C5C330

cl56

C5C315Cl1

p（X=2）=子落P（X=3）『筋.

c8b8

X的分布列是:

X0123

P1030151

56565656

所以E（X）=0x1|+lx||+2x||+3x系=春

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷出有99%的把握認(rèn)為，是否喜歡冬季

體育運(yùn)動與性別有關(guān)。

（2）根據(jù)分層抽樣方法得出選取的8人中，男生有5人，女生有3人，由題意知隨機(jī)變量X的可能

取值，再利用組合數(shù)公式和古典概型求概率公式得出隨機(jī)變量X的分布列，再結(jié)合隨機(jī)變量的分布

列求數(shù)學(xué)期望的公式，進(jìn)而得出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。

20.（10分）如圖，已知四棱錐P—4BCD中，CDJ_平面尸A。，△「?!￡）為等邊三角形，AB||

CD,2AB=CD,M是PC的中點(diǎn).

（1）（5分）求證：BMJ"平面PCD；

（2）（5分）若4B=4D=2,求平面PAB與平面BDM所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明：取PD的中點(diǎn)N,連接4N,MN,則MN〃DC,且

M

x

又因?yàn)?B〃/）C,AB=^CD,

所以MN//BA且MN=BA,

所以四邊形A8MN是平行四邊形，AN//BM,

因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，N為PD中點(diǎn),所以4NJ.PD,

又CD1平面PAD,所以CO1AN,又CDCPD=D

所以AN_L平面PC。，

由4N〃BM得_L平面PCD.

(2)解：取力。中點(diǎn)。，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

可得4(1,0,0),8(1,2,0),D(-l,0,0),P(0,0,V3),M(-1,2,空)

所以而=(1,0,-V3),AB=(0,2,0),DB=(2,2,0),DM=(1,2,字),

設(shè)記=（%i，Zi）是平面P48的一個法向量,

由卜晶=°'得|2為=°，

(笆?冏=0,bi-V5zi=0,

所以可取訶=（遮，0,1）,

設(shè)布=（必，y2?Z2）是平面BOM的一個法向量，

AmDB=0,/J2x2+2y2=0,

由,得〈1/O

.m,=°，（尹2+2y2+~2zi=°，

可取隹=（1,-1,V3）,

則cos（機(jī)，編=而后=可’

故平面PAB與平面BDM所成銳二面角的余弦值為孚.

【解析】【分析】（1）取PD的中點(diǎn)N,連接AN,MN,再利用中點(diǎn)作中位線的方法和中位線的性

質(zhì)，貝ijMN〃DC,且MN=aDC,再利用AB〃DC,AB=結(jié)合平行和相等的傳遞性得出

MN〃BA且MN=BA,所以四邊形ABMN是平行四邊形，所以AN〃BM,再利用三角形△PA。為等

邊三角形，N為尸。中點(diǎn)結(jié)合等邊三角形三線合一，所以力N1PD,再利用CD1平面PAD結(jié)合線面垂

直的定義證出線線垂直，所以CDJ.4N,再利用線線垂直證出線面垂直，所以4N_L平面PCD,由

4N〃BM證出直線BM_L平面PCD。

(2)取4。中點(diǎn)0,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐

標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式結(jié)合已知條件得出平面P4B與平面BDM所成

銳二面角的余弦值。

1

21.(10分)已知函數(shù)/(x)==xex~r+2^3—2x2.

(1)(5分)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)(5分)若x>0,g(x)2af(久)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)解：/(x)=l-2x=i^(x>0)>

令/(%)>0，則尤C(0,孝)；令/(x)<0，則%€(孝，+oo).

(0,亨)是/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；(孝，+8)是/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)解：g(K)>a/(x)在xe(0,+8)恒成立，

一

即xe*T+1-2x>a(lnx—/)在％e(0,+8)恒成立，

即e^T+—2%2a(竽—%)在％e(0,+8)恒成立，

令八(久)=ex-1+；/_2x,"(%)=ex-1+x—2,h"(x)=ex-1+1>0,

y=?(%)在(O,+8)上單調(diào)遞增且h'(i)=0，

???"(%)<0時，xe(0,1)>/i'(x)>0時，%G(1,+8),

y=/i(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???y-/l(x)在X-1處取得最小值，即[h(x)]min=h(l)=-1)

令(P(x)=—~x.-.(p(x)=---分---，

令￡(%)=1—仇》―一土一2%V0,??.丫=1(%)在(。，+8)單調(diào)遞減,

因?yàn)閠(l)=0,當(dāng)0ct<1時，<p'(x)>0；當(dāng)t>l時，(p'(x)<0.

y=8(X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，.?.即(%)］max="(1)=-1，

???要使九(%)>%?(尤)在xG(0,+8)恒成立，則a>［稱得］max，

只需考慮黑>0，因?yàn)閃(X)<0,則力(%)<0,

當(dāng)久=1時，|/l(X)lmax=/⑷㈤lmin=1火1)1=1，

所以/!(%)_\h(x)\|/l(X)|^(1)1_1物1

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

間。

(2)利用g(x)2a/X%)在xe(0,+8)恒成立，即e*T+4X2—2%2a(苧—%)在Xe(0,+oo)

恒成立，令九(無)=靖-1+々％2-2%,再利用兩次求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最

小值，令少(久)=竽-%,再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值，要使

九(x)2aS。)在％C(0,+8)恒成立，則a2［黯］max，再利用不等式恒成立問題求解方法，即而

得出實(shí)數(shù)a的取值范圍。

22.(10分)在直角坐標(biāo)系久Oy中，直線1的參數(shù)方程為［久=h"跖(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

(y=1+tsina

點(diǎn)，以工軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為pcos2。=4s)仇

(1)(5分)求曲線C的普通方程；

11

(2)(5分)已知直線］與曲線C交于4,B兩點(diǎn)，M(0,1)，求證：兩+p(畫為定值.

【答案】(1)解：由已知pcos2。=4sin。兩邊同乘p得p2cos2。=4psin。，

由(：=七既得曲線的普通方程為d=4y

(y=psint/J

(2)證明：設(shè)交點(diǎn)4B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為G，以，

將（x=tcosa

4寸［y=1+tsina（t為參數(shù)）代入%2=4y得12cos2a—4sina?t—4=0,

由韋達(dá)定理得〃+以="挈，

lbsiMa+66_44

?e,iI=/（￡1+七）2-4“亡2=

cos4acos2acos2acos2a，

?1I1_1I1_iGl+lbl_〃!,一勿1_cos2a_1

??兩十兩一屈十向一|五51_"^忑「_手一】

cos2a

故向i+而i為定值L

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化方法和極坐標(biāo)與普通方程的轉(zhuǎn)化

公式，進(jìn)而得出曲線C的普通方程。

(2)利用直線與曲線相交，聯(lián)立二者方程求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，再利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)求距

離公式，進(jìn)而證出向J+扁為定值。

23.(10分)已知函數(shù)/'(x)=|x-1|+|x+2]—x,g(x)=\x-a|(aGR).

(1)(5分)求不等式/(x)W6的解集；

(2)(5分)若存在xeR使f(x)<g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)解：由/(%)<6得

fxW-2或(-2<%<1或fx>l

即｛靠27或｛三方或腹，

解得—：4工45,

7

.??/(x)<6的解集為｛%|-可工工工5｝.

-3x—1,x—2

3-%,-2<x<1.

｛%+1，%>1

畫出/(%)和g(x)的圖象如下圖所示,

通過平移g(x)的圖象可知：要使“存在xeR使/(%)<g(x)成立”，

需滿足a<一1或a>3.

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合零點(diǎn)分段法，進(jìn)而得出不等式/(%)<6的解集。

(2)利用已知條件結(jié)合絕對值的定義將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用分段函數(shù)的解析式畫出分段函

數(shù)的圖象，通過平移g(x)的圖象結(jié)合“存在xeR使/Xx)Wg(x)成立"，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的取值范

圍。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：98分

客觀題（占比）26.0(26.5%)

分值分布

主觀題（占比）72.0(73.5%)

客觀題（占比）14(60.9%)

題量分布

主觀題（占比）9(39.1%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(17.4%)4.0(4.1%)

解答題7(30.4%)70.0(71.4%)

單選題12(52.2%)24.0(24.5%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(56.5%)

2容易(17.4%)

3困難(26.1%)

4、試卷知識點(diǎn)分析

序號知識點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1函數(shù)的周期性2.0(2.0%)11

2二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1.0(1.0%)13

3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算2.0(2.0%)1

4利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值12.0(12.2%)12,21

5等比數(shù)列的通項(xiàng)公式12.0(12.2%)4,18

6古典概型及其概率計算公式2.0(2.0%)6

7兩點(diǎn)間的距離公式10.0(10.2%)22

8圖形的對稱性3.0(3.1%)11,16

9平面與平面平行的性質(zhì)2.0(2.0%)3

10同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系1.0(1.0%)14

11數(shù)列的求和10.0(10.2%)18

12正弦定理10.0(10.2%)17

13點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化10.0(10.2%)22

14兩角和與差的余弦公式1.0(1.0%)14

15由三視圖求面積、體積2.0(2.0%)9

16點(diǎn)到直線的距離公式2.0(2.0%)12

17存在量詞命題2.0(2.0%)