動(dòng)態(tài)因子模型

關(guān)于動(dòng)態(tài)因子模型第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三目錄二因子的估計(jì)三因子數(shù)量的決定一引言四被估計(jì)因子的應(yīng)用五選擇性拓展第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三：宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家面臨一個(gè)特有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：一方面，可靠和相關(guān)數(shù)據(jù)的年份數(shù)量是有限制的，且不能很容易地增長。另一方面，戰(zhàn)后很長時(shí)間內(nèi)，統(tǒng)計(jì)局收集了很多相關(guān)數(shù)據(jù)，包括宏觀經(jīng)濟(jì)，金融，有關(guān)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)變量的月度和季度數(shù)據(jù)。

因此，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)家面臨的數(shù)據(jù)集：成百上千個(gè)序列，但每個(gè)序列觀察的數(shù)量相當(dāng)少（例如20至40年的季度數(shù)據(jù)）。第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三DFMs：背景：最初由Geweke(1977)提出，作為以前由橫截面數(shù)據(jù)發(fā)展而來的因子模型的一個(gè)時(shí)間序列擴(kuò)展。早期影響力作品中，SargentandSims(1977)，有兩個(gè)動(dòng)態(tài)因子能夠解釋大部分美國重要的宏觀經(jīng)濟(jì)季度變量的方差，例如產(chǎn)量，就業(yè)和價(jià)格。

Giannone,Reichlin,andSala(2004)andWatson(2004),一個(gè)因子能夠解釋宏觀經(jīng)濟(jì)序列的大部分方差，這一主要的經(jīng)驗(yàn)主義發(fā)現(xiàn)已被許多研究所證實(shí)。在過去幾十年得到很大注意力，因?yàn)樗軌蚰M序列數(shù)量大于時(shí)間觀測(cè)數(shù)量的數(shù)據(jù)集的同時(shí)性和一致性。目的：在現(xiàn)有的DFMs著作中，所描述的在某種程度上具體足以用于使研究者創(chuàng)新于此領(lǐng)域，關(guān)鍵的理論結(jié)果，應(yīng)用和經(jīng)驗(yàn)主義的發(fā)現(xiàn)。

BaiandNg(2008)和StockandWatson(2006)對(duì)這個(gè)作品提供了補(bǔ)充性的調(diào)查。BaiandNg(2008)比這個(gè)更有技術(shù)性，并且更專注于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論和條件；StockandWatson(2006)關(guān)注在DFM基礎(chǔ)上的預(yù)測(cè)，它是在許多預(yù)測(cè)者使用的其他方法背景下進(jìn)行的。第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三DFMs：前提：

一些潛在的動(dòng)態(tài)因子，聯(lián)動(dòng)于一個(gè)時(shí)間序列變量構(gòu)成的高維向量，也被一個(gè)均值為零的特殊干擾向量所影響。這些特殊干擾是由測(cè)量誤差和特定于單個(gè)序列的特殊性質(zhì)所引起的（例如，沙門氏菌恐慌對(duì)餐廳就業(yè)的影響）。這些潛在的因子，遵循一定的時(shí)間序列過程，一般認(rèn)為是一個(gè)向量自回歸過程（VAR）。第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三DFMs：動(dòng)態(tài)因子模型用方程式表示為：這里有N個(gè)序列，所以和

為N×1階；有q個(gè)動(dòng)態(tài)因子，所以和

為q×1階；L為滯后算子，且滯后多項(xiàng)式矩陣λ(L)和Ψ(L)分別為N×q階和q×q階。第i個(gè)滯后多項(xiàng)式

是第i個(gè)序列所加載的動(dòng)態(tài)因子，

和

是第i個(gè)序列的主成分。我們假定(1)和(2)中所有的過程都是固定的（不固定的情況在本章最后部分討論）。特殊干擾被假定與前后的創(chuàng)新因素是不相關(guān)的，即，對(duì)于所有的k，

。在所謂精確的動(dòng)態(tài)因子模型中，特殊干擾被假定為在前后步中是不相關(guān)的，即，對(duì)于所有的s，，

,如果i≠j。第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三DFMs：考慮DFMs的一個(gè)重要的動(dòng)機(jī)是：如果已知因子，且是高斯的，我們就能對(duì)一個(gè)單獨(dú)的變量做出有效的預(yù)測(cè)，運(yùn)用到滯后因素和變量滯后性的總體回歸。于是，預(yù)測(cè)者只運(yùn)用q個(gè)因子就能從所有N變量中得到好處，這里q遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N。特別地，在方差損失下，第i個(gè)變量的最理想的向前一步預(yù)測(cè)為：這里第三行根據(jù)等式(2)，最后一行根據(jù)(1)和精確的DFM假設(shè)。

于是，有效總體預(yù)測(cè)回歸的維數(shù)不會(huì)隨著系統(tǒng)變量的增加而增加。第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家將會(huì)考慮的第一個(gè)問題：估計(jì)因子（或更精確的說，判斷因子的跨越空間）和確定有多少因子。

——第2和第3部分一旦有了這些因子的可靠估計(jì)量，不僅僅是用來預(yù)測(cè)，而且把它們作為工具變量，估計(jì)因子增廣向量自回歸（FAVARs）和估計(jì)動(dòng)態(tài)隨機(jī)一般均衡模型（DSGEs）。

——第4部分第5部分會(huì)討論一些拓展。

第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三二因子估計(jì)Geweke(1977)和SargentandSims(1977)開創(chuàng)性的工作是用頻域分析方法來尋找動(dòng)態(tài)因子結(jié)構(gòu)的跡象和預(yù)測(cè)因子的重要程度。然而，那些方法不能夠直接估計(jì)，因此也不能用于預(yù)測(cè)。后來的DFMs工作針對(duì)時(shí)域分析方法，這時(shí)能夠直接被估計(jì)。第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三DFMs的時(shí)域估計(jì)研究分為三個(gè)階段第一階段：低維（N很小）參數(shù)模型

運(yùn)用高斯最大似然估計(jì)法（MLE）和卡爾曼濾波。這種方法提供了在模型假設(shè)和參數(shù)下f的最佳估計(jì)量（和最佳預(yù)測(cè)值）。然而，那些參數(shù)的估計(jì)必須包括非線性的優(yōu)化，這種優(yōu)化有限制參數(shù)數(shù)量的作用，從而限制能夠被處理，運(yùn)用的序列數(shù)量。第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第二階段：大N的非參數(shù)估計(jì)

運(yùn)用橫截面平均方法，主要是主成分和相關(guān)分析方法。第二階段的關(guān)鍵結(jié)果是因子拓展空間的主成分估計(jì)量是一致的，此外，如果N充分大，因子被精確的估計(jì)其精確度足以使其作為后面回歸的數(shù)據(jù)。第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第三階段：運(yùn)用因子的一致非參數(shù)估計(jì)量來估計(jì)第一階段中狀態(tài)空間模型的參數(shù)，從而解決第一階段模型中相關(guān)的維度問題。在狀態(tài)空間模型中，許多參數(shù)未知的問題解決辦法是運(yùn)用貝葉斯方法，即，用優(yōu)先和整合取代最大化，一小部分論文用到這種解決方法，它同時(shí)還用到第二和第三階段的（傳統(tǒng)的）估計(jì)量。第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三注意：

這一部分中所有方法都假設(shè)數(shù)據(jù)已消除單位根和其趨勢(shì)。代表性地，通過區(qū)分所需的序列，然后標(biāo)準(zhǔn)化不同的序列來完成；例如，一個(gè)典型的元素X可能為一個(gè)真實(shí)活動(dòng)預(yù)測(cè)量的某一階段增長率，它被標(biāo)準(zhǔn)化為零均值和單位標(biāo)準(zhǔn)偏差。第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2.1第一階段：時(shí)域最大似然法，通過卡爾曼濾波Engleand

Watson(1981,1983),StockandWatson(1989),Sargent(1989),andQuahandSargent(1993)：早期的動(dòng)態(tài)因子模型的時(shí)間域估計(jì)用卡爾曼濾波來估算高斯似然，用最大似然法來估計(jì)參數(shù)，然后用卡爾曼濾波和濾波器得到因子有效估計(jì)。第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三把DFM寫成一個(gè)線性狀態(tài)空間模型。令p作為滯后多項(xiàng)式矩陣λ(L)的維度，表示一個(gè)r×1維向量，令,這里為第i個(gè)滯后矩陣λ(L)的N×q維系數(shù)矩陣。令Φ(L)為只包含1，0和Ψ(L)中元素的矩陣。DFM(1)和(2)被改寫為：這里，G為一個(gè)只有1和0的矩陣，因此(5)和(2)是等價(jià)的。等式(4)和(5)被稱為DFM的靜態(tài)形式，因?yàn)檫@些因子只能同時(shí)出現(xiàn)。第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三線性狀態(tài)空間模型通過詳細(xì)說明對(duì)于和誤差的過程而完成。典型地，誤差項(xiàng)被假定為遵循單變量的自回歸：

隨著更進(jìn)一步的假設(shè)為服從獨(dú)立同分布，,i=1,...,N,服從獨(dú)立同分布，,j=1,...,q,和是獨(dú)立的,等式(4)到(6)構(gòu)成一個(gè)完全線性狀態(tài)空間模型。給出了這些參數(shù)，卡爾曼濾波能夠用作計(jì)算可能性和估計(jì)的過濾值，進(jìn)而估計(jì)。(6)第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三這個(gè)參數(shù)的狀態(tài)空間模型的好處是，它能夠處理數(shù)據(jù)的不規(guī)則性。EM算法會(huì)用來估計(jì)參數(shù)的最大似然估計(jì)(MLEs)。不過，參數(shù)的數(shù)量要與N成比例，所以MLE系數(shù)的直接估計(jì)是難處理的。第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2.2第二階段：非參數(shù)平均方法1橫截面平均法為什么起作用2主成分估計(jì)3廣義主成分估計(jì)4動(dòng)態(tài)主成分第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三1橫截面平均法為什么起作用

考慮的橫截面平均因子估計(jì)的動(dòng)機(jī)為，特殊干擾的加權(quán)平均數(shù)將根據(jù)弱大數(shù)定理收斂到0，以至于只有因子的線性組合依然存在。橫截面平均估計(jì)量是在DFM(4)的靜態(tài)表示基礎(chǔ)上的。橫截面平均估計(jì)量是非參數(shù)的，在某種意義上他們不需要這樣一個(gè)參數(shù)模型，正如(5)中的因子F或者(6)中的特殊動(dòng)態(tài)。所取代的是，被認(rèn)為是一個(gè)由一N維數(shù)據(jù)向量所估計(jì)的r維參數(shù)。取代參數(shù)假設(shè)，按照ChamberlainandRothschild(1983)的近似因子模型的較弱的假設(shè)是關(guān)于因子結(jié)構(gòu)的。尤其是，考慮到以下條件，第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三把構(gòu)造的的估計(jì)量看作X的加權(quán)平均數(shù)，用到了一個(gè)權(quán)重為W的非隨機(jī)N×r矩陣，這里W被標(biāo)準(zhǔn)化以至于W’W/N=:(9)一般來說，對(duì)于Λ將會(huì)有不足的結(jié)構(gòu)去假定一個(gè)權(quán)重矩陣W，W不依靠這些主成分分析所到達(dá)的數(shù)據(jù)。第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2主成分估計(jì)F的主成分估計(jì)量是加權(quán)平均估計(jì)(9)，并且W=

，這里的

是

的樣本方差矩陣的特征向量矩陣，

,關(guān)聯(lián)于

的r個(gè)最大的特征向量。主成分估計(jì)量能夠?qū)С鲎钚《藛栴}的解決辦法：服從于其標(biāo)準(zhǔn)化

。為了解決(11),首次最小化Λ提供的

，從而得到

,然后集中于目標(biāo)函數(shù)，因此(11)變成

。這個(gè)最小化問題等價(jià)于

,它依次等價(jià)于

服從于

。這個(gè)最后的問題的解決辦法是使

等價(jià)于

擴(kuò)展的特征向量，它與它的r個(gè)最大的特征向量相對(duì)應(yīng)。因?yàn)?/p>

,這意味著F的最小二乘估計(jì)量是

,即X的擴(kuò)展的前r個(gè)主成分。第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

的主成分估計(jì)量的一致性首次被顯示為固定的T和N→∞,被ConnorandKorajczyk(1986)在確切的靜態(tài)因素模型中表示。StockandWatson(2002s)在更弱的條件下證明了因子的統(tǒng)一一致性，允許特殊誤差的弱連續(xù)和互相關(guān)。也提供了N和T的率條件，在

被當(dāng)作是第二階段最小二乘回歸的數(shù)據(jù)的條件下（即，

的估計(jì)誤差不能夠影響

作為回歸量的OLS的系數(shù)的漸進(jìn)分布）。Bai(2003)提供了估計(jì)因子和一般成分的極限分布。BaiandNg(2006a)提供了增長率，尤其是N→∞，T→∞和N2/T→∞，在

是一致的且在后來的回歸中作為數(shù)據(jù)的條件下；他們也提供了用

估計(jì)的一般成分的置信區(qū)間結(jié)構(gòu)的結(jié)果。第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三3廣義主成分估計(jì)廣義主成分對(duì)于主成分相當(dāng)于廣義最小二乘法對(duì)于最小平方。如果干擾誤差變量矩陣Σ與單位矩陣不成比例，那么最小二乘回歸的類比表明

和Λ解決了(11)的加權(quán)版本，這里的權(quán)重矩陣為

:第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三至少有三個(gè)可行的廣義主成分估計(jì)的版本被提名為DFM。首先，F(xiàn)orni,Hallin,Lippi,andReichlin(2005)重新整理了這個(gè)分解，

，這里

是一般成分

(這個(gè)分解由(4)而來)的方差來獲得

。他們提出通過動(dòng)態(tài)主成分來估計(jì)

(在下面會(huì)提到)。第二，BoivinandNg(2003)提出運(yùn)用估計(jì)量

,這里

是

在主成分估計(jì)量

上回歸的誤差變量的通常估計(jì)量；令

的非對(duì)角線位置為0,則它們的權(quán)重矩陣只含有N個(gè)估計(jì)元素。這些解決辦法都沒有提出

有可能序列相關(guān)。把這個(gè)考慮在內(nèi)的話，StockandWatson(2005)提出了一個(gè)三步的解決辦法，近似于Cochrane-Orcutt估計(jì)量，當(dāng)

通過主成分被首次估計(jì)時(shí)，N個(gè)獨(dú)立自回歸適合在

上

回歸的殘差，X運(yùn)用第i個(gè)自回歸的系數(shù)是擬差分的，然后Boivin-Ng(2003)的Σ的對(duì)角線方法也應(yīng)用于這些擬差分中。第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三4動(dòng)態(tài)主成分動(dòng)態(tài)主成分是由Brillinger(1964,1981)發(fā)展而來的主成分的頻域模擬。Forni,Hallin,Lippi,andReichlin(2000,2004)證明了一般成分的一致性并且提供了其收斂率，這些一般成分是被動(dòng)態(tài)主成分估計(jì)的。通過動(dòng)態(tài)主成分估計(jì)f的方法需要兩邊平滑，所以樣本最后f的估計(jì)量是不可得的。結(jié)果是，動(dòng)態(tài)主成分不能夠直接用于預(yù)測(cè)，工具變量回歸，F(xiàn)AVAR或者其他需要用到f的估計(jì)量的應(yīng)用，對(duì)于所有樣本來說。在這個(gè)調(diào)查中我們不再進(jìn)一步討論這個(gè)方法。第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2.3第三階段：混合主成分和狀態(tài)空間方法估計(jì)因子方法的第三個(gè)階段是融合狀態(tài)空間方法的統(tǒng)計(jì)效率和主成分方法的便利性及平穩(wěn)性。這個(gè)合并的估計(jì)過程發(fā)生在兩步：首先，這些因子通過主成分或者一般主成分所估計(jì)；第二步，這些被估計(jì)因子用來估計(jì)狀態(tài)空間表示的未知參數(shù)。第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三靜態(tài)因子的狀態(tài)空間模型：模型由(4)-(6)給出。動(dòng)態(tài)因子的狀態(tài)空間模型模型由式(1)(2)和(6)給出。第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三這些被估計(jì)參數(shù)完全地填充于狀態(tài)空間模型中，以至于或能夠運(yùn)用卡爾曼平滑來更好地估計(jì)其估計(jì)量，這個(gè)估計(jì)量能引起時(shí)間序列平均。運(yùn)用這些被估計(jì)的系數(shù)作為系數(shù)最大可能估計(jì)的一致開始值也是可能的。EngleandWatson(1983),QuanandSargent(1993)andDoz,Giannone,andReichlin(2006):最大似然估計(jì)能夠運(yùn)用EM算法來估計(jì)；JungbackerandKoopman(2008):解決了如何加快在DFM中卡爾曼透視的估值，通過把轉(zhuǎn)換為一個(gè)r×1階向量；Jungbacker，Koopman，andvanderWel(2009):提供了額外的計(jì)算設(shè)備，當(dāng)存在缺失數(shù)據(jù)時(shí)也能夠使用。第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2.4估計(jì)量的比較一些研究把各種估計(jì)量與真實(shí)數(shù)據(jù)作比較，得到了某種程度上不同的結(jié)論。當(dāng)因子和特殊干擾是一致時(shí)，一般主成分估計(jì)量實(shí)質(zhì)上更精確與共同成分的主成分估計(jì)量，雖然當(dāng)N和T非常大時(shí)，這種不同會(huì)消失。并且在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)下，只有很小的不同存在。把主成分估計(jì)量的預(yù)測(cè)性與各種可行的一般主成分估計(jì)量作比較：雖然存在細(xì)微差別，總體結(jié)論是運(yùn)用各種因子估計(jì)量產(chǎn)生的預(yù)測(cè)值是高度共線的。第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2.5貝葉斯估計(jì)DFM參數(shù)和因子也能用貝葉斯方法來估計(jì)。主要是由于三點(diǎn)：首先，當(dāng)存在很多未知參數(shù)時(shí)，綜合估算后面的部分能夠在數(shù)字上更簡單，更穩(wěn)定；第二，在非線性或非高斯?jié)撛谧兞磕Ｐ椭?，直接估算的可能性是非常小的；第三，一些分析人員可能希望以一個(gè)先驗(yàn)分布的形式在模型的開頭強(qiáng)加一些信息。第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三貝葉斯方法在模型中包括非線性，非高斯元素時(shí)特別有用。eg：一四變量的DFM，這個(gè)模型的自然分層有助于Gibbs抽樣和模型參數(shù)和動(dòng)態(tài)因子后部貢獻(xiàn)的估計(jì)；非線性或非高斯?fàn)顟B(tài)空間模型的一般MCMC解決辦法。另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是貝葉斯估計(jì)比第二三階段方法產(chǎn)生更好的預(yù)測(cè)。第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三三因子數(shù)量的決定對(duì)于估計(jì)靜態(tài)因子r和動(dòng)態(tài)因子q的數(shù)量的一些方法是可得的。3.1估計(jì)靜態(tài)因子r的數(shù)量3.2估計(jì)動(dòng)態(tài)因子q的數(shù)量第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三3.1估計(jì)靜態(tài)因子r的數(shù)量BaiandNg(2002):靜態(tài)因子r的數(shù)量能夠被先驗(yàn)信息，因子碎石圖的視覺檢驗(yàn)和信息標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)用所決定。作為視覺診斷法的因子碎石圖

因子碎石圖是的有序特征值構(gòu)成的圖，它允許視覺評(píng)定第i個(gè)主成分的邊際貢獻(xiàn)，來描繪而不是前i個(gè)主成分回歸的R的平方。在此基礎(chǔ)上的正式測(cè)驗(yàn)將在下面討論。

第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三以信息標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)的r的估計(jì)：因子碎石圖基礎(chǔ)上的正式檢驗(yàn)(13)第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三3.2估計(jì)動(dòng)態(tài)因子q的數(shù)量三種方法：HallinandLiska(2007)提出一個(gè)頻域過程，它基于觀察到的一般成分頻譜的秩是q;BaiandNg(2007)提出了這樣一個(gè)估計(jì)量，它基于觀察到總體向量自回歸(5)中的創(chuàng)新方差矩陣有秩q；

AmengualandWatson(2007)的估計(jì)量是基于：在過去值的回歸中，其剩余值有一個(gè)秩為q的因子結(jié)構(gòu)，這里表明基于樣本方差矩陣的BaiandNg(2007)的信息標(biāo)準(zhǔn)不滿足動(dòng)態(tài)因子數(shù)量的一致估計(jì)。第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三我們自己有限的MonteCarlo實(shí)驗(yàn)表明，BaiandNg(2007)有著某種程度上更好的有限樣本性能，相對(duì)于AmengualandWatson(2007)的估計(jì)量。第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三四被估計(jì)因子的應(yīng)用被估計(jì)因子能夠作為數(shù)據(jù)應(yīng)用于第二階段的回歸和估計(jì)結(jié)構(gòu)性模型（FAVAR和DSGE）。4.1在第二階段回歸中的因子應(yīng)用預(yù)測(cè)作為工具變量第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三4.2增廣向量自回歸(FAVAR)FAVAR作為一種解決VAR模型構(gòu)造中兩個(gè)相關(guān)問題的方式：第一，在一常見的N個(gè)變量的VAR中，參數(shù)數(shù)量會(huì)隨著N的平方增長，因此當(dāng)N/T很大時(shí)，無限制的VAR是不可實(shí)行的，這一問題的解決辦法是強(qiáng)加先驗(yàn)分布的形式結(jié)構(gòu)到參數(shù)上，但這時(shí)需要一個(gè)先驗(yàn)分布；第二，SVARs的可逆性或非根本性問題。第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三Bernanke,Boivin,andEliasz(2005)提出維數(shù)問題可以通過強(qiáng)加來自DFM中的限制條件來解決。參考這個(gè)，以VAR形式來寫靜態(tài)的DFM(4)-(6)是可行的。結(jié)果是：(14)中所有的參數(shù)都能被估計(jì)。eg第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三至于SVARs的問題，需要強(qiáng)加足夠的識(shí)別限制：運(yùn)用通常SVAR識(shí)別工具包的延伸，包括強(qiáng)加短期內(nèi)的限制；長期內(nèi)限制；通過最大化一個(gè)或更多變量的主成分方差來識(shí)別沖擊；強(qiáng)加對(duì)符號(hào)的限制等。第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三4.3運(yùn)用D