數(shù)值分析課件第二章

數(shù)值分析課件第二章第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日

2.1引言

2.2拉格朗日插值多項式

2.3逐次線性插值

2.5差分與等距節(jié)點插值公式

2.6埃爾米特插值公式

2.7分段低次插值

2.4均差與牛頓插值多項式

2.8三次樣條插值第二章插值法第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日用簡單的函數(shù)(如多項式函數(shù))作為一個復(fù)雜函數(shù)的近似,最簡單實用的方法就是插值。本章主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念,及多項式插值的基礎(chǔ)理論和幾個常用的插值法:Lagrange插值、分段線性插值、Newton插值、Hermite插值和三次樣條插值。第一節(jié)引言第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿足條件g(xi)=

f(xi)

(i=0,…n)。這里的g(x)

稱為f(x)

的插值函數(shù)。當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時，在一系列節(jié)點x0…xn

處測得函數(shù)值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)最常用的插值函數(shù)是…?多項式插值節(jié)點插值條件第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日二、代數(shù)插值多項式的存在唯一性整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞為了使插值函數(shù)更方便在計算機上運算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項式和有理函數(shù)本章討論的就是代數(shù)插值多項式且滿足--------(2)--------(3)第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日--------(4)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日定理1.由Cramer法則,線性方程組(4)有唯一解--------(2)--------(3)則滿足插值條件的插值多項式存在且唯一.雖然線性方程組(4)推出的插值多項式存在且唯一但通過解線性方程組(4)求插值多項式卻不是好方法第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日

拉格朗日多項式/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即n=1使得111001已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0

,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數(shù)

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日

ThemathematicianS.hadtomovetoanewplace.Hiswifedidn'ttrusthimverymuch,sowhentheystooddownonthestreetwithalltheirthings,sheaskedhimtowatchtheirtentrunks,whileshegotataxi.Someminuteslatershereturned.Saidthehusband:"Ithoughtyousaidthereweretentrunks,butI'veonlycountedtonine!"Thewifesaid:"No,they'reTEN!""ButIhavecountedthem:0,1,2,..."n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每個li有n

個根x0…

xi…xn0=nj-=---=jijiniiixxCxxxxxxCxl0)())...()...(()(x==1-jijiiiixxCl)(1)(LagrangePolynomial與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點f第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日n+1次多項式第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日且從而第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日其中第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日例1:解:第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日且在例1中,如果只給出兩個節(jié)點169和225,也可以作插值多項式,即1次Lagrange插值多項式,有兩個插值基函數(shù),這種插值方法稱為Lagrange線性插值,也可以在n+1個節(jié)點中取相鄰的兩個節(jié)點作線性插值第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日Lagrange線性插值基函數(shù)為Lagrange線性插值多項式為參見圖第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日例2.解:Lagrange插值基函數(shù)為Lagrange線性插值多項式為第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日所以請編寫出Lagrange插值的Matlab程序程序：lagrangen.m第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日

插值余項/*Remainder*/設(shè)節(jié)點在(a,b)內(nèi)存在,考察截斷誤差，且f

滿足條件,其中，且依賴于x。應(yīng)當(dāng)指出，余項表達式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能使用。在(a,b)內(nèi)的具體位置通常不可能給出。如果可以求出，那么插值多項式的截斷誤差限是第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日例題：已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用線性插值及拋物插值計算sin0.3367的值并估計截斷誤差。解：由題意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,

y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用線性插值及拋物插值計算，取x0=0.32及x1=0.34,又由公式得

y1-y0sin0.3367L1(0.3367)=y0+————(0.3367-x0)

x1-x0 0.01892=0.314567+———(0.0167)=0.330365. 0.02第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日其截斷誤差得其中 ，因f(x)=sinx，f//(x)=-sinx，可取 ，于是

R1(0.3367)=sin0.3367–L1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.9210–5， 若取x1=0.34，x2=0.36為節(jié)點，則線性插值為第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日其截斷誤差為 ，其中于是用拋物插值計算sin0.3367時，可得第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日這個結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明查表時用二次插值精度已相當(dāng)高了。其截斷誤差得其中于是第二十三頁，共