2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點 專題訓(xùn)練 -圓的切線的證明

2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點專題訓(xùn)練--圓的切線的證明一、綜合題1．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是AC的中點，E為OD延長線上一點，且∠CAE=2∠C，AC與BD交于點H，與OE交于點F． （1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若DH=9，tanC=342．如圖，已知△ABC中，AB=AC，O為BC的中點，AB與⊙O相切于點D．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠B=33°，⊙O的半徑為1，求BD的長．（結(jié)果精確到0.01）3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB邊上的兩點，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點E，連接EF，過F作FG⊥BC于點G，其中∠OFE=12（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若sinB=354．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，E是BC的中點，OE=3cm.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長，5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，EO⊥AB，垂足為O，EO交AC于E，過點C作⊙O的切線CD交AB的延長線于點D．（1）求證：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半徑。6．如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上的兩點，弧AC=弧BD，AE與弦CD的延長線垂直，垂足為E．（1）求證：AE與半圓O相切；（2）若DE=2，AE=237．如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點D，∠C=90°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠CDB=60°，AB=18，求AD的長．8．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°．（1）如圖①，點B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點，點B是弧CD的中點，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖②，以點B為圓心的圓與邊AC相切于點F，與BC交于點G，求∠GFC的度數(shù)．9．已知二次函數(shù)y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3（m是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．（1）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點．①求m的值；②若m＜0，點C是一次函數(shù)y＝﹣x+b（b＞0）圖象上的一點，且∠ACB＝90°，求b的取值范圍；（2）當(dāng)﹣3≤x≤2時，函數(shù)的最大值為5，求m的值．10．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B，E兩點，交BD于點G，交AB于點F．（1）求證：AC與⊙O相切；（2）當(dāng)BD=6，sinC=3511．如圖，點M在矩形ABCD的邊AD延長線上，以AM為直徑作⊙O交AC于點F，點E在CD邊上，且EC=EF.（1）求證∶EF是⊙O的切線;（2）若cos∠CAD=3512．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AC平分∠DAB，直線DC與AB的延長線相交于點P，AD與PC延長線垂直，垂足為點D，CE平分∠ACB，交AB于點F，交⊙O于點E．（1）求證：PC與⊙O相切；（2）求證：PC=PF；（3）若AC=8，tan∠ABC=4313．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺規(guī)作圖：作⊙C，使它與AB相切于點D，與AC相交于點E，保留作圖痕跡，不寫作法，請標(biāo)明字母．（2）在你按（1）中要求所作的圖中，若BC=3，∠A=30°，求的長．14．如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D，連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求證：直線DM是⊙O的切線；（2）求證：DE2=DF?DA．15．如圖，直徑為10的半圓O，tan∠DBC=34（1）求證：BE為⊙O切線；（2）求證：BG2=FG?CE；（3）求OG的值．16．在屏幕上有如下內(nèi)容:如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AB的長為2，過點C的切線交AB的題長線于點D.張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答。（1）在屏幕內(nèi)容中添加條件∠D=30°，求AD的長，請你解答。（2）以下是小明、小思的對話:小明:我加的條件是BD=1，就可以求出AD的長。小聰:你這樣太簡單了，我加的是∠A=30°，連結(jié)OC，就可證明△ACB與△DCO全等。參考此對話:在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題（可以添線、添字母），并解答。

答案解析部分1．【答案】（1）證明：∵D是AC的中點，∴OE⊥AC，∴∠AFE=90°，∴∠E+∠EAF=90°，∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C，∴∠CAE=∠AOE，∴∠E+∠AOE=90°，∴∠EAO=90°，∴AE是⊙O的切線（2）解：∵∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴tanC=∴設(shè)HF=3x，DF=4x，∴DH=5x=9，∴x=9∴DF=365，∵∠C=∠FDH，∠DFH=∠CFD，∴△DFH∽△CFD，∴DFCF∴CF=36∴AF=CF=48設(shè)OA=OD=x，∴OF=x?36∵AF∴(48解得：x=10，∴OA=10，∴直徑AB的長為20．2．【答案】（1）證明：過點O作OE⊥AC于點E，連結(jié)OD，OA，∵AB與⊙O相切于點D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，∵AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端點且垂直于OE，∴AC是⊙O的切線（2）解：在Rt△BDO中，BD=CDtan3．【答案】（1）證明：連接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)G⊥BC，∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，∴∠OFE=12∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切線（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=35∴OB=53r，BE=4∴BF=OB+OF=83∴FG=BF?sinB=85∴BG=BF2?F∴EG=BG﹣BE=45∴S△FGE=12EG?FG=1625r∵BC是切線，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，∴S△EGHS△FGE=（EGFG）∴S△EHG=14S△FGE=4254．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAO，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD//OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線（2）解：如圖，連接BC，OE，∵E是BC的中點，OE=3cm，∴AC=6cm，∵AB是⊙O的直徑，AD⊥DC，半徑OA=5cm，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，AB=10cm，又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，則ADAC∴AD=5．【答案】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵EO⊥AB∴∠A+∠AEO=90°∴∠AEO=∠ABC∵OC=OB∴∠ABC=∠OCB∴∠AEO=∠OCB∵CD與⊙O相切，∴∠OCD=90°，∠AEO+∠BCD=90°．（2）解：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO∵AC=CD，∴∠A=∠D∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD=180°．∴3∠A+90°=180°∴∠A=30°，∵AC=3，∴AB=AC∴⊙O半徑為3．6．【答案】（1）證明：連接AC，∵∴即∴∠CAB=∠ACD，∴AB∥CE，∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠EAB=90°，∴AE⊥AB，∵OA為半徑，∴AE與半圓O相切；（2）解：連接AD，取AD的中點F，連接EF、OD，∵RtΔADE中，∠AED=∴AD=∵F是AD的中點，∴EF=∴ED=EF=DF=2，∴△DEF是等邊三角形，∴∠EDA=60°，由（1）知：AB∥CF∴∠DAO=∠EDA=60°，∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，OA=AD=4，∴7．【答案】（1）證明：連接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠CBD．∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODB+∠CDB=90°，即∠ODC=90°，∴OD⊥DC，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠CDB=60°，∴∠CBD=90°?∠CDB=30°，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°．∵AB=18，∴AO=1∴AD8．【答案】（1）解：連接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直徑，∵點B是弧CD的中點，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°-32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB-∠BCD＝58°-45°＝13°，故∠ABE＝∠ACD＝13°；（2）解：連接BF，∵AC與⊙B相切于點F，∴BF⊥AC，∴∠BFA＝∠BFC＝90°，∵∠BAC＝32°，∴∠ABF＝58°，∴∠CBF＝90°-58°＝32°，∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠BGF＝74°，∴∠GFC＝90°-∠BFG＝90°-74°＝16°．9．【答案】（1）解：①∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3．②∵m＜0，∴m＝﹣1．把m＝﹣1代入y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3中，得：y＝x2﹣4x．當(dāng)y＝x2﹣4x＝0時，x1＝0，x2＝4，∴AB＝4．以AB為直徑作⊙P，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可知：當(dāng)一次函數(shù)y＝﹣x+b（b＞0）的圖象與圓相交時，可得∠ACB＝90°．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+b（b＞0）的圖象與⊙P相切于點C，與y軸交于點E，與x軸交于點F，連接PC，易得∠PCF＝90°．當(dāng)x＝0時，y＝﹣x+b＝b，∴點E（0，b）；當(dāng)y＝﹣x+b＝0時，x＝b，∴點F（b，0）．∴AE＝AF＝b，∴∠PFC＝45°．又∵∠PCF＝90°，∴△PCF為等腰直角三角形，∴PF＝2PC＝22，∴b＝AF＝2+22．∴b的取值范圍為0＜b≤2+22（2）解：∵y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3＝（x+m﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為x＝1﹣m．①當(dāng)1﹣m≤﹣0.5，即m≥1.5時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性及增減性，當(dāng)x＝2時，函數(shù)最大值為5，∴（2+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝2或m＝﹣4（舍去）；②當(dāng)1﹣m＞﹣0.5，即m＜1.5時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性及增減性，當(dāng)x＝﹣3時，函數(shù)最大值為5，∴（﹣3+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝1或m＝7（舍去）．綜上所述，m＝2或m＝1．10．【答案】（1）證明：連接OE，∵AB=BC且D是AC中點，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE//BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=35∴BC=10，∴AB=BC=10，設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=10?r，∵OE//BD，∴△AOE∽△ABD∴OEBD=AO∴r=15答：⊙O的半徑是15411．【答案】（1）解：證明：連接OF，∵在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°∵EC=EF，∴∠EFC=∠DCA，∵OF=OA，∴∠OFA=∠CAD，∴∠EFC+∠OFA=90°，∴∠OFE=90°，即EF⊥OF，又OF是⊙O半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）連接MF，∵AM是直徑，∴∠AFM=90°，在Rt△AMF中，cos∠CAD=AF∴AF=6，6AM=3∵M(jìn)D=2，∴AD=8，在Rt△ACD中，cos∠CAD=ADAC∴8AC=35，∴FC=403-6=12．【答案】（1）證明：連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又AD⊥PD，∴OC⊥PD，∴PC與⊙O相切；（2）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠ECB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵∠BCP+∠OCB=90°，∴∠BCP=∠BAC，∵∠BAC=∠BEC，∴∠BCP=∠BEC，∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠BCP，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：連接AE，在Rt△ACB中，tan∠ABC=43∴BC=6，由勾股定理得，AB=AC∵弧AE=弧BE，∴AE=BE，則△AEB為等腰直角三角形，∴BE=2213．【答案】（1）解：如圖，⊙C為所求（2）解：∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC∴CD=3cos30°=33∴的長=60·π·3314．【答案】（1）證明：如圖1，連接DO，并延長交⊙O于點G，連接BG；∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG為⊙O的直徑，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直線DM是⊙O的切線；（2）證明：如圖2，連接BE．∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．