(完整版)高職專升本第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題及答案

應(yīng)用數(shù)學(xué)習(xí)題集第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一.選擇題f(x)1．若在x0處可導(dǎo)，則以下結(jié)論錯誤的是（D）。f(x)f(x)A在x0處有極限；B在x0處連續(xù)；Cf(x)在x0處可微；Df'(x)limf(x)必成立。xxf(x)2．若在x0處可導(dǎo)，則（B）是錯誤的。(02-03電大試題)f(x)A函數(shù)在點x0處有定義；Blimf(x)A，但Af(x)；0xx0f(x)f(x)C函數(shù)在x0處連續(xù)；D函數(shù)在x0處可微。f(x)f(x)3．在x0處不連續(xù)，則在x0處（A）A必不可導(dǎo)；B有時可導(dǎo)；C必?zé)o定義；D必?zé)o極限。f(x)4．函數(shù)=|2x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)（D）。A等于0；B等于2；C等于-2；D不存在。f(x)5．函數(shù)=|sinx|在點x=0處的導(dǎo)數(shù)（D）。A等于-1；B等于0；C等于1；D不存在。6．yln|x|，則y’=（B）。A1|x|111；B；C；D。xx|x|7．曲線y=sinx在點(0,0)處的切線方程是（C）。y1xCy=xDy=-xAy=2xB28．f(x)xcosx，則f"(x)=（D）。(02-03電大試題)Acosx+xsinxBcosx-xsinxC2sinx+xcosxD-2sinx-xcosx9．函數(shù)中在[1，e]上滿足Lagrange定理條件的函數(shù)是（B）。1Ay=ln(lnx)；By=lnx；Cy=；Dy=ln(2-x)。lnxf(x)10．若在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，Lagrange定理的結(jié)論是至少存在一點ξ，使（A）。1Af'()f(b)f(a)；Bf'()；baf(b)f(a)f'()(ba)；Df'()f(b)f(a)C。'()011．fx0f(x)，則x是函數(shù)的（D）。(02-03電大試題)0A.極大值點；B.最大值點；C.極小值點；D.駐點。f(x)12．x是連續(xù)函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極小值點，則（C）。0A必有f'(x)0；Bf'(x)必不存在；00'()0Cfxf'(x)不存在；Dx∈(a,b)時，必有f(x)f(x)。或00013．y=arctanex，則dy=（C）。ex1edxxdx。1e2xA；B1e2x；C1e2x；D1e2x14．設(shè)f(x)xcosx，則f'(x)=（C）。2A1-sinx2；B1+sinx2；C1-sinx2·2x；D(1-sinx2)·2x。t15．設(shè)f(t)，則f'(t)=（B）。t21A1t213t21；Dt212t；B(t21)2；C(t1)t21。2216．limaxxa(a0)的值是（D）。xaxaA0；B1；C∞；Daa(lna1)。f(x)17．若x1與x2分別是函數(shù)在(a,b)內(nèi)的一個極大點和一個極小點，則（D）必成立。Af(x)f(x)；Bf'(x)f'(x)0；1212C對x∈(a,b)，f(x)f(x)，f(x)f(x)；Df'(x)、f'(x)可能為0，也可能不存在。121218若limf(x)f(x)1，則f(x)f(x)一定是的（D）。0(xx)200xx0A最大值；B極小值；C最小值；D極大值。二.填空題：1．已知=lnx，則limln(xx)lnx=1。xxf(x)x022．若函數(shù)yln3，則y’=0。3．曲線y=x3+4在點(0,4)處的切線平行于x軸。4．拋物線y=x2在點(1/2,1/4)處的切線的傾斜角是45°。f(x)5．已知=x·sinx，則f"()=2。dyy=。dxxexy6．方程xy所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)lim()f(0)7．若函數(shù)在x=0處可微，則fx=。x0cotxdx8．dln(sinx)=。tanxdx=。9．dln(cosx)(sin)10．deexcosexdx。x11．半徑為x的金屬圓片，面積為S(x)。加熱后半徑伸長了△x，應(yīng)用微分方法求出△S≈S’(x)△x。12．limlnx0。exx13．函數(shù)y=arctan(x2+1)的遞增區(qū)間是(0,)。14．函數(shù)y=ln(2x4+8)的遞減區(qū)間是(,0)。15．函數(shù)y=sinx-x在其定義域內(nèi)的單調(diào)性是單調(diào)減少。f(x)16．極值存在的必要條件：如果在點x0處取得極值且在點x0處可導(dǎo)，則f(x)0。17．若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)f'(x)0，則函數(shù)的最小值為f(b)。18．設(shè)函數(shù)yf(x)二階可導(dǎo)，若f'(x)0、f"(x)0，則f(x)是f(x)的極大值。00019．已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)802q，則產(chǎn)量q50時，該產(chǎn)品的平均成本為3.6。20．微分近似計算函數(shù)值公式f(xx)f(x)f'(x)x。三、解答題：111．求函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)。1x1x112解：因為y1x，所以1x1x3y'2(1)2。(1x)(1x)222．求函數(shù)ylnxsinx的導(dǎo)數(shù)。1sinxlnxcosx解：y'(lnx)'sinxlnx(sinx)'xsinxxlnxcosx。sinxsin2xxsinx22yxex3．求函數(shù)cosx的導(dǎo)數(shù)。解：y'excosxxexcosxxexsinxex(cosxxcosxxsinx)。4．求方程yx2在點(3,9)處的切線方程。解：曲線yx2在點(3,9)處的切線的斜率為yx2在點(3,9)處的導(dǎo)數(shù)因為y'|2x|6，所以切線的方程為x3x3y96(x3)即6xy905．求函數(shù)ysin2xcos2x的導(dǎo)數(shù)。解：y'2sinx(sinx)'cos2xsin2x(sin2x)22sinxcosxcos2x2sin2xsin2x2sinx(cosxcos2xsinxsinx2x)2sinxcos3x。x的導(dǎo)數(shù)。6．求函數(shù)ylntan2解：y'xsec2x1111。sinxxx2sincos2222tan217．求函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)。cosnx解：y'(cosnx)'ncosn1x(cosx)'nsinx。cosxn18．利用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y(cosx)sinx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對數(shù)，得lnysinxlncosxx兩邊對求導(dǎo)，得4y'cosxlncosxsinxsinxycosxy'y(cosxlncosxsinxtanx)(cosx)sinx(cosxlncosxsinxtanx)。9．利用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y(sinx)lnx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對數(shù)，得lnylnxlnsinxx兩邊對求導(dǎo)，得y'1lnsinxlnxcosxyxsinx1y'y1lnsinxlnxcotx(sinx)lnxlnsinxlnxcotxxxdy所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。dxy10．求方程xyx解：兩邊取自然對數(shù)，得ylnxxlnyx兩邊對求導(dǎo)，得y'lnxy1lnyxy'xydyy(xlnyy)整理，得dxx(ylnxx)。11．求方程arctanylnx2yxdy2所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。dxx解：兩邊對求導(dǎo)，得1y'xy12x2yy'2xyx2y22x2y221xdyxy整理，得dxxy。dy所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。dxy12．求方程xeyexx解：兩邊對求導(dǎo)，得eyxeyy'y'exyex5dyeyyex整理，得dxexxey13．己知函數(shù)yxex，求y(n)。解：因為y'exxexex(x1)，y''ex(x1)exex(x2)，y'''ex(x2)exex(x3)，……所以，y(n)ex(xn)14．已知y(n2)x，求y(n)。lnxlnxx1解：y(n1)lnx1x，ln2xln2x1ln2x(lnx1)2lnx12lnxxxln3xy(n)x。ln4x15．求函數(shù)yarcsinx的微分。1dx。2x(1x)解：dyd(arcsinx)d(x)1x16．求函數(shù)yecotx的微分。解：dyd(ecotx)ecotxd(cotx)ecotxcsc2xdx。17．半徑為10cm的金屬圓片，加熱后半徑伸長了0.05cm，求所增加面積的精確值與近似值。解：S(rr)2r22rr(r)2，dSd(r2)2rdr。當(dāng)r10，drr0.05時，S1.0025，dS。即增加面積的精確值為1.0025，近似值為。18．判斷函數(shù)f(x)lnx在區(qū)間[1,e]上是否滿足Lagrange定理？如果滿足就求出定理中的。f(x)(0,)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)在區(qū)間[1,e]上解：因為f(x)lnx是初等函數(shù)，在其定義域連續(xù)，在區(qū)間(1,e)內(nèi)可導(dǎo)，滿足Lagrange定理條件。因而在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得(1,e)f'()1lneln11e1e16即e1。19．利用L’Hospital法則求極限limxlnx。xxlnx11解：limxlnxx型limxlnxx1xlnxxxx11lim型lim0。xxlnxxxlnx220．利用L’Hospital法則求極限limlntan5x。lntan8xx0lntan5x解：lim型lntan8xx01sec25x55sin16x516limtan5xlim11sec8x88sin10x810x0x02tan8x21．利用L’Hospital法則求極限limxx。x0解：limxxlimexlnxexlim0xlnx，x0x01lnxx因為limxlnxlim型limlimx0，11x0x0x0x0xx2所以limxxe01。x022．求函數(shù)yexx1的單調(diào)區(qū)間。解：令y'ex10，解得駐點，把定義域x0x0(,)分成(,0)和(0,)兩個子區(qū)間。列表x(,0)(0,)0x00--++f'(x)f(x)↘↗由表可知：函數(shù)f(x)在(,0)內(nèi)遞減，在(0,)內(nèi)遞增。yxlnx23．求函數(shù)2的極值點和極值。711解：令y'2xlnxx2x(2lnx1)0，解得x0或xex02。因為不在函數(shù)的定義域(0,)分成0,ee,兩個子區(qū)間。列表x111(0,)內(nèi)，舍去；xe2把2和211e,x0,e12e2+22lnx10-0f'(x)-+極小值1f(x)↘↗2ey112時，函數(shù)有極小值由表可知：當(dāng)xe。2e1xe2224．求函數(shù)y2xx4的極值點和極值。解：令y'4x4x34x(1x2)4x(1x)(1x)0，解得x0和x1。駐點x0和x1把函數(shù)的定義域(,)分成(,1)，(1,0)，(0,1)和(1,)四個子區(qū)間。列表x(,1)(1,0)(0,1)(1,)0001011xx--+-+++++1x00+++---0f'(x)f(x)+↗極大值極小值0極大值↗↘↘11x0y0由表可知：當(dāng)時，函數(shù)有極小值；當(dāng)x1y1時，函數(shù)有極大值。25．求函數(shù)f(x)xln(1x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：Qf(x)xln(1x)x(1,)f(x)111x由f(x)=0，知x=0x(1,0)(0,)0y08y0]Zf(x)的單調(diào)下降區(qū)間為（-1，0），上升區(qū)間為(0,)f(x)的極小值f(0)026若f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證f'(x)是偶函數(shù)。f(x)證：因是可導(dǎo)的奇函數(shù)，知f(x)f(x)，求導(dǎo)，有f'(x)f'(x)，所以f'(x)f'(x)，即f'(x)是偶函數(shù)。H27．驗證Lagrange中值定理對函數(shù)yax2bxc(a0)所求得的點ξ恒在正中間。解：函數(shù)yax2bxc(a0)在任意一個區(qū)間[m,n]上連續(xù)，在(m,n)內(nèi)可導(dǎo)，因此在(m,n)內(nèi)至少存在一點ξ使f'()f(n)f(m)nm由已知條件：f(n)f(m)(an2bnc)(am2bmc)(nm)[a(nm)b]f(n)f(m)a(nm)bnmf'()2ab于是2aba(mn)bmn即228.求曲線y6x24x2x4的凹凸區(qū)間和拐點解：y6x24x2x4xRy648x4x3y4812x212(x24)由y0知x2,22,22,x22yy-0+092689fx,22,所以曲線的凹區(qū)間2,2拐點2,292,68所以曲線fx的凸區(qū)間29.求曲線yxex的凹凸區(qū)間和拐點解：yexxexyexexxex所以yexx2由于y0x2,22,x2y-0y2e2fx2,所以曲線的凹區(qū)間,2拐點2,2e2fx所以曲線的凸區(qū)間30.求曲線yx44x32x5的凹凸區(qū)間和拐點解：y4x312x212y12x224x由y12xx20知：x0x212,00,22,x02yy+0-0+517fx所以曲線的凹區(qū)間,02,0,52,17fx0,2所以曲線的凸區(qū)間拐點1533231.求函數(shù)yxx24x在區(qū)間[-1，2]上的最值。解yx25x4(x1)(x4)令y0，求得區(qū)間[-1，2]上的駐點x1。10因為f(1),f(1),f(2)2，所以函數(shù)的最大值為f(1)，最小值為411111663641f(1)。6S32.設(shè)有一根長為L的鐵絲，現(xiàn)將其分為兩段，分別構(gòu)造成圓形和正方形。若記圓形的面積為1,正方形SSSS的面積為，求證：當(dāng)+最小時，121S4。22證：設(shè)圓的半徑為x，正方形的邊長為y。由已知2x4yL所以yLx。因此42L22L22f(x)SSxy2xxxLx，(0xL)22424416122f(x)2xL44L令f(x)0得唯一駐點x82L2S