初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)學(xué)習(xí)之三師用

四邊形MNQPt初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)學(xué)習(xí)之三最值和方程思想四邊形MNQPt例5寧）已知：等邊三角的邊長(zhǎng)為厘，長(zhǎng)為厘的線M在△的

AB

上沿

AB

方向以厘秒速度點(diǎn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，與點(diǎn)重，到點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止、N別作邊的垂線，eq\o\ac(△,與)eq\o\ac(△,)ABC的其它邊交、Q兩，線運(yùn)的時(shí)間秒

A）段N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中

為何值時(shí)，四邊MNQP

恰為矩形？并求出該矩形的面積；線段MN在動(dòng)的過(guò)程中形

的面積為S

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

求四邊MNQP

的面積

隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t

變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變?nèi)》秶膺^(guò)點(diǎn)DAB，垂足為．

AD

，

Q

當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到C垂平分時(shí)，四邊MNQP是形，即M

時(shí)，

MN

四邊形

MNQP

是矩形

秒時(shí)，四邊

是矩形．

QPMAMtan°=3SMNB）

時(shí)，

S四邊形

(PMQNMNt

32≤t≤

時(shí)，

S四邊形

3(PMQNMN2

32

時(shí)，

四邊形NQP

7(t3

QMNB點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵也是Q兩點(diǎn)不同位置進(jìn)行分類。例6四樂(lè)山形

中，DC，

厘米DC

厘米BC的坡度iP

從

出發(fā)以厘/秒的速度沿B

方向向點(diǎn)B

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q

從點(diǎn)

出發(fā)以3厘/秒的速度沿BC方向向點(diǎn)D運(yùn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，DC另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間）邊B的長(zhǎng)；）為值時(shí)PC

與BQ

相互平分；

Q結(jié)PQ△PBQ

的面積為yy與的數(shù)關(guān)系式為值

E

）

有最大值？最大值是多少？解作AB

于點(diǎn)E，如圖）示，則邊AECD

為矩形．AECD，CEDAi

3EB，AB．2分在△CEB

中，由勾股定理得2EB2．）設(shè)P

與BQ互平分．DC∥是平行四邊形（此QC上即

CQBPt

秒，與相平分．1

2△PBQ△．t3初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)學(xué)習(xí)之三最值和方程思想2△PBQ△．t3）當(dāng)Q在BC上即≤≤

時(shí)，作QF于F，QF．

QF3tt11981QF(12t(t．BC61022當(dāng)t

秒時(shí)

eq\o\ac(△,)PBQ

有最大值為

厘米．101411②當(dāng)在C上即≤t≤時(shí)S(12t)3322

=

．易知

隨t增大而減小．故

103

秒時(shí)

eq\o\ac(△,)PBQ

10有最大值36厘米．3

54t2tt，y14綜上，t

時(shí)，

△PBQ

有最大值為

厘米．二、利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)（或所求圖形面積）直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程。例頭圖知△ABC

中，AC

厘米

厘米

D

為

AB

的中點(diǎn)．）果點(diǎn)P在段B上厘秒的速度由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q在

線段CA上由點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．

DCQP與是①若點(diǎn)Q的動(dòng)速度與的動(dòng)速度相等，經(jīng)秒eq\o\ac(△,)請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的動(dòng)速度與的動(dòng)速度不相等的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)

Q

否全等，使△BPD與CQP全？）點(diǎn)以中的運(yùn)動(dòng)速度從發(fā)，點(diǎn)P以來(lái)運(yùn)動(dòng)速度從同出，都逆時(shí)針eq\o\ac(△,)ABC

三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與點(diǎn)Q第次eq\o\ac(△,)ABC

的哪條邊上相遇？解①∵t

秒，∴

厘米，∵AB

厘米，點(diǎn)

為

AB

的中點(diǎn)，BD

厘米．又∵8厘，∴PC厘米，∴．又∵AB，

，∴

△≌

．②∵v

，∴BPCQ，又∵

△CQP

，B

，則

BPCQ

，∴點(diǎn)P，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)t

BP

CQ515秒，∴vt44

厘秒3）經(jīng)過(guò)x秒點(diǎn)與Q第次相遇，由題意，得

xx，得x

秒．2

（圖①）初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)學(xué)習(xí)之三最值和方程思想（圖①）∴點(diǎn)P共運(yùn)了

厘米．∵80224

，∴點(diǎn)P、在邊上相遇，∴經(jīng)過(guò)

秒點(diǎn)P與第一次在邊A上相遇．例8濟(jì)）如圖，在梯中

∥AB42，

從

B

點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2單位長(zhǎng)度的速度向終運(yùn)；動(dòng)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線以秒1單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

秒．（）BC的．（）M∥時(shí)，的．（）探究t

為何值時(shí)eq\o\ac(△,)MNC為等腰三角形．解如圖①、分別作K于，DHBC于，則四邊形ADHK矩形2∴KHAD△中AKsin45．2

2BKABcos2

在，△CDH中由勾股定理得HC52

2

∴BC10

DADN

H

B

G

M

（圖②）（）圖②，作DG∥AB交BC于點(diǎn)，則四邊ADGB是平行四邊形∵M(jìn)N

∴MN∥∴AD

∴GC由題意知，M、N運(yùn)到t秒時(shí)CM．∵DG∥MN∠NMC∠CCCNCMtt即解，t∴△MNC∴CG7）三種情討論：①M(fèi)C時(shí)如圖③，tt

∴

t

103D

DN

N

M

MH

（圖③）

（圖④）②當(dāng)MN

時(shí)，如圖④，

作NEMC于

E解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)

1MCt2在△CEN

中，

cosc

5NCt

又在△DHC中

cos

CH53∴解得CD5t8∵∠C，DHCNEC

∴△NECDHC∴3

t5即∴tDC3

tt初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)學(xué)習(xí)之三最值和方程思想tt③當(dāng)MN時(shí)，如圖⑤，作MFCN于點(diǎn)FC

11t2解法一同中解