第4章因式分解專題四　因式分解的應(yīng)用習(xí)題精講課件（浙教版七年級下）

專題四因式分解的應(yīng)用

教材母題?(教材P111目標(biāo)與評定第10題)把偶數(shù)按從小到大的順序排列，相鄰的兩個偶數(shù)的平方差(較大的減去較小的)一定是4的倍數(shù)嗎？為什么？解：相鄰兩個偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)．理由：設(shè)這兩個相鄰偶數(shù)分別為2n，2n－2，則有(2n)2－(2n－2)2＝(2n＋2n－2)(2n－2n＋2)＝4(2n－1)所以相鄰兩個偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)．

【思想方法】利用因式分解把所求的代數(shù)式進行變形，從而使計算簡化．變形1如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)．(1)28和2012這兩個數(shù)是神秘數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k＋2和2k(其中k取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))是神秘數(shù)嗎？為什么？解：(1)28和2012都是神秘數(shù)，因為28＝82－62，2012＝5042－5022

(2)∵(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，∴由2k＋2和2k構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)(3)設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k＋1和2k－1，則(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，

∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)．

變形2利用因式分解的方法，試說明913－324必能被8整除．解：913－324＝326－324＝324(32－1)＝8×324∴913－324必能被8整除

變形3利用因式分解說明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．解：原式＝3198×(32－4×3＋10)＝3198×7，∴3200－4×3199＋10×3198能被7整除

專題四因式分解的應(yīng)用

變形4如圖在半徑為R的圓形鋼板上，截去半徑為r的四個圓，請列出陰影部分面積S的計算式子，并利用因式分解計算當(dāng)R＝6.5，r＝3.2時S的值(π≈3.14，結(jié)果精確到0.1)．解：S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2),當(dāng)R＝6.5，r＝3.2時，S＝4.0506≈4.1

變形5已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，當(dāng)x≠0時，3P－2Q＝7恒成立，求y的值．解：3P－2Q＝3(3xy－8x＋1)－2(x－2xy－2)＝9xy－24x＋3－2x＋4xy＋4＝13xy－26x＋7，∴13x(y－2)＝0，∵x≠0，∴y－2＝0，即y＝2變形6按要求解答下列各小題．(1)利用完全平方公式計算：5012.(2)利用因式分解計算：9992－9982.解：(1)5012＝(500＋1)2＝5002＋500×2×1＋12＝251001

(2)9992－9982＝(999＋998)×(999－998)＝1997

變形7已知a＋b＝5，ab＝3.(1)求a2b＋ab2的值；(2)求a2＋b2的值；(3)求(a2－b2)2的值．解：(1)ab(a＋b)＝3×5＝15

(2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝19(3)(a2－b2)2＝(a＋b)2(a－b)2＝52×13＝325

變形8已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．解：依題意得x2＋x＝1，∴x3＋2x2＋3＝x3＋x2＋x2＋3＝x(x2＋x)＋x2＋3＝x＋x2＋3＝4

專題四因式分解的應(yīng)用

變形10觀察猜想如圖，大長方形是由四個小長方形拼成的，請根據(jù)此圖填空：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝_(x＋p)(x＋q)__．說理驗證事實上，我們也可以用如下方法進行變形：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝__x(x＋p)＋q(x＋p)__＝__(x＋p)(x＋q)__．于是，我們可以利用上面的方法進行多項式的因式分解．嘗試運用例題把x2＋3x＋2分解因式．解：x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)．請利用上述方法將下列多項式分解因式：(1)x2－7x＋12