新教材人教a版選擇性必修第三冊(cè)6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課件2

第六章計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測(cè)?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)作業(yè)?提技能素養(yǎng)目標(biāo)?定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀通過(guò)實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義．1．了解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的特征．2．理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的概念和區(qū)別．3．掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．4．會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征，合理地分類或分步．必備知識(shí)?探新知

分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有______________種不同方法．N＝m＋n

知識(shí)點(diǎn)1思考1：(1)定義中每一類中的每一種方法能否獨(dú)立完成這件事？(2)各種方案之間有何關(guān)系？每一類方案中各種方法之間有何關(guān)系？提示：(1)能，每一類中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事．(2)各種方案之間相互獨(dú)立，并且任何一類方案中任何一種方法也相互獨(dú)立．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__________種不同的方法．思考2：(1)定義中每一步中的每一種方法能否獨(dú)立完成這件事？(2)根據(jù)定義完成一件事的方法數(shù)怎樣計(jì)算？提示：(1)不能，每一步中的每一種方法都不能獨(dú)立完成這件事．(2)從計(jì)數(shù)上看，各步的方法數(shù)的積就是完成這一件事的方法總數(shù)．m×n

知識(shí)點(diǎn)2分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)3

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵詞分類分步本質(zhì)每類方案都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次性的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事各類(步)的關(guān)系各類方案之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的，即“分類互斥”各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性，“獨(dú)立”確保不重復(fù)，即“分步互依”

思考3：分類加法計(jì)數(shù)原理每一類中的方法和分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法有何區(qū)別？提示：分類加法計(jì)數(shù)原理每一類中的方案可以完成一件事情，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法不能獨(dú)立完成一件事情．關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一分類加法計(jì)數(shù)原理

在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的有多少？[分析]

根據(jù)情況安排個(gè)位、十位上的數(shù)字．先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，再求出每一類的個(gè)數(shù)，最后得出結(jié)論．[解析]

方法一：按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36．典例1方法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36．方法三：考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思想解決．所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11,22,33，…，99，共9個(gè)．個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置的兩位數(shù)為10,20,30，…，90，共9個(gè)．剩余的72個(gè)兩位數(shù)中，將每一個(gè)“個(gè)位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩位數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置后，都有一個(gè)“個(gè)位數(shù)字(b)大于十位數(shù)字(a)的兩位數(shù)”與其對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是72÷2＝36．[規(guī)律方法]

應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：(1)明確題目中所指的“完成一件事”

指的是什么事，怎樣才算是完成這件事．(2)完成這件事的n類辦法中的各種方法是互不相同的，無(wú)論哪類辦法中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事．(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，這個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”必須滿足：①完成這件事情的任何一種方法必須屬于其中的一類；②不同類中的方法不能相同，即不重復(fù)，無(wú)遺漏．B

56

[解析]

(1)若4本中有3本語(yǔ)文參考書(shū)和1本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有4種方法，若4本中有1本語(yǔ)文參考書(shū)和3本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有4種方法，若4本中有2本語(yǔ)文參考書(shū)和2本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有6種方法，若4本都是數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有一種方法，所以不同的贈(zèng)選方法共有4＋4＋6＋1＝15(種)．(2)完成這件事需要分兩類完成：第一類：選1名男生，有38種選法；第二類：選1名女生，有18種選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N＝38＋18＝56(種)不同的選法．題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理由數(shù)字0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)：(1)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？[分析]

(1)數(shù)字各不相同，且百位上的數(shù)字不可為0；(2)數(shù)字可以重復(fù)，但百位上的數(shù)字不可為0．典例2[解析]

(1)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3三個(gè)數(shù)字都可以，有3種不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三個(gè)數(shù)字都可以，有3種不同的方法；第三步：排個(gè)位，除百位、十位上已用的，其余兩個(gè)數(shù)字都可以，有2種不同的方法．故可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共3×3×2＝18(個(gè))．(2)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3這三個(gè)數(shù)字都可以，有3種不同的方法；第二步：排十位，0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字都可以，有4種不同的方法；第三步：排個(gè)位，0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字都可以，有4種不同的方法．故可組成可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共3×4×4＝48(個(gè))．[規(guī)律方法]

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過(guò)程分成若干步．(2)計(jì)數(shù)：逐一求出每一步中的方法數(shù)．(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?

(1)現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是 (

)A．56 B．65C．30 D．11(2)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99；3位回文數(shù)有90個(gè)101,111,121，…，191,202，…，999．則5位回文數(shù)有_______個(gè)．A

900

[解析]

(1)第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有56種不同的選法．(2)第一步，選左邊第一個(gè)數(shù)字和右邊第一個(gè)數(shù)字相同，有9種選法；第二步，選左邊第二個(gè)數(shù)字和右邊第二個(gè)數(shù)字相同，有10種選法；第三步，選左邊第三個(gè)數(shù)字就是右邊第三個(gè)數(shù)字，有10種選法，故5位回文數(shù)有9×10×10＝900，故答案為900．題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

現(xiàn)有高一學(xué)生50人，高二學(xué)生42人，高三學(xué)生30人，組成冬令營(yíng)．(1)若從中選1人作總負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2)若每年級(jí)各選1名負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(3)若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來(lái)自不同的年級(jí)，則有多少種選法？[分析]

要分清是“分類”還是“分步”．(1)是分類；(2)是分步；(3)是先分類后分步．典例3[解析]

(1)從高一選1人作總負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1人作總負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1人作總負(fù)責(zé)人有30種選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，可知共有50＋42＋30＝122(種)選法．(2)從高一選1名負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1名負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1名負(fù)責(zé)人有30種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知共有50×42×30＝63000(種)選法．(3)①高一和高二各選1人作為中心發(fā)言人，有50×42＝2100(種)選法；②高二和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有42×30＝1260(種)選法；③高一和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有50×30＝1500(種)選法．故共有2100＋1260＋1500＝4860(種)選法．[規(guī)律方法]

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的解題策略用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決具體問(wèn)題時(shí)，首先，要分清是“分類”還是“分步”，區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情．其次，要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時(shí)要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時(shí)要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性；有些題目中“分類”與“分步”同時(shí)進(jìn)行，即“先分類后分步”或“先分步后分類”．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?將3種農(nóng)作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊試驗(yàn)田種植一種農(nóng)作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種農(nóng)作物，不同的種植方法共有______種．[解析]

分別用a，b，c代表3種農(nóng)作物，將試驗(yàn)田從左到右依次編號(hào)為①②③④⑤．先種①號(hào)田，有3種種植方法，不妨設(shè)種植a．再種②號(hào)田，可種植b或c，有2種種植方法，不妨設(shè)種植b．42

若③號(hào)田種植c，則④⑤號(hào)田分別有2種種植方法，則不同的種植方法共有2×2＝4(種)．若③號(hào)田種植a，則④號(hào)田可種植上b或c．(1)若④號(hào)田種植c，則⑤號(hào)田有2種種植方法；(2)若④號(hào)田種植b，則⑤號(hào)田只能種植c，有1種種植方法．綜上所述，不同的種植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(種)．易錯(cuò)警示分步標(biāo)準(zhǔn)不清致錯(cuò)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生，則不同的冠軍獲得情況共有______種．64

典例4[錯(cuò)解]

分四步完成這件事．第一步，第1名同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠軍，有可能1個(gè)也沒(méi)獲得，也可能獲得1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)，因此，共有4種不同情況．同理，第二、三、四步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠軍，卻各自有4種不同情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4×4＝256(種)．[辨析]

用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解對(duì)象可重復(fù)選取的問(wèn)題時(shí)，哪類對(duì)象必須“用完”就以哪類對(duì)象作為分步的依據(jù)．本題中要完成的“一件事”是“爭(zhēng)奪3門學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生”，而錯(cuò)解中可能出現(xiàn)某一學(xué)科冠軍被2人、3人甚至4人獲得的情形，另外還可能出現(xiàn)某一學(xué)科沒(méi)有冠軍產(chǎn)生的情況．[正解]

由題知，研究的對(duì)象是“3門學(xué)科”，只有3門學(xué)科各產(chǎn)生1名冠軍，才算完成了這件事，而4名同學(xué)不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步．第一步，產(chǎn)生第1個(gè)學(xué)科冠軍，它一定被其中1名同學(xué)獲得，有4種不同的獲得情況；第二步，產(chǎn)生第2個(gè)學(xué)科冠軍，因?yàn)閵Z得第1個(gè)學(xué)科冠軍的同學(xué)還可以去爭(zhēng)奪第2個(gè)學(xué)科的冠軍，所以第2個(gè)學(xué)科冠軍也是由4名同學(xué)去爭(zhēng)奪，有4種不同的獲得情況；第三步，同理，產(chǎn)生第3個(gè)學(xué)科冠軍也有4種不同的獲得情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4＝64(種)．課堂檢測(cè)?固雙基1．(2021·山東省煙臺(tái)市期末)自2020年起，山東夏季高考成績(jī)由“3＋3”組成，其中第一個(gè)“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3科，第二個(gè)“3”指學(xué)生從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6科中任選3科作為選考科目．某同學(xué)計(jì)劃從物理、化學(xué)、生物3科中任選2科，從政治、歷史、地理3科中任選1科作為選考科目，則該同學(xué)3科選考科目的不同選法的種數(shù)為 (

)A．6 B．7C．8 D．9D

[解析]

分兩步，第一步，從物理、化學(xué)、生物3科中任選2科，有3種選法，第二步，從政治、歷史、地理3科中任選1科，有3種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同選法共有3×3＝9(種)．2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?

Q．把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (

)A．9 B．14C．15 D．21[解析]

因?yàn)镻?Q，所以分兩類．當(dāng)x＝2時(shí)，y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7；當(dāng)x≠2時(shí)，x＝y(tǒng)∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7．則滿足題意的點(diǎn)共有14個(gè)．B

3．把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有 (

)A．