2020版數(shù)學(xué)攻略大浙江專用精練23-§4-8正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例夯基提能作業(yè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§4。8正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例A組基礎(chǔ)題組1。如圖,兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m、50m，BD為水平線，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為（）A。30° B。45° C.60° D。75°答案B依題意可得AD=2010(m），AC=305（m)，又CD=50(m)，所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=A=(=60006又0°〈∠CAD〈180°，所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°。2.(2018杭州調(diào)研）據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭正西方向400km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向東北方向移動(dòng),距風(fēng)暴中心300km以內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),則該碼頭處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為(）A。9h B。10h C。11h D.12h答案B記碼頭為點(diǎn)O,熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點(diǎn)位置,在△OAB中，OA=400km，AB=20tkm，∠OAB=45°，根據(jù)余弦定理得4002+400t2—2×20t×400×22≤3002,即t2-202t+175≤0,解得102—5≤t≤102+5，所以所求時(shí)間為102+5—102+5=10（h)，故選B.3.（2018紹興一中高三期中）以BC為底邊的等腰三角形ABC中,AC邊上的中線長為6,當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，腰AB的長為()A.63 B。65 C。43 D。45答案D如圖所示,設(shè)D為AC的中點(diǎn),由余弦定理得cosA=b2+c在△ABD中,BD2=b2+b22-2×b×b2可得2a2+b2=144，設(shè)BC邊上的高為h，所以S=12ah=12=12a144-=12所以，當(dāng)a2=32時(shí)，S有最大值,此時(shí)，b2=144—2a2=80，解得b=45，即腰長AB=45.故選D.4.如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A,B間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A,B，C所對(duì)的邊分別記為a,b,c)，然后給出了三種測(cè)量方案：①測(cè)量A,C,b；②測(cè)量a，b，C;③測(cè)量A，B,a,則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為（）A.①② B.②③ C.①③ D。①②③答案D對(duì)于①③，由三角形內(nèi)角和定理和正弦定理可求得A,B間的距離;對(duì)于②，由余弦定理可求得A，B間的距離。5.（2018嘉興高三模擬)如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與觀測(cè)站A距離202海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北θ（0°〈θ<45°)的C處，且cosθ=45。已知A、C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為答案485解析因?yàn)閏osθ=45,0°<θ〈45°，所以sinθ=35，則cos∠BAC=cos（45°—θ)=22×45+22×35=7210,在△ABC中，BC2=800+100-2×2026。（2018福州綜合質(zhì)量檢測(cè)）在距離塔底分別為80m，160m,240m的同一水平面上的A，B，C處,依次測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，γ.若α+β+γ=90°，則塔高為.

答案80m解析設(shè)塔高為hm.依題意得,tanα=h80，tanβ=h160，tanγ=h240.因?yàn)棣?β+γ=90°,所以tan(α+β）tanγ=tan(90°—γ)tanγ=sin(90°-γ)sinγ7.如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°,30°,此時(shí)氣球的高是46m,則河流的寬度BC約等于m。(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位。參考數(shù)據(jù):sin67°≈0.92,cos67°≈0。39,sin37°≈0.60，cos37°≈0。80，3≈1.73）

答案60解析不妨設(shè)氣球A在地面的投影為點(diǎn)D，則AD=46m,于是BD=AD·tan（90°-67°)=46×cos67°sin67°≈19.5m，DC=AD·tan（90°-30°)=46×8.某觀察站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出發(fā)有一條公路,走向是南偏東40°，距C處31千米的公路上的B處有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到達(dá)D處，此時(shí)C、D的距離為21千米，則此人還需走多少千米才能到達(dá)A城？解析設(shè)AD=x千米，AC=y千米,∵∠BAC=20°+40°=60°，∴在△ACD中，由余弦定理得x2+y2—2xycos60°=212，即x2+y2—xy=441.①而在△ABC中,由余弦定理得（x+20）2+y2-2(x+20)ycos60°=312，即x2+y2-xy+40x—20y=561.②②—①得y=2x—6，代入①得x2—6x-135=0,解得x=15或x=-9(舍去)。故此人還需走15千米才能到達(dá)A城.9.如圖，在某港口A處獲悉,其正東方向20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救，此時(shí)救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C處,求援船接到救援命令后立即從C處沿直線前往B處營救漁船.(1）求接到救援命令時(shí)救援船距漁船的距離;（2)試問救援船在C處應(yīng)朝什么方向沿直線前往B處救援？已知解析(1)由題意得，在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°，所以CB2=AB2+AC2—2AB·ACcos∠CAB=202+102—2×20×10cos120°=700，所以BC=107,所以接到救援命令時(shí)，救援船距漁船的距離為107海里.(2）在△ABC中，AB=20，BC=107,∠CAB=120°,由正弦定理得ABsin∠ACB=即20sin∠ACB=解得sin∠ACB=217因?yàn)閏os49°=217所以∠ACB=41°，故救援船應(yīng)沿北偏東71°的方向救援。10。（2018杭州七校高三聯(lián)考）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且sinBsinA，sin（1)求角A的值;（2）若a=10，b+c=5，求△ABC的面積.解析(1）因?yàn)閟inBsinA，sinC所以2sinCsinA=sin整理可得2sinC-sin所以sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,即2sinCcosA=sin（A+B)=sinC,因?yàn)閟inC>0，所以cosA=12,所以A=π（2)因?yàn)閍=10,b+c=5,所以由余弦定理可得a2=10=b2+c2—2bccosA=(b+c）2-3bc,可解得bc=5,所以S△ABC=12bcsinA=12×5×3211.(2018洛陽第一次統(tǒng)一考試）如圖,在平面四邊形ABDC中,∠CAD=∠BAD=30°.（1)若∠ABC=75°,AB=10，且AC∥BD，求CD的長;(2）若BC=10,求AC+AB的取值范圍.解析（1)由已知，易得∠ACB=45°,在△ABC中，10sin45°=CBsin60°因?yàn)锳C∥BD，所以∠ADB=∠CAD=30°，∠CBD=∠ACB=45°,在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,所以DB=AB=10.在△BCD中,CD=CB2+D（2)AC+AB〉BC=10，cos60°=AB2+AC而AB·AC≤AB+所以(AB+AC解得AB+AC≤20，故AB+AC的取值范圍為(10,20].B組提升題組1.地面上有兩座相距120米的塔,在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣?在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫棣?A。50米,100米 B.40米,90米C。40米，50米 D.30米，40米答案B設(shè)高塔高H米，矮塔高h(yuǎn)米，在O點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣?則tanα=H120,tanα2=根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有H120=2×因?yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn)O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵栽贠點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难鼋菫棣?由tanβ=H60,tanπ2-得H60=60聯(lián)立①②解得H=90，h=40。即兩座塔的高度分別為40米,90米。2。如圖，在海中一孤島D的周圍有2個(gè)觀察站A，C,已知觀察站A在島D的正北5km處，觀察站C在島D的正西方,現(xiàn)在海面上有一船B，在A點(diǎn)測(cè)得其在南偏西60°方向4km處,在C點(diǎn)測(cè)得其在北偏西30°方向上,則兩觀察站A與C的距離為km。

答案27解析如圖，延長AB與DC，設(shè)交點(diǎn)為E，由題意可得∠E=30°,∠BCE=60°,∴∠EBC=90°,∠ABC=90°,在Rt△ADE中,AE=ADsin30所以EB=AE—AB=6km。在Rt△EBC中,BC=BE·tan30°=23km,在Rt△ABC中,AC=AB2+B3.如圖，一棟建筑物AB的高為(30-103)m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD。在它們之間的地面點(diǎn)M（B,M,D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則通信塔CD的高為m.

答案60解析如圖,在Rt△ABM中，AM=ABsin∠AMB=30-103sin15°=過A點(diǎn)作CD的垂線,垂足為N，易知∠MAN=∠AMB=15°，所以∠MAC=30°+15°=45°,又∠AMC=180°—15°—60°=105°，從而∠ACM=30°。在△AMC中，由正弦定理得MCsin45°=206sin30°4。如圖，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A、B、C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn),B、C兩點(diǎn)到A的距離分別為20千米和50千米,某時(shí)刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào),8秒后A、C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.（1)設(shè)A到P的距離為x千米,用x表示B、C到P的距離,并求x的值;(2)求P到海防警戒線AC的距離。解析(1)依題意,有PA=PC=x千米，PB=x-1.5×8=(x-12）千米.在△PAB中，AB=20千米，cos∠PAB=PA2+AB2在△PAC中，AC=50千米，cos∠PAC=PA2+AC2∵cos∠PAB=cos∠PAC,∴3x+325(2）作PD⊥AC于點(diǎn)D(圖略)，在△ADP中,由（1）可知cos∠PAD=2531則sin∠PAD=1-cos∴PD=PA·sin∠PAD=31×42131=4故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為421千米。5。某港灣的平面示意圖如圖所示，O,A和B分別是海岸線l1和l2上的三個(gè)集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處,B位于O的北偏東60°方向10km處。(1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離；（2）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M,N，開辟水上航線,勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心,3km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行，請(qǐng)確定碼頭M,N的位置，使得M，N之間的直線航距最短。解析(1）在△ABO中,OA=6，OB=10，∠AOB=120°,根據(jù)余弦定理得AB2=OA2+OB2—2·OA·OB·cos120°=62+102—2×6×10×-12(2)依題意得，直線MN必與圓O相切,設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC（圖略),則OC⊥MN。設(shè)OM=x,ON=y，MN=c，在△OMN