第二學期-微積分(B)Ⅱ期中試卷答案

北京交通大學2021-2021學年第二學期微積分B〔Ⅱ〕期中考試試卷答案一．填空題〔此題總分值10分，共有5道小題，每道小題2分〕，請將適宜的答案填在空中．1．設，那么_______________________．2．,那么______________________.3．設方程確定隱函數其中具有連續(xù)的一節(jié)偏導數,那么________________________．4．函數在點A(1,0,1)處沿點A指向點B(3,-2,2)方向的方向導數為______________________．5．設，那么___________________．答案:1.12.3..4.5.二．選擇填空題〔此題總分值10分，共有5道小題，每道小題2分〕．以下每道題有四個答案，其中只有一個答案是正確的，請選出適宜的答案填在空中，多項選擇無效．1．證明函數在點可微的方法是【】．〔A〕在該點存在；〔B〕當時，在該點趨于零；〔C〕當時，在該點趨于零；〔D〕當時，在該點趨于零．2．二元函數在點〔0，0〕處【】．〔A〕連續(xù),偏導數存在；〔B〕連續(xù),偏導數不存在；〔C〕不連續(xù),偏導數存在；〔D〕不連續(xù),偏導數不存在．3．在〔0，0〕的某個領域內連續(xù)，且．那么【】．〔A〕點(0，0)不是的極值點；〔B〕點(0，0)是的極大值點；〔C〕點(0，0)是的極小值點；〔D〕根據所給條件無法判斷點〔0，0〕是否為的極值點．4．設函數在點〔0，0〕附近有定義，且那么【】．〔A〕；〔B〕曲面在點的法向量為{3，1，1}；〔C〕曲線在點的切向量為{1，0，3}；〔D〕曲線在點的切向量為{3，0，1}．5．設函數是由方程確定，其中為可微函數，且那么【】．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕．答案：1.〔C〕．2.〔C〕．3.〔A〕．4.〔C〕．5.〔B〕．三．〔此題總分值7分〕設二元函數，其中函數具有二階連續(xù)的偏導數，求．解：(3分)(4分)四．〔此題總分值11分〕證明函數在點〔0，0〕處可微分，但偏導數在該點不連續(xù).證：當時，.(2分)當時,(1分)類似地，可得：當時，(1分)當時，(1分)讓點沿趨向于〔0，0〕，那么有：當時顯然不存在，即當時，的極限不存在.(2分)同理，的極限不存在。故偏導數在〔0，0〕處不連續(xù).(1分)又而且，(2分)所以，在點〔0，0〕處可微分，且(1分)五．〔此題總分值10分〕求為何值時，線性變換可將方程簡化為〔假設對有二階連續(xù)偏導數〕.解：(1分)(1分)(2分)(2分)(2分)代入原方程，得由題意有：解之得，，或(2分)六．〔此題總分值8分〕求二元函數的極值。解：。(2分)所以駐點為。(2分)駐點處，，，(3分)所以為極小值點，極小值為。(1分)七．〔此題總分值8分〕求空間曲線在點出的切線方程及法平面方程.解：切向量為，(2分)原方程組兩邊對求導得(2分)將代入,解得,所以切向量為(2分)故所求切線方程為:(1分)法平面方程為:即(1分)八．〔此題總分值8分〕設直線在平面上，而平面與曲面相切于點〔1，-2，5〕，求之值.解：曲面在點〔1，-2，5〕處的法向量為{2，-4，-1}，(2分)于是切平面方程為〔3分〕由得，，代入〔*〕式得，因而有由此解得.(3分)九．〔此題總分值10分〕設有一小山，取它的底面所在的平面為坐標面，其底部所占的區(qū)，小山的高度函數為.設為區(qū)域上的一個點，問在該點沿什么方向的方向導數最大？假設記此方向導數的最大值為，試寫出的表達式.現欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點.也就是說，要在的邊界曲線上找出使〔1〕中的到達最大值的點.試確定攀登起點的位置.解：〔1〕由梯度的幾何意義知，在點處沿梯度grad(2分)方向的方向導數最大，方向導數的最大值為該梯度的模，所以(2分)〔2〕令由題意，只須求在約束條件下的最大值點.令,(2分)那么(2分)①式與②式相加可得,從而得或假設，那么由①式得，再由②式得假設，那么由③式得于是得到四個可能的極值點由于故或可作為攀登的起點.(2分)十．〔此題總分值10分〕設是曲面在點處的指向內側的法向量，求函數在點處沿方向的方向導數.解：曲面在點處指向內側的法向量為,(3分)單位化后得.(1分),(1分),(1分),(1分)那么