2022-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題11-7 三角形章末題型過關(guān)卷（人教版）（解析版）

第11章三角形章末題型過關(guān)卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022?安徽）如圖是由10把相同的折扇組成的“蝶戀花”（圖1）和梅花圖案（圖2）（圖中的折扇無重疊），則梅花圖案中的五角星的五個(gè)銳角均為（）A．36° B．42° C．45° D．48°【分析】根據(jù)圖（1）先求出梅花扇的內(nèi)角的度數(shù)是120°，則兩銳角的和等于60°，把梅花圖案連接成正五邊形，求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后解答即可．【解答】解：如圖，梅花扇的內(nèi)角的度數(shù)是：360°÷3＝120°，180°﹣120°＝60°，正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角＝（5﹣2）?180°÷5＝108°，∴梅花圖案中的五角星的五個(gè)銳角均為：108°﹣60°＝48°．故選：D．2．（3分）（2022?興平市一模）如圖，CM是△ABC的中線，△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，BC＝8cm，則AC的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根據(jù)三角形中線的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵CM為△ABC的AB邊上的中線，∴AM＝BM，∵△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，∴BC﹣AC＝3cm，∵BC＝8cm，∴AC＝5cm，故選：C．3．（3分）（2022秋?原州區(qū)期末）下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形高的畫法知，過點(diǎn)B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷．【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項(xiàng)C．故選：C．4．（3分）（2022秋?西青區(qū)期末）小芳有兩根長度為5cm和10cm的木條，她想釘一個(gè)三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條，她應(yīng)該選擇長度為（）的木條．A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm【分析】設(shè)木條的長度為xcm，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)木條的長度為xcm，則10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．故選：D．5．（3分）（2022秋?曲靖期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點(diǎn)；P2是△BP1C的內(nèi)角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CP2的交點(diǎn)；P3是△BP2C的內(nèi)角∠P2BC的平分線BP3與外角∠P2CE的平分線CP3的交點(diǎn)；依次這樣下去，則∠P6的度數(shù)為（）A．2° B．4° C．8° D．16°【分析】根據(jù)角平分線的定義得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到12（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P=12∠ABC+∠【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角平分線BP與外角平分線CP1交于P1，∴∠P1BC=12∠ABC，∠P1CE=1∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，∴12（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1=12∠ABC+∠∴∠P1=12∠A同理∠P2=12∠P∴∠P6＝2°，故選：A．6．（3分）（2022春?忠縣期末）設(shè)三角形ABC與某長方形相交于如圖所示的A、E、D、F點(diǎn)，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（）A．35° B．40° C．45° D．50°【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CFA＝∠B+∠BAF＝45°，根據(jù)長方形的性質(zhì)得出DE∥AF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CDE＝∠CFA，再得出答案即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAF＝15°，∴∠CFA＝∠B+∠BAF＝30°+15°＝45°，∵DE∥AF，∴∠CDE＝∠CFA＝45°，故選：C．7．（3分）（2022秋?寧津縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（）A．180° B．240° C．360° D．540°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角與外角、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，由三角形外角性質(zhì)可知：∠1＝∠F+∠B，∠2＝∠A+∠E，∴在四邊形ADCG中，由四邊形內(nèi)角和可知：∠D+∠C+∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故選：C．8．（3分）（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，△ABC的面積等于8，∴S△ABD=12S△∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△BDE=12S△ABD故選：A．9．（3分）（2022秋?巴州區(qū)期末）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16【分析】根據(jù)不同的截法，找出前后的多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系得出答案．【解答】解：如圖，n邊形，A1A2A3…An，若沿著直線A1A3截去一個(gè)角，所得到的多邊形，比原來的多邊形的邊數(shù)少1，若沿著直線A1M截去一個(gè)角，所得到的多邊形，與原來的多邊形的邊數(shù)相等，若沿著直線MN截去一個(gè)角，所得到的多邊形，比原來的多邊形的邊數(shù)多1，因此將一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)為13或14或15，故選：C．10．（3分）（2022秋?猇亭區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°【分析】利用四邊形內(nèi)角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義求得∠PAB+∠ABP的度數(shù)，所以根據(jù)△ABP的內(nèi)角和定理求得∠P的度數(shù)即可．【解答】解：如圖，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，∴∠PAB+∠ABP=12∠DAB+∠ABC+12（180°﹣∠ABC）＝90°+1∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故選：B．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022春?金堂縣期末）一個(gè)多邊形的一個(gè)外角為α，且該多邊形的內(nèi)角和與α的和等于840°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為六，α＝120度．【分析】多邊形外角一定小于180°，利用840除以180可得4余120，可得這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6，外角α是120°．【解答】解：∵840÷180＝4…120，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：4+2＝6，α＝120°，故答案為：六；120．12．（3分）（2022春?海安市校級月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝42°，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△DEF，連接CD．在整個(gè)平移過程中，若∠ACD和∠CDE的度數(shù)存在2倍關(guān)系，則∠CDE＝14或28或42度．【分析】根據(jù)題意作出圖形，記直線AC與直線DE的交點(diǎn)為點(diǎn)G，由平移得AB∥DE，得到∠BAC＝∠AGD＝42°，然后由∠AGD是△CDG的外角得到∠AGD和∠EDC、∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求得∠CDE的度數(shù)．【解答】解：如圖，記直線AC與直線DE的交點(diǎn)為點(diǎn)G，由平移得，AB∥DE，∴∠BAC＝∠AGD＝42°，如圖1，當(dāng)∠EDC＝2∠ACD時(shí)，∵∠AGD是△CDG的外角，∴∠AGD＝∠EDC+∠ACD，∴2∠ACD+∠ACD＝42°，∴∠ACD＝14°，∴∠CDE＝28°，如圖2，當(dāng)∠ACD＝2∠EDC時(shí)，2∠EDC+∠EDC＝42°，∴∠CDE＝14°，如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在AC和DE延長線的交點(diǎn)時(shí)，∠ACD＝∠CDF，∴∠ACD＝2∠CDE，∵∠ACD是△CDG的外角，∴∠ACD＝∠AGD+∠CDE，又∵∠AGD＝42°，∴∠CDE+42°＝2∠CDE，∴∠CDE＝42°，綜上所述，∠CDE的度數(shù)為28°或14°或42°，故答案為：28或14或42．13．（3分）（2022秋?江漢區(qū)期末）如圖，將一副三角尺的兩個(gè)銳角（30°角和45°角）的頂點(diǎn)P疊放在一起，沒有重疊的部分分別記作∠1和∠2，若∠1與∠2的和為61°，則∠APC的度數(shù)是68°．【分析】先求30°和45°重合部分的角的度數(shù)，再加上∠1與∠2的和即可得到答案．【解答】解：三角板重合部分的角的度數(shù)＝（30+45﹣61）÷2＝7°，∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．故答案為：68°．14．（3分）（2022秋?新田縣期中）在同一平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在同一直線上．已知3個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到1個(gè)三角形，如圖1；4個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到4個(gè)三角形（以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）如圖2；5個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到10個(gè)三角形（以這5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）如圖3，…；則10個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到120個(gè)三角形（以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）．【分析】根據(jù)3個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到1個(gè)三角形，4個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到4個(gè)三角形，5個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到10個(gè)三角形，可得連接n個(gè)點(diǎn)可得三角形的個(gè)數(shù)是n(n?1)(n?2)6【解答】解：由圖可知，3個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到1個(gè)三角形，3×2×164個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到4個(gè)三角形，4×3×265個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到10個(gè)三角形，5×4×36…n個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得三角形的個(gè)數(shù)是n(n?1)(n?2)6則10個(gè)點(diǎn)兩兩相接可得到10×9×86故答案為：120．15．（3分）（2022?合肥開學(xué)）若對圖1中星形截去一個(gè)角，如圖2，再對圖2中的角進(jìn)一步截去，如圖3，則圖中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝1080度．【分析】根據(jù)圖中可找出規(guī)律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一個(gè)角則會增加180度，由此即可求出答案．【解答】解：根據(jù)圖中可得出規(guī)律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一個(gè)角則會增加180度，所以當(dāng)截去5個(gè)角時(shí)增加了180×5度，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．16．（3分）（2022春?射陽縣期中）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正確的結(jié)論是①②③（填序號）．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理依次判斷求解．【解答】解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，∴∠BCG+∠G＝180°，∵∠G＝90°，∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，∴∠GEC＝∠BCA，∵CD平分∠BCA，∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，∴①正確．∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF=12（∠BCA+∠∴②正確．∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠GCE＝∠ABC，∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，∠ADC＝∠ABC+∠BCD，∴∠ADC＝∠GCD，∴③正確．∵∠GCE+∠ACB＝90°，∴∠GCE與∠ACB互余，∴④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022春?建鄴區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝35°，點(diǎn)D在BC上，∠BAC＝∠ADC，點(diǎn)E在AB上，（1）若DE∥AC，求∠ADE的度數(shù)．（2）當(dāng)∠BED的度數(shù)是90°或55°時(shí)，△BDE是直角三角形．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED＝∠BAC，再根據(jù)三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和即可得∠ADE＝∠B＝35°；（2）根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得∠BED＝90°﹣35°＝55°，然后利用直角三角形定義即可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADC，∴∠BED＝∠ADC，∵∠BED＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠ADE＝∠B＝35°；（2）當(dāng)∠BED的度數(shù)是90°或55°時(shí)，△BDE是直角三角形．理由如下：當(dāng)∠BED的度數(shù)是90°時(shí)，△BDE是直角三角形．當(dāng)∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣35°＝55°時(shí)，△BDE是直角三角形．故答案為：90°或55°．18．（7分）（2022春?隆回縣期末）如圖，已知三角形EFG的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．（1）當(dāng)∠2＝2∠1時(shí)，求∠1的度數(shù)．（2）設(shè)∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的數(shù)量關(guān)系（用含α，β的等式表示）．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠EFC＝∠1+30°，再根據(jù)平角的定義可求解；（2）過G點(diǎn)作GM∥AB，則MG∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，結(jié)合∠EGF＝60°可求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFC，∵∠FEG＝30°，∴∠EFC＝∠1+30°，∵∠2+∠EFC+90°＝180°，∠2＝2∠1，∴2∠1+∠1+30°+90°＝180°，解得∠1＝20°；（2）過G點(diǎn)作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠MGF+∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG＝360°，即∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，∵∠EGF＝60°，∴∠AEG+∠CFG＝300°．∵∠AEG＝α，∠CFG＝β，∴α+β＝300°．19．（8分）（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖1，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．（1）猜想AB與CD之間的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，延長DE至F，連接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C﹣140°，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）AB與CD平行，理由為：由AE∥BC，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得：∠A+∠B＝180°，然后由∠A＝∠C，根據(jù)等量代換可得：∠C+∠B＝180°，然后根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，即可證明AB與CD平行；（2）由AE∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得：∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，由∠1＝∠3，根據(jù)等量代換可得：∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，由∠AEF＝2∠2，根據(jù)等量代換可得：∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，然后根據(jù)平角的定義可得：∠AEF+∠AED＝180°，進(jìn)而可得∠A＝∠AED，由∠A＝∠C，可得：∠AED＝∠C，結(jié)合∠AED＝2∠C﹣140°計(jì)算可求解∠C的度數(shù)．【解答】解：（1）猜想：AB∥CD，理由：∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠B＝180°，∴AB∥CD；（2）∵AE∥BC，∴∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，∵∠AEF＝2∠2，∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，∵∠AEF+∠AED＝180°，∴∠A＝∠AED，∵∠A＝∠C，∴∠AED＝∠C，∵∠AED＝2∠C﹣140°，∴∠C＝2∠C﹣140°，解得：∠C＝140°．20．（8分）（2022秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：6個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個(gè)；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進(jìn)而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點(diǎn)N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點(diǎn)M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個(gè)，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．21．（8分）（2022春?鹽湖區(qū)校級期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是20°；②當(dāng)∠BAD＝∠ABD時(shí)，x＝120；當(dāng)∠BAD＝∠BDA時(shí)，x＝60．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．【分析】利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想．【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝20°，②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°，∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°；故答案為：①20°；②120，60；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，∵OE是∠MON的角平分線，∴∠AOB=12∠∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，則x＝20若∠BAD＝∠BDA=12（180°﹣70°）＝55°，則若∠ADB＝∠ABD＝70°，則∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50②當(dāng)點(diǎn)D在射線BE上時(shí)，因?yàn)椤螦BE＝110°，且三角形的內(nèi)角和為180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此時(shí)x＝125．綜上可知，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角，且x＝20、35、50、125．22．（8分）（2022春?海陵區(qū)期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CED的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F，在△AEF中，如果有兩個(gè)角度數(shù)的比是3：2，請直接寫出∠ABO的度數(shù)60°或72°．【分析】（1）先求解∠BAO+∠ABO＝90°，結(jié)合角平分線的定義可得∠BAE+∠ABE＝45°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求求解∠AEB的度數(shù)；（2）由平角的定義求解∠BAP+∠ABM＝270°，利用角平分線的定義可求∠DAB+∠ABC＝135°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可求∠ADC+∠BCD＝225°，再由角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可求解；（3）先求解∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，結(jié)合有兩個(gè)角度數(shù)的比是3：2分4種情況可求解．【解答】解：（1）不變．∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB+∠BAO+∠ABO＝180°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，∴∠BAE=12∠BAO，∠ABE=1∴∠BAE+∠ABE＝45°，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°；（2）不變．∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAP+∠ABM＝180°+180°﹣90°＝270°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，∴∠DAB=12∠BAP，∠ABC=1∴∠DAB+∠ABC＝135°，∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD＝360°，∴∠ADC+∠BCD＝225°，∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=1∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝67.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=1∵∠BAO+∠OAG＝180°，∴∠EAO+∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，∵OE平分∠BOQ，∴∠∠BOQ＝2∠EOQ，∵∠EOQ＝∠E+∠OAE，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO，∴∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有兩個(gè)角度數(shù)的比是3：2，故有4種情況：①∠EAF：∠E＝3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°；（不成立）②∠EAF：∠F＝3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；③∠F：∠E＝3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；④∠E：∠F＝3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（不成立）．∴∠ABO為60°或72°．故答案為：∠ABO為60°或72°．23．（8分）（2022春?淮安期末）【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線