專題突破之《折疊問題的處理技巧》

《折疊問題的理技巧》考點動向折疊問題在教材中有所體現(xiàn)是立體幾何傳統(tǒng)的典型問題合高考試題源于課本高于課本的基本命題理念同折問題既可以考查空間想象能力考查學生的動手能力及比較等思維方式，因此，一直是備考與命題的重點．方法范例例（2005湖南）如圖７－１，已知

A

是上、下底邊長分別為2和，高為

的等腰梯形，將它沿對稱軸

OO1

折成直二面角．（Ⅰ）證明：

BO1

；（Ⅱ）求二面角

OAC1

的大?。甇

CDO

C

DO

BA

OB

圖７－１

A解

本題是立體幾何中有證有求的典型問題以借助向量解答助三垂線定理證明直線異面垂直然作二面的平面角并之．也可以借助空間向量，轉化為直線的方向向量及平面法向量的關系問題解答．解１（：由題設知

OAOO1

，

O

z

COB1

．所以

是所折成的直二面

D角的平面角OA．可以為點，OAOB,所在直線分別為軸軸1軸建立空間直角坐標系如７２則相關

A

OB－２

各點的坐標是

(3,0,0)

，

，C(0,1,3)

，O

．從而

AC

，

11111111BO，3．所以ACBO11

．（II）解：因為

BO3

，所以

OCBO1

，由（I

1

，所以

BO1

平面

OAC

，

BO

是平面

的一個法向量．設

n,y

是平面

O

的一個法向量，由

0,

取

z

，得

3)

．設面角O的大小為，、BO的方向可知，>1所以

,1|n||BO|4

．即二面角

O1

的大小是arccos

34

．解法２（I）證明：由題設知

OAO，1

OB，以是折成的直二面角的平面1角，即

OA

．從

AO

平面

1

，

是

B

在面

OC的射影．因為1

A

圖７３B

OBOO

O33，OOO1

所

，OC36

，從而

OC1

，由三垂線定理得

BO1

．（II）解由（I

OC，BO，知BO面OAC．OC111

，過點E作AC于F，結OF（圖７－３），則是OF在平AOC內射11影，由三垂線定理得

OFAC1

．所以

OFE1

是二面角

O1

的平面角．由題設知OAOOOC11

，

所

以

OA1

2

OO1

3

，ACOA1

2

1

2

，從而

A23F11AC

，又

OOsin

O13所以sinFEOF41

，即二角

O1

的大

小是arcsin

．規(guī)律結折疊問題往往描述的也是一個運動變化的過程需要能夠想象出折疊的過程，并對折疊前后相應的數(shù)量關系和位置關系的變化有十分清楚的認識是那些沒有變化的量及位置關系，往往對解題起到關鍵性的作用．考點誤區(qū)分析解答折疊類問題最忌沒有認識折疊前后的變化就盲目解答要加強對比認變化產(chǎn)生的解題影響及作用需培讀圖能力以及動手能力平時訓練時需對折疊問題涉及的圖形進行動手演示觀察的要親自動手做一下到考試時不用動手也可以想到具體情形．同訓１．（2005·江）設M,N是角梯形

CABCD

兩腰的中點，

DE

于

（如圖７

N－４）．現(xiàn)將

△ADE

沿

DE

折起，使二面角DE為45A在面內的射影恰為點BM,的連線與所成角

－４

的大小等于_．２東７５腰形

ABCD中，

ABCD，60E為AB的點，將與BEC別沿上折起，使

AB

重合于點

，則

PDCE

三棱錐的外接球的

圖７－５體積為（）(

36()2

()

(D)３．（·江蘇在三角形中、、分是AC、BC邊上的點，滿足AE:EB＝＝CP:PB＝（圖７－５將△AEF沿EF折到△AEF使二面角A－EFB成二面角，連結AB、AP．11

的位置，

11（Ⅰ）求證AE⊥平面；1（Ⅱ）求直線A與面A所角的大?。?（Ⅲ）求二面角－AP－的?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）1AEEF

A

FBPC

B

PC［參答］１．［解析］如圖７－６，可知

為二面角

D

CDEB的平面角，于是BEA可知，則取中，MPNB，等直

N角三角形，有AEBP，AEMN．

［答案］

．

圖７－６２．［解析］所求實