專題2.6 對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)(原卷版)

第講對(duì)及數(shù)數(shù)【套路籍】一．對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義①一般地，如果(>0，≠1)的b次冪等于N，即＝N，那么稱b是以a為N對(duì)數(shù)，記作＝log，其中，叫做對(duì)的底數(shù)叫真數(shù)．②底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即＝1,1的數(shù)是0，即log1＝0.a(2)幾種常見對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式一般對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)4.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)

特點(diǎn)底數(shù)為aa>0且≠1)底數(shù)為10底數(shù)為e

記法logNlgNlnN①a

logN

＝>0且≠1，；②log＝(>0且≠1)(2)對(duì)數(shù)的重要公式logN①換底公式：log＝(均于零且不等于1，>0)logb1②log＝(，均于零且不等于1)log(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a且≠1>0，>0那么①log()＋log；aaM②log＝logM；a③log＝log(∈R)a④

logMam

n

n＝logM.ma二．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

11b3????x11b3????x1.形如＝logx(>0，≠1)函數(shù)叫作對(duì)數(shù)函，其中x是自變量，函數(shù)的定義域(，＋∞)．2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)>10<a圖象定義域：(0，＋∞)性質(zhì)

值域：R過(guò)點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)＝1，y＝0在0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)

在0，上是單調(diào)減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝(>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)＝logx(>0且≠1)為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線＝對(duì)稱．【套路修】考一對(duì)的算【例1）lg2·lg250＋lg5·lg＝.（2若3=5=225，+=。????（4若，，??

?！咎茁房偨Y(jié)】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并．(2)合將數(shù)式化為同底數(shù)的和、差數(shù)算然逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真的積、商、冪的運(yùn)算【舉一反三】1．已知a＝log2，那么log－2log6表為．212．若3＝4＝36，則＋＝.

11113．設(shè)2＝5＝，且＋＝2則＝a34.計(jì)算：

＋log2·log18＝.log1115.已知均不為的正ab，滿足a＝＝c，＋＋＝0求的值．x6.設(shè)log，logC是方x

－3＋1的兩根，求logC的．a(chǎn)b357.方程－的實(shí)數(shù)解為．36考二對(duì)函的斷【例2】函數(shù)(

2

為數(shù)函數(shù)，等于)8A．3B．

C．

D．8【套路總結(jié)】對(duì)數(shù)函數(shù)的判斷：對(duì)數(shù)函數(shù)的系數(shù)等于一、真數(shù)大于、底數(shù)大于0且不等于1?！九e一反三】1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的()A．

1)

B．C．

D．

2

1)2．下列函數(shù)，是對(duì)數(shù)函數(shù)的是A．y=lg10

B．y=logx

C．y=log

13

–1）3．在M=log（x+1中，要式子有意義x取值范圍為A∞，3]B，4）∪（4，+）∞）D）【例3）數(shù)??

2

考三對(duì)的調(diào)的調(diào)遞減區(qū)間為。（2若函數(shù)fx＝log(－ax－3)在區(qū)間－，－2]是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值范圍是________．

21212222121222【路結(jié)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”【舉一反三】2??12??

滿足對(duì)任意

成a取值范圍）A．

2

B．,2

C．,2

D．,2．函數(shù)y=ln（4-xnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．?2,1)

B．

C．∞

D．?2,4)3．已知(

12

2在間上增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值范圍______2考四比大【例4設(shè)＝log12b＝log15，＝log18則，，大小關(guān)系________．(用“”連接)【路結(jié)比較大小問(wèn)題是每年高考的高頻考點(diǎn)，基本思路是：(1)比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時(shí)也可用數(shù)形結(jié)合的方法．(2)解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.【舉一反三】1.設(shè)＝log，＝log，c2，a，的小關(guān)系________．2.已知＝log3＋log3，＝log－log3，＝log，則，，的小關(guān)系________．3.已知函數(shù)yf(＋2)圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)，且當(dāng)x，＋時(shí)，f()＝|logx，＝－13)，＝(2)，a，，的小關(guān)系________4.設(shè)＝log，＝log，c＝log3，則ab，c的小關(guān)系是________用“”連接考五對(duì)數(shù)函圖

431【例5】(1)如是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log的數(shù)a的值別取3，，時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象則相應(yīng)的C，3510CC的a的依次________．(2)已知函數(shù)f)是定義在上的函數(shù)當(dāng)x≥0時(shí)x)＝ln(x＋1)函數(shù)f(x的大致圖象()1(3)當(dāng)0<≤時(shí)4<logx，則a的取值范圍________2【舉一反三】1。數(shù)y＝2log(1的圖象大致是)|x≤102.已知函數(shù)fx)＝1－x，>10，2

若ab互不相等，且f(a＝()＝(，則的取值范圍是________．3.若函數(shù)y＝(>0且≠1)的域{yy≥1}則函數(shù)＝log||圖象大致()

考六定義域值【例6知函數(shù)（）＝log的義域是2，16]設(shè)g（）＝f）f（）]．（1）求函數(shù)（）的解析式及定義域；（2）求函數(shù)（）的最值．【舉一反三】1.函數(shù)

1

2

的域。22．函數(shù)(

2

22的域，則實(shí)的取值范圍為。3.已知函數(shù)(

，?，中且.（1求函數(shù)(定義域；（2若函數(shù)(最大值是2求的值；（3求成的的取值范.

13?1.523.4173??+121113?1.523.4173??+1211【例7】已知函數(shù)（）=2

考七反數(shù)的反函數(shù)為ygg（）的值為（）2A．【舉一反三】

BC．12．21．已知函數(shù)(1，則

(1)（）A．0

BCD．32．已知

x+12x

，其反函數(shù)為

，則______3．

2

（）的反函數(shù)

________【套路用】1．若

2

25

,

3

,，a、b、c的大小關(guān)系是。2．，，的小關(guān)系是。23．已知2，54，

5

0.3

，則。4.若函數(shù)

2定義域?yàn)?，則的值范圍是。5．函數(shù)(

2

的義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)k的值范圍是______．86．函數(shù))的值域?yàn)開_______.???17．定義在3,]

上的偶函數(shù)，[時(shí)，(

，則(的域?yàn)開____．.8．函數(shù))(4

2

??+1

的最小值是__．9．函數(shù)

2

2??的域?yàn)開________10．函數(shù)

2

2

的調(diào)遞增區(qū)間________.11．

2

(,,的大值___________2412．函數(shù)y=1（1-

2的定義域是。13.已知函數(shù)f)＝x≥1，

若()的值域?yàn)镽則實(shí)數(shù)a的取值范圍____________1214．已知函數(shù)()＝log(2－a)在區(qū)間f()>0，則實(shí)數(shù)a的值范圍是________315．若函數(shù)fx)＝log(－在區(qū)間0,2]上最大值為，則＝________.

4132271723413227172316．計(jì)算）

23

（2求值：

3

273

lg4

_______________（3）

????2

3______（4）3lg24√31)

=_____________.（5）3)

3

9（6）?????3

（7）2

14

27

1

3lg1（8）

3

x－117．已知函數(shù)().x＋1(1)計(jì)算：(2＋－2020)；(2)對(duì)于x∈[2,6]，()<lg

m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取范圍．18.已函數(shù)(＝3－2logx，()＝logx(1)當(dāng)∈[1,4]時(shí)，求函數(shù)h(x)＝[f()＋1]·)的值域；(2)如果對(duì)任意的∈[1,4]，不等式(

)·(x)>·()恒成立，求實(shí)數(shù)k的值范圍．

19．已知函數(shù)(

??

，??且．??求數(shù)的義域；求足實(shí)數(shù)的值范圍．20．已知函數(shù)(

??

，，??且????（I若函數(shù)，求函?的義域；（II）求不等的集.21．已知函數(shù)(

．（1若函數(shù))

?，斷的偶，并求的域；（2若關(guān)于的方程??有根，求實(shí)數(shù)的取值范圍

22．已知函數(shù)(

??

（，）.（1若函數(shù)(的函數(shù)是其本身，??的值；（2當(dāng)時(shí)求函數(shù)的小.423．已知函數(shù)(=

??

?+其中且a≠1??（1求函數(shù)(的義域；（2若函數(shù)(有小值而無(wú)最大值，求的調(diào)增區(qū)。24．已知函數(shù)(

??

2

??????.（1當(dāng)時(shí)求的域和單調(diào)減區(qū)間；（2若(存單調(diào)遞增區(qū)間，的取值范圍．

221mf(x)221mf(x)25．已知函數(shù)(

2

????

，．若

，a的；3在的件下，關(guān)于x的方程(實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的值范圍．226．已知函數(shù)(??

??2)log對(duì)數(shù)函數(shù)．??（1若函數(shù)(

??

，論函數(shù)(的調(diào)性；??（2在（）的條件下，若

3

,，等3的集非空，求實(shí)的值范圍．27．對(duì)數(shù)函數(shù)g）=1ogx（a＞0，a≠1和指數(shù)函數(shù)f（x）=a（a，a）為反函數(shù)．已知函數(shù)（x）=3，反函數(shù)為（x（Ⅰ）若函數(shù)g（kx+2x+1）的義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)k的值范圍；（Ⅱ）若0＜x＜x且g（x）|=|g（x）|求4x+x的最小值；（Ⅲ）定義在I上的數(shù)F果足：對(duì)任意∈I總存在常數(shù)M＞0，都有M≤F（x）成立，則稱函數(shù)（x）是I上的界數(shù)，其中為函（x的上界．若函數(shù)h（x，m≠0時(shí)，探1mf(x)求函數(shù)h（x）在x∈[0，