薛定諤方程應(yīng)用舉例

薛定諤方程應(yīng)用舉例2.什么叫隧道效應(yīng)？問題：3.微觀粒子限制在有限區(qū)域運動的共同特點是什么？4.固體能帶理論是怎樣建立起來的？6.怎樣用固體能帶理論解釋導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體？5.什么叫禁帶？什么叫導(dǎo)帶？什么叫滿帶？8.什么叫受主能級？什么叫施主能級？1.采用什么測量方法可以觀察到物質(zhì)表面上原子排列？7.半導(dǎo)體中導(dǎo)電類型有哪幾種？其測量原理是什么？9.二極管、三極管的工作原理各是什么？……■一維諧振子彈簧振子的勢能=(1/2)kx2振動角頻率→k=mω2雙原子的分子振動固體中原子振動……諧振子求諧振子的能量和波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程:一維諧振子薛定諤方程:→其勢能(不含時)令:ξ=αx令：目的：選擇α值使方程簡化簡化多了ξ=αx當(dāng)ξ→±∞時其解有限當(dāng)ξ有限時,ψ在數(shù)學(xué)形式上應(yīng)ξ有限→H(ξ)有限;ξ→±∞時H(ξ)要保證ψ有限.對待定函數(shù)H(ξ)的要求：波函數(shù)連續(xù),單值,有限.C保證波函數(shù)ψ歸一化.無平方項了,屬線性方程.ξ=αx令：保證H(ξ)有限兩邊ξn系數(shù)相等：

ξs-2系數(shù)→s(s-1)a0=0

ξs-1系數(shù)→s(s+1)a1=0→s=0

或

s=1,a0≠0→s=0

或

a1=0,或同時s=0,

a1=0

ξs+v系數(shù)→(s+v+2)(s+v+1)av+2=(2s-β+2v+1)av若已知a0→求出偶數(shù)項av

(偶數(shù)v)取a1=0→奇數(shù)項av=0(奇數(shù)v)而以bv表示此級數(shù)ξs+v的系數(shù)→v→∞v→∞相同這表明當(dāng)ξ很大時,→非有限因此級數(shù)必須從某一項v'(偶數(shù))中斷而成多項式.只要2s+2v'-β+1=0→

β=2s+2v'+1=2(s+v')+1v偶數(shù)=2n+10,1(n=0,1,2,3,….)能量量子化了!!這正好是厄密微分方程(見數(shù)學(xué)手冊p612~614)其解是厄密多項式：ξ=αx定態(tài)n的波函數(shù)歸一化諧振子波函數(shù)諧振子的能級

n=0

n=1

n=2

n=3

E0=hv/2

E1=3hv/2

E2=5hv/2

E3=7hv/2

x

0

Uψ0ψ1ψ2ψ3自證β=2n+1討論：⑴定態(tài)能量是量子化的→相鄰能級間距與普朗克的黑體輻射能量量子ε0=hv吻合⑵

n=0→最小能量(n=0,1,2,3,….)稱為諧振子的零點能微觀粒子→最低能態(tài)→不靜止這與不確定關(guān)系吻合∵Δx有限→Δp≠0→∴有能量⑶諧振子的定態(tài)波函數(shù)如圖→

n=0

n=1

n=2

n=3

E0=hv/2

E1=3hv/2

E2=5hv/2

E3=7hv/2

x

0

Uψ0ψ1ψ2ψ3可見,勢能邊界外側(cè)鄰域ψ≠0這表明微觀粒子仍可能出現(xiàn)在勢能邊界外例鄰域內(nèi)---隧道效應(yīng)量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的重要區(qū)別之一非自由粒子的共同特點粒子波動性之故■勢壘穿透(隧道效應(yīng))xU0aU0E質(zhì)量為m的粒子的勢能如圖→經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為：E<U0，不能穿過勢壘量子力學(xué)認(rèn)為：E<U0，有可能穿過,因x>a仍有波函數(shù)計算如下:(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)ⅠⅡⅢ一維定態(tài)薛定諤方程∵U(x)不含時(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)令：物理分析入射波反射波駐波指數(shù)變化透射波無反射B3=0(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)行波

x=0:ψ1(0)=ψ2(0)→A1+B1=A2+B2ψ2(a)=ψ3(a)→

x=a:A2+0A3-B1+B2=A1利用在邊界x=0和x=a處波函數(shù)連續(xù)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù).(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)系數(shù)行列式D非齊次線性方程組∵系數(shù)行列式D=∴上述線性方程組有唯一解采用克菜姆法則，則透射波振幅A3透射波函數(shù)入射波函數(shù)透射波函數(shù)入射粒子穿透勢壘的透射系數(shù)D定義為：透射粒子的概率密度與入射粒子的概率密度之比注:利用了ch2x-sh2x=1一般可見，a↑,U0↑

→D↓指數(shù)下降極快討論：⑴入射粒子能量E＜U0,仍有概率穿透勢壘(如圖)稱此現(xiàn)象為隧道效應(yīng)xU0aU0ⅠⅡⅢE⑵透射系數(shù)D對a十分敏感例如,取U0-E=5eV,入射粒子=電子當(dāng)a=10-10m，D~e-2.3≈0.1

當(dāng)a=10-9m,D~e-2.3≈10-10

可見,只有當(dāng)a為原子尺度(0.1nm)時,才有可觀測的隧道效應(yīng).⑶隧道效應(yīng)(勢壘穿透)是微觀粒子的量子力學(xué)行為.本質(zhì)上是微觀粒子具有波動性導(dǎo)致隧道效應(yīng)。應(yīng)用：1982年美國IBM實驗室的Binnig和Rohrer研制出“掃描隧道顯微鏡”(如圖)，成功地觀察到了材料表面的原子排列.工作原理：探針A表面原子電子在金屬內(nèi)運動，不能自由跑到空氣中，空氣勢壘.當(dāng)探針尖與表面原子間距a為0.1nm時隧道效應(yīng)→隧道電流→電流大小反映表面原子排列。隧道電流在金表面用針尖操縱個別原子→1986年美國IBM實驗室的Binnig和Rohrer獲諾貝爾物理學(xué)獎掃描隧道顯微鏡(STM)和原子力顯微鏡(AFM)以及光纖探針顯微鏡(SNOM)等有廣泛應(yīng)用如表面形貌、表面結(jié)構(gòu)、表面催化、生物細(xì)胞…×64×160×640×16002005-9-26大錐角光纖探針(樣品號0926)■固體能帶論晶體(固體)：大量原子凝聚并規(guī)則排列而成,并在晶體內(nèi)形成周期性勢場如圖→原子核外電子分：內(nèi)層電子--緊束縛--能量E內(nèi)小外層電子--弱束縛—能量E外大E內(nèi)E外價電子合勢能周期性0.1nm量級價電子→隧道效應(yīng)(勢壘寬度0.1nm)→共有化電子克龍尼克-潘納模型:xU0aa+b-b周期函數(shù)等等簡化一維定態(tài)薛定諤方程等等物理分析：要把晶體中共有化電子移到晶體外部，必須作相當(dāng)?shù)墓?。所以可視共有化電子是無限深方勢阱中自由電子,其波函數(shù):因此，在晶體中的電子定態(tài)波函數(shù)可寫成：其中xU0L/2L=N(a+b)-L/2同樣其解：等等僅證明①式如下：①②再求導(dǎo)同學(xué)們可自行驗證

x=0:Φ1(0)=Φ2(0)→x=ax=-b:Φ1(a)=Φ2(-b)→0aa+b-bUx等等連續(xù)周期性A,B,C,D非零解條件:系數(shù)行列式|D|=0系數(shù)矩陣D這是一組A，B，C，D滿足的齊次方程組.由此得方程

sinhβb≈βb,coshβb≈1

sinhx=ex-e-x2coshx=ex+e-x2這表明coskna只有N個不同數(shù)值,N是原子總數(shù).勢壘寬度b很小→(設(shè))∵U>>E(設(shè))(P與勢壘面積有關(guān))coskna在-1～+1之間有N個不同數(shù)值,從而

αa自變量→函數(shù)曲線值=|coskna|≤1αa+1-10αa值受限制如圖紅粗線段.E:電子能量不同的紅粗線段→能量不同→形成不同能帶.每個紅線段內(nèi)coskna與函數(shù)曲線有N個交點.相鄰能帶之間稱為禁帶.┋┋禁帶能帶能帶每個交點對應(yīng)一個能級.因此，每個能帶由N個能級構(gòu)成.αa+1-1歸納上述理論結(jié)果如下：N個原子→組成晶體αa+1-10┇｝N個能級--能帶3｝N個能級--能帶2｝N個能級--能帶1→形成多個能帶單個原子—電子離散能級每個能帶有N個能級物理分析：N個原子凝聚導(dǎo)致:低離散能級--對形成低能帶貢獻(xiàn)高離散能級--對形成高能帶貢獻(xiàn)N個原子凝聚成固體單個原子E1E2E3■能帶理論應(yīng)用1-----解釋導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體以金屬鈉為例：電子組態(tài)---1s22s22p63s----11個電子N個鈉原子凝聚成晶體形成能帶s電子出現(xiàn)概率---呈球?qū)ΨQ分布p電子出現(xiàn)概率---呈啞鈴狀分布泡利不相容原理：每個能級只能有自旋方向相反的兩個電子.N個鈉原子組成晶體.pxpypz單個鈉原子能級E1sE2sE3sE2p半滿帶→電場作用→電子易動→產(chǎn)生電流→導(dǎo)體滿帶滿帶半滿帶半滿帶=導(dǎo)帶有方向性填滿了2N個電子僅填充N個電子填滿了2N個電子晶體內(nèi)共11N個電子,并從低能帶開始填充電子如圖→導(dǎo)體(金屬)滿帶絕緣體空帶滿帶禁帶滿帶空帶Eg大Eg小禁帶半導(dǎo)體①半滿帶②滿帶與空帶重疊導(dǎo)體∵電子在同能帶中各能級間躍遷容易∴導(dǎo)電滿帶重疊滿帶空帶禁帶Eg大Eg=3~15eV以上∵電子難躍遷∴絕緣禁帶Eg小Eg≤2eV∵受熱激發(fā),電子易躍遷到空帶，使兩者都變導(dǎo)帶∴有導(dǎo)電能力了半滿帶(導(dǎo)帶)■能帶理論應(yīng)用2-----半導(dǎo)體二極管、半導(dǎo)體三極管※半導(dǎo)體硅SiSi電子組態(tài)---1s22s22p63s23p2(四價)滿帶(價帶)空帶(導(dǎo)帶)Eg=0.1~1.5eV禁帶SiSiSiSiSi●●●●●●●●○空穴導(dǎo)電電子導(dǎo)電禁帶寬度Eg小→價帶頂少量電子可激發(fā)到導(dǎo)帶→有些導(dǎo)電了→半導(dǎo)體最外層有4個電子，為形成8個電子的穩(wěn)定殼層結(jié)構(gòu)→共價健①電子導(dǎo)電機(jī)制②空穴導(dǎo)電機(jī)制兩種導(dǎo)電機(jī)制:※雜質(zhì)半導(dǎo)體①n型半導(dǎo)體在硅半導(dǎo)體中摻少量的五價磷元素P,多出一個電子能量高,易被熱激發(fā)而變成導(dǎo)電電子。磷P:1s22s22p63s23p3(五價)PSiSiSiSi●●●●●●●●電子導(dǎo)電●屬電子導(dǎo)電機(jī)制滿帶(價帶)空帶(導(dǎo)帶)因此,該電子能量在導(dǎo)帶底附近,形成雜質(zhì)能級----稱為施主能級.施主能級最外層有5個電子在硅半導(dǎo)體中摻入少量的三價硼元素B,硅中的硼最外層電子末構(gòu)成8個電子的穩(wěn)定殼層?？昭▽?dǎo)電②p型半導(dǎo)體B:1s22s22p1(三價)最外層有3個電子屬空穴導(dǎo)電機(jī)制BSiSiSiSi●●●●●●●○缺少一個電子,稱為空穴如圖該空穴易被滿帶頂電子占據(jù).因此,在該空穴內(nèi)的電子能量在滿帶頂附近,形成雜質(zhì)能級--稱為受主能級.滿帶(價帶)空帶(導(dǎo)帶)受主能級※PN結(jié)右邊(N型區(qū))電子向左(P型區(qū))○○○○○○○○○○○○－－－－－－＋＋＋＋＋＋●●●●●●●●●●●●PNEPN

最后達(dá)到平衡,由此形成穩(wěn)定的PN結(jié).擴(kuò)散形成PN結(jié)，而PN結(jié)的電場EPN阻止擴(kuò)散。PN結(jié)電子空穴※PN結(jié)伏安特性①加正向電壓(P正N負(fù))EPN○○○○○○○○○○○○－－－＋＋＋●●●●●●●●●●●●PNE外EPNE外○○○○○