1.3.1函數(shù)的單調性與導數(shù)教案

1.3.1函數(shù)的調與導數(shù)案谷城一中

楊超教學目1.正確理解利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性的原理；2.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的方法教學重：索函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，求單調區(qū)間教學難：用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性教學過一．回與思考1、函數(shù)單調性的定義是什么？2、判斷函數(shù)的單調性有哪些方法？比如判y=x2的單調性，如何進行（分別用定義法、圖像法完成）3、函數(shù)yx

x怎么判斷單調性呢？還有其他方法嗎？二．新探究函數(shù)單調性導數(shù)之間的系【情景入】函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解函數(shù)的單調性與函數(shù)的導數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的那么函數(shù)的單調性與函數(shù)的導數(shù)是否有著某種內在的聯(lián)系呢?【思考如（1表示跳水運動中高隨時t變化函(t)t

2

t的圖像，圖（2）表示高臺跳水運動員的速隨時t變化的函vt)t)t6.5圖像．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？【引導隨著時間的變化運動員離水面的高度的變化有什么趨勢？是逐漸增大還是逐步減小？【探究過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1運動員從起點到最高點離水面的高h隨時t的增加而增加t)是增函數(shù)．相應地vt)'(t)．（2）從最高點到入水，運動員離水面的h隨時t增加而減少，ht)是函數(shù)．相應vt)'t)，【思考導數(shù)的幾何意義是函數(shù)在該點處的切線的斜率，函數(shù)圖象上每個點處的切線的斜率都是變化的，那么函數(shù)的單調性與

導數(shù)有什么關系呢？【探究察下面函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系．（1）函數(shù)x的定義域為R，并且在定義域上是增函數(shù)，其導數(shù)

大于零；（2）函數(shù)yx

的定義域為R，(單調遞減，(單調遞增；而y

)x時導數(shù)小于零0時導數(shù)大于零x0時，其導數(shù)為零。（3）函數(shù)yx

3

的定義域為R，在定義域上為增函數(shù)；而y

3

)

2

，若x，則其導數(shù)大于零，時，其導數(shù)為零；（4函數(shù)的定義域((0,(上單調遞減,單調遞減而

)，因0，顯然x

【總結上四個函數(shù)的單調性及其導數(shù)符號的關系說明，在區(qū)(a內，如果函數(shù)yf()這個區(qū)間內單調遞增，那么遞減，那么f'.

數(shù)yf)在這個區(qū)間內單調【思考數(shù)在某個點處的導數(shù)值與函數(shù)在該點處的單調性是怎樣的關系？知識歸函數(shù)的調性與導數(shù)關系:某個區(qū)(,)內，如果f(x，那函數(shù)fx)在個區(qū)間單調遞增如果f

()那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間單調遞減特別的如果f三．典分析

()，那函數(shù)f(x)在個區(qū)間是常函數(shù)．例1知導函數(shù)f'(x)下列信息：當1時，f

()當x，x時，

()；當x，時，f'(x)試畫出函數(shù)yf()圖像的大致形狀．解：當時，f

()，知f(x在此區(qū)間內單調遞增；

當x，x時，(x；知f(x在此區(qū)間內單調減；當x，時，f

()，這兩點比較特殊，我們它稱為“臨界點綜上，函數(shù)yf()圖像的大致形狀如上所示．例．斷下列函數(shù)的單調性，并求出單調區(qū)間．（1）fx)x3（2）f()2x（3）()x(0,

（4）f(x)x

3

x

2

x解）因為fx)x

3

x，所以，f')x2因此，fx)x

3

x在R

上單調遞增，如圖1.3-5（1）所示．（2）因為(x)x，所以，f'x)x當f')，時，函數(shù)f(x)x單調遞增；當f')，x時，函數(shù)f(x)2x單調遞減；函數(shù)(x)x

2

x的圖像如圖1.3-52）所示．（3）因為()x(0,

所以，f

(因此，函數(shù)f(x)x(0,如圖1.3-5（3）所示．

)單調遞減，（4）因為f(x)

3

x

2

，所以．當f

()，即

時，函數(shù)f(x)

2

x

；當f')，

時，函數(shù)f(x)

；函數(shù)f()x

3

x

2

的圖像如圖所示．練習：

(2)yx的調區(qū)間x已知函數(shù)

f()alnax

3(aR)求f()的單間。

求解函f(x單調區(qū)間的步：（）確定函數(shù)f()定義域；（）求導數(shù)

f

()；（）解不等式f'()，到函數(shù)單調增區(qū)間（）解不等式f

()，得函數(shù)的調遞減區(qū)間．例3．如圖，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高與時t的函數(shù)關系圖像．解思考例3明通過函圖像不可以看函數(shù)的增減還以看其變化快慢結合圖像你能從導數(shù)角度解變化快慢的況嗎？一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭