2019-2021北京重點校高二（上）期中數(shù)學匯編：橢圓及其標準方程

12/122019-2021北京重點校高二（上）期中數(shù)學匯編橢圓及其標準方程一、單選題1．（2021·北京八中高二期中）設是曲線上的點，，，則必有（

）A． B．C． D．2．（2021·北京八中高二期中）已知點為橢圓上的一點，分別為橢圓的上、下頂點，若△的面積為，則滿足條件的點的個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·匯文中學高二期中）已知分別是橢圓的左?右焦點，A，B分別為橢圓的上，下頂點，過橢圓的右焦點的直線交橢圓于C，D兩點，的周長為8，且直線，的斜率之積為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．4．（2021·北京·北師大二附中高二期中）橢圓的一個焦點是，那么等于（

）A． B． C． D．5．（2021·北京一七一中高二期中）關于橢圓：，有下列四個命題：甲：；乙：；丙：的焦距為6；?。旱慕裹c在軸上.如果只有一個假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（2021·北京一七一中高二期中）已知橢圓C：的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，當△MF1F2的面積最大時，△MF1F2內切圓半徑為（

）A．3 B．2 C． D．7．（2021·北京·北師大二附中高二期中）過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．8．（2020·北京·首都師范大學附屬中學高二期中）已知橢圓的焦點為，．過點的直線與交于，兩點．若的周長為，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．9．（2019·北京市第十三中學高二期中）設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．二、雙空題10．（2020·北京·北師大實驗中學高二期中）設是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，則的最大值為______；最小值為_______．三、填空題11．（2021·北京四中高二期中）橢圓的兩個焦點在圓上，則實數(shù)______．12．（2021·北京·北師大二附中高二期中）橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，若，則________.13．（2021·北京八十中高二期中）已知點A的坐標為（﹣1，0），點B是圓心為C的圓（x﹣1）2+y2=16上一動點，線段AB的垂直平分線交BC與點M，則動點M的軌跡方程為______．14．（2020·北京·首都師范大學附屬中學高二期中）設為橢圓：的左焦點，為橢圓上給定一點，以為直徑作圓，點為圓上的動點，則坐標原點到的距離的最大值為________.15．（2019·北京·北師大二附中高二期中）橢圓的焦距為2，則__________．四、解答題16．（2021·北京·北師大二附中高二期中）已知橢圓：的離心率為，焦距為.直線與橢圓有兩個不同的交點.（1）求橢圓的方程；（2）設直線方程為，先用表示，然后求其最大值.17．（2019·北京·北師大實驗中學高二期中）已知以為焦點的橢圓過點.（1）求橢圓方程.（2）設橢圓的左頂點為，線段的垂直平分線交橢圓于兩點，求的面積.

參考答案1．A【解析】先將曲線方程化簡，可知其圖形在橢圓的內部，且其頂點為，由橢圓的定義結合圖形，即可得到結果.【詳解】曲線，化為，它表示頂點分別為的菱形，以，為焦點，長軸長為10，短軸長為6的橢圓方程，在直角坐標系中，作出曲線和橢圓的圖形，如下圖所示：由圖形以及橢圓的定義可知：若在橢圓上，又在曲線上時，即時，；若在橢圓內部，又在曲線上時，則，綜上，.故選：A.2．C【解析】根據(jù)橢圓方程求出，設橢圓上點P的坐標為，利用三角形面積公式求出m，進而求出n的值，即可得出結果.【詳解】在橢圓中，，則短軸，設橢圓上點P的坐標為，由的面積為6，得，解得，將代入橢圓方程，得，所以符合題意的點P為或，共4個滿足條件的點P.故選：C3．C【解析】由△的周長為8，可得，解得．設，，可得，由于直線，的斜率之積為，可得，代入化簡可得．即可得出．【詳解】解：△的周長為8，，解得．設，，則，直線，的斜率之積為，，，化為，可得．橢圓的標準方程為：．故選：C4．B【解析】由題意，且焦點在軸上，再由的關系求解即可【詳解】因為橢圓的一個焦點是，所以，且焦點在軸上，所以，故選：B5．A【解析】利用題中的條件，假設甲乙都對，根據(jù)邏輯關系可以推出矛盾，進而可以確定選項．【詳解】解：當甲乙為真命題時，橢圓方程為，橢圓的焦距為：，且焦點在軸上，此時丙和丁都是假命題，不符合題意，因此甲和乙有一個是假命題．當乙，丙和丁是真命題時，，，，此時橢圓方程為：，符合題意，故甲是假命題．故選：．6．D【解析】由面積最大得的位置，從而可求出三角形的三條邊，通過，即可求出內切圓的半徑.【詳解】解析：因為橢圓為，所以a=5，b=3，；當△MF1F2的面積最大時，點M在橢圓C的短軸頂點，不妨設點M為橢圓C的上頂點，點O為坐標原點，△MF1F2內切圓半徑為r，則|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，，所以，故選:D.【點睛】關鍵點睛:本題的關鍵是結合三角形面積的兩種求法，得關于內切圓半徑的方程，從而求出半徑.7．C【解析】將與橢圓焦點相同的橢圓的方程設為，再將點代入，求得的值，即可得出橢圓標準方程.【詳解】設所求橢圓方程為，將點代入，可得，解得（舍去），故所求橢圓的標準方程為．故選：C【點睛】本題主要考查了求與已知橢圓方程有相同焦點的橢圓的標準方程，屬于基礎題.8．C【解析】根據(jù)焦點坐標，得到；根據(jù)橢圓定義，由題中條件求出，得出，進而可求出結果.【詳解】因為橢圓的焦點為，，所以；又過點的直線與交于，兩點，的周長為，則根據(jù)橢圓定義可得，，解得，因此，所以橢圓的標準方程為.故選：C.【點睛】本題主要考查求橢圓的方程，熟記橢圓的定義即可，屬于常考題型.9．D【解析】由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，

故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.10．4，1【解析】主要考查橢圓的定義、橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系．解：由已知a=2,b=1，2c=2，在三角形中，由余弦定理得，即，所以=,從而=時，的最大值為4，=1時，的最小值為1．11．##【解析】由條件可得，橢圓的方程化為，然后即可求出答案.【詳解】因為橢圓的兩個焦點在圓上，所以因為，所以當時，，由可得當時，，此時不成立所以故答案為：12．【解析】根據(jù)題意，由橢圓的方程分析可得、的值，計算可得的值，由橢圓的定義可得的值，在△中，通過，，，由勾股定理分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓，其中，，則，點在橢圓上，若，則，在△中，，，，則，則有，故答案為．【點睛】本題考查橢圓的幾何性質，注意由橢圓的定義分析得到的值，是中檔題．13．=1．【解析】試題分析：利用橢圓的定義判斷點M的軌跡是以A、C為焦點的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．解：由題意得，圓心C（1，0），半徑等于4，連接MA，則|MA|=|MB|，∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，故點M的軌跡是：以A、C為焦點的橢圓，2a=4，即有a=2，c=1，∴b=，∴橢圓的方程為=1．故答案為=1．考點：軌跡方程．14．【解析】設，因為為橢圓：的左焦點，記起右焦點為，則，，記的中點為，得到為圓的圓心，圓的半徑為，再由圓的性質，以及橢圓的定義，即可得出結果.【詳解】設，因為為橢圓：的左焦點，記起右焦點為，則，記的中點為，由題意可得，為圓的圓心，圓的半徑為，因為點為圓上的動點，由圓的性質可得，坐標原點到的距離的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求圓上的點與定點距離最值時，一般先計算定點到圓心的距離，根據(jù)圓的性質，得到定點到圓上任意一點距離的最大值為，定點到圓上任意一點距離的最小值為（其中為圓的半徑）.15．3或5【解析】本題首先可根據(jù)焦距為得出，然后將橢圓分為焦點在軸上以及焦點在軸上兩種情況，分別進行計算即可得出結果．【詳解】解：因為橢圓的焦距為，所以，若焦點在軸上，則有，解得；若焦點在軸上，則有，解得；綜上所述，或．故答案為：3或5．16．（1）；（2）；最大值為.【解析】（1）根據(jù)離心率以及焦距長，結合，解方程組，求得，則問題得解；（2）根據(jù)直線與橢圓相交，聯(lián)立方程組求得范圍；再利用弦長公式，即可用表示弦長，且求得其最大值.【詳解】（1）由題意得解得，.所以橢圓的方程為.（2）設，.由得，由直線與橢圓交于兩點，故可得，解得，又，.所以.故當，即直線過原點時，最大，最大值為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，以及弦長公式的應用，涉及由直線與橢圓的位置關系求參數(shù)范圍，屬綜合基礎題.17．(1)；(2)【解析】（1）設出橢圓方程，由焦點坐標、橢圓上的一點坐標，列方程求解即可；（2）先求出點M、N的坐標，根據(jù)三角形面積公式即可求得.【詳解】（1）設橢圓方程為：，因為其焦點為，則；

①又因為橢圓過點，則點P的坐標滿足橢圓方程：

②結合：

③，由①②③可解得：，故橢圓方程為：.（2）由題意，作圖如下：由（1