河南省鄭州市朝陽(yáng)電腦學(xué)校2021年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

河南省鄭州市朝陽(yáng)電腦學(xué)校2021年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2015秋蒙城縣校級(jí)期末）使得函數(shù)f（x）=lnx+x﹣2有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是（） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】由題意可得函數(shù)的定義域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根據(jù)f（a）f（b）＜0，結(jié)合零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)在（a，b）上存在一個(gè)零點(diǎn)，可得結(jié)論． 【解答】解：由題意可得函數(shù)的定義域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2 ∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0 由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可知，函數(shù)y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一個(gè)零點(diǎn) 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題． 2.函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)的數(shù)據(jù)算得的線(xiàn)性回歸方程可能是A. B.C. D.參考答案：A試題分析：因?yàn)榕c正相關(guān)，排除選項(xiàng)C、D，又因?yàn)榫€(xiàn)性回歸方程恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故排除選項(xiàng)B；故選A．考點(diǎn)：線(xiàn)性回歸直線(xiàn).4.向量化簡(jiǎn)后等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知a，b∈R，且ab>0，則下列結(jié)論恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2abB．a(chǎn)＋b≥2C.＋>D.＋≥2參考答案：D解析：選D.對(duì)于A，當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，雖然ab>0，只能說(shuō)明a，b同號(hào)，當(dāng)a，b都小于0時(shí)，B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍b>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．

6.以下四個(gè)數(shù)中最大的是()A.(ln2)2B.ln(ln2)

C.ln

D.ln2參考答案：D7.把正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線(xiàn)BD和平面ABC所成的角的大小為（

）A．90°

B．60°

C．45°

D．30°參考答案：C如圖，當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí)，三棱錐體積最大取AC的中點(diǎn)E，則BE⊥平面DAC，故直線(xiàn)BD和平面ABC所成的角為∠DBE，∴∠DBE=.故選C.

8.函數(shù)f（x）=sin2x，x∈R的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）參考答案：D【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象． 【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 【分析】由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性求得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，從而得出結(jié)論． 【解答】解：對(duì)于函數(shù)f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z， 求得x=，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（，0），k∈z， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題． 9.一組數(shù)據(jù)由小到大依次為。已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6，若要使其標(biāo)準(zhǔn)差最小，則的值分別為（

）

A．3，9

B．4，8

C．5，7

D．6，6參考答案：D10.已知在［0，1］上是的減函數(shù)，則a的取值范圍是(

)A.(0，1)

B.(1，2)

C.(0，2)

D.（2，+∞）參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某公共汽車(chē)站，每隔15分鐘有一輛車(chē)出發(fā)，并且出發(fā)前在車(chē)站停靠2分鐘，乘客到達(dá)汽車(chē)站的時(shí)刻是任意的。則乘客到車(chē)站候車(chē)時(shí)間小于10分鐘的概率為_(kāi)_____

參考答案：12.已知向量若與共線(xiàn)，則

。參考答案：113.已知函數(shù)，且，則

。參考答案：214.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且異面直線(xiàn)AC1與A1B所成的角為60°，則∠CAB等于． 參考答案：90°【考點(diǎn)】異面直線(xiàn)及其所成的角． 【專(zhuān)題】空間角． 【分析】由已知條件，構(gòu)造正方體ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°． 【解答】解：由已知條件，構(gòu)造正方體ABDC﹣A1B1D1C1， 滿(mǎn)足條件AC=AB=AA1， 且異面直線(xiàn)AC1與A1B所成的角為60°， ∴∠CAB=90°． 故答案為：90°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線(xiàn)所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用． 15.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“格點(diǎn)”，如果函數(shù)的圖像恰好通過(guò)個(gè)格點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)為“階格點(diǎn)函數(shù)”。下列函數(shù)中是“一階格點(diǎn)函數(shù)”的有__________①；②；③；④⑤參考答案：②略16.不等式的解集是__________．參考答案：，∴，∴，∴解集為．17.已知，則f[f（10）]=．參考答案：2【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用函數(shù)的解析式直接求解函數(shù)值即可．【解答】解：，則f[f（10）]=f（lg10）=f（1）=12+1=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）已知直線(xiàn)l：ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)（其中a，b為實(shí)數(shù)），點(diǎn)Q（0，）是圓內(nèi)的一定點(diǎn)．（1）若a=，b=1，求△AOB的面積；（2）若△AOB為直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q之間距離最大時(shí)的直線(xiàn)l方程；（3）若△AQB為直角三角形，且∠AQB=90°，試求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．參考答案：考點(diǎn)： 直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用．專(zhuān)題： 直線(xiàn)與圓．分析： （1）由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得圓心到直線(xiàn)的距離，進(jìn)一步求得|AB|，然后代入三角形的面積公式得答案；（2）在直角三角形AOB中，求得|AB|，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到a，b的關(guān)系，把|PQ|用含有b的代數(shù)式表示，通過(guò)配方法求得點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q之間距離最大時(shí)的a，b的值，則直線(xiàn)l的方程可求；（3）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用圓中的垂徑定理列式求得AB中點(diǎn)M的軌跡方程．解答： （1）由已知直線(xiàn)方程為2x+y=1，圓心到直線(xiàn)的距離，，∴；（2）∵△AOB為直角三角形，∴|AB|=，∴圓心到直線(xiàn)的距離為，即2a2+b2=2，∵2﹣b2=2a2≥0，∴，=，當(dāng)時(shí)可取最大值，此時(shí)a=0，∴直線(xiàn)l方程為；（3）設(shè)M（x，y），連OB，OM，OQ，則由“垂徑定理”知：M是AB的中點(diǎn)，則OM⊥AB，∴|OM|2+|MB|2=|OB|2，又在直角三角形AQB中，，∴|OM|2+|QM|2=|OB|2，即，∴M點(diǎn)的軌跡方程為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，訓(xùn)練了平面幾何中垂徑定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，是中檔題．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程．參考答案：（Ⅰ）得

2分

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；

4分

（Ⅱ）即

設(shè)則

7分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

最小值實(shí)數(shù)的取值范圍是；10分

（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)則即

設(shè)，當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)13分

最多只有一個(gè)根，又

由得切線(xiàn)方程是.

16分20.已知方程（Ⅰ）若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圓與直線(xiàn)相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.參考答案：解.（Ⅰ）圓的方程可化為，∴（Ⅱ）設(shè)，，則，，∵，∴∴①由得所以，代入①得（Ⅲ）以為直徑的圓的方程為即所以所求圓的方程為.

21.（本題滿(mǎn)分１２分）函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)一切，，都有，當(dāng)時(shí)，有.(1)求的值；(2)判斷的單調(diào)性并證明；(3)若，解不等式.參考答案：(1)令x＝y(tǒng)>0，則f(1)＝f(x)－f(x)＝0，所以f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則，,>1>0，即，所以在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)因?yàn)閒(6)＝1，所以f(36)－f(6)＝f(6)，所以f(36)＝2f(6)＝2.由f(x＋3)－f()<2，得f()<f(36)，所以??0<x<.所以原不等式的解集為(0，)．22.定義在上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)是上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)上界.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；（3）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，