2017-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：圓周角

16/162017-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編圓周角一、單選題1．（2021·北京海淀·九年級期中）如圖，是半圓的直徑，點，在半圓上．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2020·北京豐臺·九年級期中）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦AC=5，∠BAC=∠D．則AB的長為（

）A． B． C． D．3．（2017·北京海淀·九年級期中）如圖，A、B、C是⊙O上的三個點，若∠C＝35°，則∠OAB的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．65° D．70°4．（2019·北京朝陽·九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，陰影部分圖形的面積為（

）A．4π B．3π C．2π D．π5．（2021·北京大興·九年級期中）如圖，點P為⊙O外一點，點A、B在圓上，PA，PB交優(yōu)弧AB于點C、D，若∠AOB=60°，則判斷∠APB大小正確的是（

）A．∠APB=30° B．∠APB>30° C．∠APB<30° D．不能確定6．（2019·北京朝陽·九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，則∠C等于（

）A．29° B．31° C．59° D．62°二、填空題7．（2018·北京海淀·九年級期中）如圖，⊙O的動弦，相交于點，且，．在①，②，③中，一定成立的是____________（填序號）．8．（2021·北京大興·九年級期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=30°，則∠A的度數(shù)等于____．9．（2019·北京朝陽·九年級期中）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問題：已知：∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如圖①作線段AB的垂直平分線m；②作線段BC的垂直平分線n，與直線m交于點O；③以點O為圓心，OA為半徑作△ABC的外接圓；④在弧ACB上取一點P，連結(jié)AP，BP．所以∠APB＝∠ACB．老師說：“小明的作法正確．”請回答：（1）點O為△ABC外接圓圓心（即OA＝OB＝OC）的依據(jù)是_____；（2）∠APB＝∠ACB的依據(jù)是_____．10．（2021·北京大興·九年級期中）如圖，AC與BD交于P，AD、BC延長交于點E，∠AEC=37°，∠CAE=31°，則∠APB的度數(shù)為_____．三、解答題11．（2021·北京海淀·九年級期中）已知：，是直線上的兩點．求作：△ABC，使得點在直線上方，且．作法：①分別以，為圓心，長為半徑畫弧，在直線下方交于點；②以點為圓心，長為半徑畫圓；③在劣弧上任取一點（不與A，B重合），連接，．就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：在優(yōu)弧上任取一點（不與，重合），連接，，，．∵，∴是等邊三角形．∴．∵，，在⊙上，∴（_____________）（填推理的依據(jù)）．∴．∵四邊形內(nèi)接于⊙，∴（_____________）（填推理的依據(jù)）．∴．12．（2020·北京豐臺·九年級期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，P是⊙O外一點，AC⊥PD于點E，AD平分∠BAC．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若DE=，，∠BAC=60°，求⊙O的半徑．13．（2020·北京豐臺·九年級期中）下面是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過程．已知：．求作：邊上的高．作法：如圖，①分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點；②作直線，交于點，則直線是線段的線；③以為圓心，為半徑作，與的延長線交于點，連接，線段即為所作的高．（1）補全尺規(guī)作圖并填空﹔（2）判斷為高的依據(jù)是．14．（2019·北京朝陽·九年級期中）如圖，Q是弧AB與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點，P是弦AB上一動點，連接PQ并延長交弧AB于點C，連接BC．已知AB＝6cm，設(shè)A，P兩點間的距離為xcm，P，C兩點間的距離為y1cm，A，C兩點間的距離為y2cm．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)y1，y2，隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整：（1）確定自變量x的取值范圍是．（2）按下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應(yīng)值．x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11（3）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點（x，y1），（x，y2），并面出函數(shù)y1，y2的圖象．（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△APC為等腰三角形時，AP的長度約為cm．15．（2019·北京朝陽·九年級期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半徑長．16．（2019·北京海淀·九年級期中）如圖，在⊙O中，弦AB與DC相交于E，且BE=DE，求證：.17．（2017·北京海淀·九年級期中）如圖，在⊙中，.求證.

參考答案1．D【分析】由題意易得∠ACB=90°，則有∠A=40°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵是半圓的直徑，∴∠ACB=90°，∵，∴∠A=40°，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴；故選D．【點睛】本題主要考查圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，進而解答即可．【詳解】∵AC=AC，∴∠D=∠B，∵∠BAC=∠D，∴∠B=∠BAC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直徑，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理得出∠D=∠B．3．B【分析】根據(jù)“同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵∠AOB與∠C是同弧所對的圓心角與圓周角，∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°．故選：B．【點睛】本題考查的是圓周角定理，掌握圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.4．C【分析】先求出△BOC是等邊三角形，再根據(jù)垂徑定理及圓周角定理得到∠CBO＝∠BOD，由S△BCD＝S△BCO將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為S扇形OBC，代入數(shù)值求解即可.【詳解】解：連接BC，OD，設(shè)CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等邊三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S陰＝S扇形OBC＝＝2π．故選C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理及勾股定理，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形面積是解題關(guān)鍵.5．C【分析】連接BC，已知∠AOB=60°，∠AOB與∠ACB為優(yōu)弧AB所對的圓心角和圓周角，利用圓周角定理求得∠ACB，再利用三角形外角的性質(zhì)得出答案即可．【詳解】如圖，∵∠AOB與∠ACB為優(yōu)弧AB所對的圓心角和圓周角，∴∠ACB=∠AOB=×60°=30°，∵∠ACB是△PBC的外角，∴∠APB＜∠ACB=30°．故選C．【點睛】本題考查了圓周角定理的運用，三角形外角的性質(zhì)，掌握同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系是解決問題關(guān)鍵．6．B【詳解】∵AB是O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°?∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°故選B.7．①③【分析】根據(jù)AB=CD證明,得∠ABC=∠BCD,再根據(jù)圓周角定理及推論即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵AB=CD,∴,∴,即,∴∠ABC=∠BCD=∠BOD,∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2×∠BOD=∠BOD,∵,∴,故①正確;②無法證明;∵∠ABC=∠BOD,∴∠ABC=,故③成立,綜上,答案為①③.【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．8．60o【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由OB=OC得∠OBC=∠OCB=30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠BOC=120°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠BOC=180°?30°?30°=120°∴∠A=∠BOC=60°.【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理的用法.9．

①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；②等量代換

同弧所對的圓周角相等【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理以及等量代換即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖2中，∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，∴OA=OB，OB=OC（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等），∴OA=OB=OC（等量代換）故答案是：（2）∵，∴∠APB=∠ACB（同弧所對的圓周角相等）．故答案是：（1）線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等和等量代換；（2）同弧所對的圓周角相等．【點睛】考查作圖-復(fù)雜作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外心等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的性質(zhì)．10．99°##90度【分析】由∠ACB為△ACE的外角，求得∠ACE=∠A+∠AEC，由圓周角定理，得∠ADB=∠ACB，根據(jù)三角形外角定理即可求得答案．【詳解】解：∵∠ACB為△ACE的外角，∴∠ACE=∠A+∠AEC∵∠AEC=37°，∠CAE=31°，∴∠ACE=68°．由圓周角定理，得∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=68°，∴∠APB=∠A+∠ADB=31°+68°=99°，故答案為：99°．11．（1）見解析；（2）同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形對角互補【分析】（1）按照題目所給作法作出相應(yīng)圖形即可；（2）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，最后再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可證得．【詳解】解：（1）如下圖即為所求．（2）證明：如圖，在優(yōu)弧上任取一點（不與，重合），連接，，，．∵，∴是等邊三角形．∴．∵，，在⊙上，∴（同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半）．∴．∵四邊形內(nèi)接于⊙，∴（圓的內(nèi)接四邊形對角互補）．∴．故答案為：同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形對角互補．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=∠DAE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA=∠OAD，由垂直的定義得到∠AEP=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接BD，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=∠DAE=30°，推出AB=2BD，設(shè)BD=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵AC⊥PD，∴∠AEP=90°，∴∠ODP=∠AEP=90°，∴OD⊥PE，∵OD是⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線；（2）解：連接BD，∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∵AC⊥PE，DE=，∴AD=2DE=，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴AB=2BD，設(shè)BD=x，則AB=2x，∵AD2+BD2=AB2，∴∴BD=2，AB=4，∴AO=2，∴⊙O的半徑為2．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（1）畫圖見解析，垂直平分；（2）直徑所對的圓周角是直角【分析】（1）利用基本作圖可判斷PQ垂直平分AC；（2）根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：②作直線，交于點，則直線是線段的垂直平分線；（1）如圖，AD為所作；（2）∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC．故答案為垂直平分線；直徑所對的圓周角為直角．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和圓周角定理．14．（1）0≤x≤6；（2）3；（3）詳見解析；（4）3或4.91或5.77．【分析】（1）由AB＝6可得0≤x≤6；（2）PA＝6時,通過表格可得AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，由勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，所以AB是直徑，當(dāng)x＝3時，PA＝PB＝PC＝3；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，描點連線畫圖即可；（4）當(dāng)PA＝PC或PA＝AC或PC＝AC時，根據(jù)函數(shù)圖像可得x即AP的長.【詳解】解：（1）∵AB＝6cm，∴自變量x的取值范圍是0≤x≤6；故答案為0≤x