河南省安陽市啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

河南省安陽市啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.以原點O為中心，焦點在x軸上的雙曲線C，有一條漸近線的傾斜角為60°，點F是該雙曲線的右焦點.位于第一象限內(nèi)的點M在雙曲線C上，且點N是線段MF的中點.若，則雙曲線C的方程為A.

B.

C.

D.參考答案：A2.若函數(shù)內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排列為則對任意正整數(shù)必有

（

）A． B．C． D．參考答案：B3.已知f（x）=為奇函數(shù)，則a的值為（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2參考答案：A【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由f（0）=0建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵函數(shù)的定義域是R，且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，即f（0）==a+2=0，則a=﹣2，故選：A4.若x、y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是(

) A．（﹣4，2） B．（﹣1，2） C．（﹣4，0） D．（﹣2，4）參考答案：A考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意作出其平面區(qū)域，將z=ax+2y化為y=﹣x+，相當(dāng)于直線y=﹣x+的縱截距，由幾何意義可得．解答： 解：由題意作出其平面區(qū)域，將z=ax+2y化為y=﹣x+，相當(dāng)于直線y=﹣x+的縱截距，則由目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值可知，﹣1＜﹣＜2，則﹣4＜a＜2，故選A．點評：本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題．5.設(shè)實數(shù)滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.已知直線和，對于任意一條直線進(jìn)行變換，記該變換為，得另一條直線.變換為：先經(jīng)反射，所得直線（即以為對稱軸，的軸對稱圖形）再經(jīng)反射，得到.令，對于定義，則使得恒成立的最小正整數(shù)為 （

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.已知點是雙曲線的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓交于點P，且點P在拋物線上，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A. B. C. D.參考答案：D如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,作PQ⊥l于Q,設(shè)雙曲線的右焦點為F′,P(x,y).由題意可知FF′為圓的直徑，∴PF′⊥PF,且，滿足，將①代入②得，則，即,(負(fù)值舍去)代入③,即再將y代入①得,即e2=.故選D.點睛：本題主要考查雙曲線的漸近線、離心率及簡單性質(zhì)，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，8.已知集合，在區(qū)間上任取一實數(shù)，則“”的概率為（A） （B） （C） （D）參考答案：C略9.在△ABC中，AB=2BC，以A，B為焦點，經(jīng)過C的橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2參考答案：A考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：以AB所在直線為x軸，其中點為原點，建立坐標(biāo)系，再通過橢圓及雙曲線的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直線為x軸，其中點為原點，建立坐標(biāo)系，則A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，對于橢圓而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；對于雙曲線而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故選：A．點評：本題考查橢圓、雙曲線的概念，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10.定義在R上的函數(shù)具有下列性質(zhì)：①；②；③上為增函數(shù).對于下述命題，正確命題的個數(shù)為①為周期函數(shù)且最小正周期為4②的圖象關(guān)于y軸對稱且對稱軸只有一條③在上為減函數(shù)A.0 B.1 C.2 D.3

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知F為拋物線的焦點，是該拋物線上的動點，點A是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，當(dāng)最小時，點P的坐標(biāo)為_____________.參考答案：【考點】拋物線焦半徑公式，基本不等式．由題可知焦半徑，則，則，因為點在拋物線上，所以，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，則，且取最小值時，此時點P的坐標(biāo)為．【點評】：會利用焦半徑公式將幾何意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)運算，分式型最值要善于變形，聯(lián)想基本不等式．12.長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為

參考答案：

13.函數(shù)f（x）的定義域為A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）時總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)，例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是單函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)f（x）=2x（x∈R）是單函數(shù)；③若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)；⑤若f（x）為單函數(shù)，則函數(shù)f（x）在定義域上具有單調(diào)性．其中的真命題是．（寫出所有真命題的編號）參考答案：②③④【考點】進(jìn)行簡單的合情推理．

【專題】綜合題；推理和證明．【分析】利用單函數(shù)的定義當(dāng)f（x1）=f（x2）時總有x1=x2，分別對五個命題進(jìn)行判斷，可以得出正確結(jié)論．【解答】解：①對于函數(shù)f（x）=x2，由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1=﹣x2或x1=x2，所以①不是單函數(shù)，①錯誤；②對于函數(shù)f（x）=2x，由f（x1）=f（x2）得，∴x1=x2，所以②是單函數(shù)，②正確；③對于f（x）為單函數(shù)，則f（x1）=f（x2）時，有x1=x2，逆否命題是x1≠x2時，有f（x1）≠f（x2），所以③是正確的；④若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x1）=f（x2）時，有x1=x2，所以④是單函數(shù)，④正確；⑤存在函數(shù)是單函數(shù)，但函數(shù)f（x）在定義域上不具有單調(diào)性，故⑤不正確．故答案為：②③④．【點評】本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，利用單函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．14.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對任意的等差數(shù)列{an}及任意的正整數(shù)n都有不等式+≥λa成立，則實數(shù)λ的最大值為．參考答案：略15.已知α是第二象限角，且sinα=，tan(α+β)=－2，則tanβ=．參考答案：【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，tanα的值，進(jìn)而利用兩角和的正切函數(shù)公式即可計算得解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣3，==﹣2，∴tanβ=．故答案為：．16.圓內(nèi)的曲線與軸圍成的陰影部分區(qū)域記為（如圖），隨機往圓內(nèi)投擲一個點，則點落在區(qū)域的概率為_________________.參考答案：當(dāng)時，，所以陰影部分的面積為，所以根據(jù)幾何概型知點落在區(qū)域的概率為.17.橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上任意一點M到兩個焦點的距離和是4，橢圓的焦距是2，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．參考答案：+=1【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得橢圓的焦點在x軸上，再結(jié)合橢圓的定義可得2a=4，2c=2，即可得a、c的值，計算可得b的值，將a、b的值代入橢圓方程可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓C的方程為：+=1（a＞b＞0），其焦點在x軸上，又由其上任意一點M到兩個焦點的距離和是4，橢圓的焦距是2，則有2a=4，2c=2；即a=2，c=1，則有b2=a2﹣c2=3；則橢圓的方程為：+=1；故答案為：+=1．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握橢圓的定義．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)在點處的切線方程為．(I)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ)若方程有三個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍；(Ⅲ)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：19.已知關(guān)于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．（I）當(dāng)a＝4時，求不等式的解集；（II）若不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)當(dāng)a＝4時，log2a＝2，①當(dāng)x＜－時，－x－2≤2，得－4≤x＜－；②當(dāng)－≤x≤1時，3x≤2，得－≤x≤；③當(dāng)x＞1時，此時x不存在．所以不等式的解集為{x|－4≤x≤}．(2)設(shè)f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝由f(x)的圖象知f(x)≥－，∴f(x)min＝－.∴l(xiāng)og2a≥－，∴a≥.所以實數(shù)a的取值范圍是[，＋∞).20.已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）當(dāng)a=時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”．已知函數(shù)+2ax．若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由題意得，＞0，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，即可求出函數(shù)的最值．（2）由題意得：令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0對x∈（1，+∞）恒成立，分類討論當(dāng)或時兩種情況求函數(shù)的最大值，可得到a的范圍．又因為h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，可得到a的另一個范圍，綜合可得a的范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時，，；對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，∴，．（2）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”，則f1（x）＜f（x）＜f2（x）令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0對x∈（1，+∞）恒成立，∵1）若，令p′（x）=0，得極值點x1=1，，當(dāng)x2＞x1=1，即時，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此時p（x）在區(qū)間（x2，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合題意；當(dāng)x2＜x1=1，即a≥1時，同理可知，p（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；2）若，則有2a﹣1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，所以≤a≤．又因為h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤綜合可知a的范圍是[，]．21.已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x（x∈R）．（1）求函數(shù)f（x）的周期和遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在[0，]上有兩個不同的零點x1、x2，求實數(shù)m的取值范圍．并計算tan（x1+x2）的值．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）由二倍角公式及輔助角公式求得f（x）=sin（2x﹣），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)f（x）的周期和遞增區(qū)間；（2）由題意可知方程g（x）=f（x）﹣m=0同解于f（x）=m，畫出函數(shù)f（x）=在[0，]上的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象及正弦函數(shù)的性質(zhì)，x1與x2關(guān)于直線對稱，，tan（x1+x2）的值．【解答】解：（1）f（x）=（x∈R）．由?（k∈Z），∴函數(shù)f（x）的周