《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用單調(diào)性》教學(xué)案例分析

[附件3]:學(xué)案導(dǎo)學(xué)基本課堂模式 (教學(xué)設(shè)計)《1.3.1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性》教學(xué)案例分析高淳縣永豐中學(xué)邢富根教材分析本小節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-數(shù)學(xué)選修2-1》(蘇教版)第一章函數(shù)及其應(yīng)用-單調(diào)性，主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間中的作用。一來可以對之前常見函數(shù)求導(dǎo)和運(yùn)算法則進(jìn)行加深鞏固，其次也是導(dǎo)數(shù)作為工具研究函數(shù)最值等性質(zhì)，還原函數(shù)圖像的基礎(chǔ)。在高考中占有舉足輕重的地位。學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本節(jié)課的教學(xué)對象是普通農(nóng)村中學(xué)理科班的學(xué)生，基礎(chǔ)相對比較薄弱，對于導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算應(yīng)該掌握的不錯，但是本節(jié)課所要用的函數(shù)基礎(chǔ)知識，不等式解法等前期學(xué)習(xí)的內(nèi)容遺忘的比較多，而且學(xué)生個體情況差異較大，這都增加了本節(jié)課的難度，教師必須要認(rèn)識到這一點，教學(xué)中要控制難度要求，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程。三、設(shè)計意圖本節(jié)課以建構(gòu)主義基本理論為指導(dǎo)，以新課標(biāo)基本理念為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計的，針對學(xué)生的學(xué)習(xí)背景，對導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用首先要挖掘其知識背景貼近學(xué)生實際，其次，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，為他們提供自主探究、合作交流的機(jī)會，確實改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。要結(jié)合實例，借助幾何圖形直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，熟練三角，分式，對指等常見不等式解法用以求函數(shù)單調(diào)區(qū)間。本節(jié)課采用教師設(shè)問啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過情景創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)探究，師生交流，形成概念，獲得方法，綜合應(yīng)用。本節(jié)課使用多媒體輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性材料，有助于對學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識。四、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：通過實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；理解并掌握如何由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及增減性．2、過程與方法：會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用其知識解決一些實際問題．3、情感態(tài)度與價值觀：體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性，同時感受和體會數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律．五、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法教學(xué)難點：f'(x)>0為f(x)增函數(shù)的充分條件.六、教學(xué)過程設(shè)計提升應(yīng)教學(xué)流程：創(chuàng)設(shè)情景-引出課題?師生活動-形成理論-問題解決-

提升應(yīng)用一歸納總結(jié)(一)熟悉背景、引入課題師：我們先前學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)習(xí)了常見導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則和運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，而我們學(xué)習(xí)這一切為了什么呢？師：其實導(dǎo)數(shù)在高中部分的學(xué)習(xí)，很大程度上都是作為工具用來研究函數(shù)的性質(zhì)，比如說，函數(shù)的單調(diào)性，最值，都可以通過導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算輔助得出，而且又快有準(zhǔn)。這節(jié)課我們以單調(diào)性為例來看看導(dǎo)數(shù)的作用。我們先來想想，函數(shù)單調(diào)性通常有哪些方法可以處理。生1.可以通過函數(shù)圖像觀察得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。師：對(投影給出圖像1,2并提出問題，生也能很好的回答)問題1:問題1:討論函數(shù)yx24x3的單調(diào)性.問題2:討論函數(shù)y問題2:討論函數(shù)yx1的單調(diào)性。x圖1 圖2師：還有沒有其他有效地辦法。生2.還有函數(shù)單調(diào)性的定義法。師：很好，函數(shù)的單調(diào)性定義是先前我們完成函數(shù)單調(diào)性證明的唯一方法，誰能回顧下較完整的單調(diào)性定義？生3.一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1,x2，當(dāng)x1*2時，若f(x1)f(x2),那么f(x)在這個區(qū)問上是增函數(shù).相反如果f(x1)f(x2),那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)師：(一是幫助學(xué)生整理定義，二是提醒學(xué)生用詞的準(zhǔn)確性，比如任取,定義域等)對，我給你們?nèi)齻€函數(shù)，你們幫我求出函數(shù)單調(diào)區(qū)問。問題3:求下列函數(shù)單調(diào)性f(x)x32x2xf(x)xlnxyexx1

生4:又畫不出圖像，定義法又太繁瑣，不會求。師：恩，這節(jié)課我們就來探求一下導(dǎo)數(shù)對函數(shù)單調(diào)性的幫助。［設(shè)計意圖：考慮到多數(shù)高中生的認(rèn)知特點，為了有助于他們對導(dǎo)數(shù)對函數(shù)單調(diào)性作用的理解，不妨從學(xué)生自己的已有知識和實際問題入手”。因此，新課引入讓學(xué)生充分熟悉已有概念和它的知識背景，提出問題，讓學(xué)生形成強(qiáng)烈的求知欲。從而自然地導(dǎo)入課題。］(二)師生活動，構(gòu)建新知1.確定探究問題師：我們回到單調(diào)性定義，以增函數(shù)為例，觀察X1X2,f(Xi)f(X2)的正負(fù)符號，如何數(shù)學(xué)表示生5:同號，可以用(f(x1)f(x2))(x1x2)0表示。師：還可以用其他方法表示嗎？生5：f(xi)f(x2) 0xiX2師：對，你再細(xì)細(xì)看看你所表達(dá)的東西像什么？討論總結(jié)一下。生：平均變化率/0,就是如果函數(shù)單調(diào)遞增了，就是區(qū)間內(nèi)任取兩點的平x均變化率大于零，也就是割線斜率大于00師：你說是可以“任取”，那么我們干脆把兩個點無限靠近。你們覺得可以得到什么。生6:瞬時變化率，就是某點切線的斜率，應(yīng)該是區(qū)間內(nèi)任意一點切線的斜率都大于0,或者說如果函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)區(qū)間內(nèi)任意一點處的導(dǎo)數(shù)都是大于零。師：總結(jié)(數(shù)形結(jié)合)增函數(shù)有 上(^-f^0f『x))0xix2師：以剛才所說的二次函數(shù)為例，我們看到圖像?？偨Y(jié)讀函數(shù)在區(qū)間Cg,2)_L單調(diào)遞或切的李人■，即其導(dǎo)數(shù)為氮在區(qū)間(2,+?)*大干。即其導(dǎo)教為正,而當(dāng)知?時箕劫雄斜率為。即導(dǎo)教為d2.形成結(jié)論：結(jié)論:一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在該區(qū)間如果f'(x)>0,則f(x)為增函數(shù)；如果f'(x)<0,則f(x)為減函數(shù).注意：如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)為常數(shù)函數(shù).[設(shè)計意圖：從單調(diào)性定義出發(fā)，通過一系列的設(shè)問，讓學(xué)生自己探求單調(diào)性定義中和導(dǎo)數(shù)之間的相關(guān)點，并建立聯(lián)系，重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程，加深感性認(rèn)識。同時，幫助學(xué)生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機(jī)輔助教學(xué)作用，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受和邏輯性 ](三)問題解決，變式訓(xùn)練例1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y2x36x27師：學(xué)生回答，教師板演過程：解:函數(shù)的定義域為&F(6=6工乙1公令6大匚12工>■解得x<口或Q2,則我工)的單培區(qū)間為(-8，0)和(2,+8).再令6d-12x<0,解得0G<2,則1(#的單誠區(qū)間(0,2).在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)兩個單調(diào)增區(qū)間之間用“和”。f(x)sinx,x0,2師：學(xué)生回答，教師板演過程：解：f'(x)cosx0解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自己借助余弦函數(shù)圖像，求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)問0,—和3-,2。2 2變式訓(xùn)練：1)yxlnx2)yxlnx3)yexx1師：大家現(xiàn)在覺得不難吧，接下來，看屏幕，以上三題我們請學(xué)生來板演學(xué)生板演情況分析：變1:學(xué)生解題錯誤，主因，分式不等式求解錯誤和原函數(shù)定義域沒有考慮。變2:學(xué)生解題錯誤，主因，對數(shù)不等式求解錯誤。變3:學(xué)生求解正確。注意點：指數(shù)不等式解法。師：通過上面一系列的問題，你們嘗試總結(jié)一下利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的一

股過程。生7:根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，1.確定函數(shù)f(x)的定義域.2.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3解不等式f'(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間；解不等式f'(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.師：對，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系密切。［設(shè)計意圖：這一個環(huán)節(jié)，緊扣課標(biāo)要求，立足課本但高于課本，優(yōu)選課本例題,精選變式練習(xí)(涉及三角，對指，分?jǐn)?shù)不等式解法)。讓學(xué)生利用新學(xué)知識去解決實際問題，解題過程中注意過程的完整性，通過學(xué)生板演充分暴露易錯，易發(fā)生的問題，強(qiáng)化記憶。充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，適時歸納總結(jié)一般性過程］(四)提升應(yīng)用，融會貫通例2、已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息:例2、已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息:當(dāng)2x3M,f'(x)0;當(dāng)x3^￡x2時，f'(x)0;當(dāng)xMx方寸,f'(x)0.試畫出函數(shù)圖像的大致形狀(如圖三)圖三以上學(xué)生通過獨(dú)立思考很快就可以畫出圖像，在這里，教師適當(dāng)解釋 A,B兩個臨界點的歸屬問題。問題升級(04浙江理工類)設(shè)f'(x)是函數(shù)分f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f'(x)的圖像如圖4所示，則y=f(x)的圖像最有可能是( )圖四［設(shè)計意圖：第三部分主要是通過函數(shù)解析式求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間，本部分則從反方面由導(dǎo)函數(shù)大概的反應(yīng)出函數(shù)的特點，能夠畫出函數(shù)的草圖。這部分要求學(xué)生充分滲透函數(shù)觀點(數(shù)形結(jié)合)解決問題］（五）歸納小結(jié)、鞏固新知師：通過本節(jié)課的研究，你明確了什么？生：明確了導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號與函數(shù)單調(diào)增減的聯(lián)系，求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。師：解題時應(yīng)該注意什么？生： 1.原函數(shù)定義域限制。.導(dǎo)函數(shù)涉及的不等式解法問題。.能繪制一些函數(shù)的草圖。（六）作業(yè)布置、課后自評課本P34.2,7兩個大題，課課練相應(yīng)部分。七、教學(xué)反思在這個班的教學(xué)過程中，我自我感覺還是不錯的，學(xué)生的作業(yè)完成的也很好，但是時間控制上感覺不是很到位，最后的總結(jié)匆匆而過，由于編排內(nèi)容比較滿，有些地方甚至縮短了學(xué)生獨(dú)立思考的時間，沒有讓學(xué)生充分的這是展示他們的一些似是而非的想法，怕時間不夠。教學(xué)以學(xué)生為主體，要求教師在課堂教學(xué)中，得根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知狀態(tài)和生活經(jīng)驗，設(shè)計一系列的問題，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流、自主探索的過程中主動去發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建新知識，獲得對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極體驗。教學(xué)過程中要始終緊扣課標(biāo)要求，充分利用教材資源，比如， 1..本課的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系探究過程，筆者由課本歸納結(jié)合習(xí)題1.3的第一小題設(shè)計出的由割線斜率往切線斜率上的轉(zhuǎn)換。2.變式練習(xí)的選用上，筆者關(guān)注到P29練習(xí)中涉及指數(shù)不等式而推廣開來的。八、點評：1、課題引入自然貼切，從函數(shù)單調(diào)性定義回顧—割線的斜率—切線的斜率—導(dǎo)數(shù)的符合與單調(diào)性的對應(yīng)關(guān)系，邏輯關(guān)系支持清楚完整，毫無生硬的痕跡。2、使用了多媒體手段進(jìn)行教學(xué)，節(jié)省了書寫時間。對有關(guān)問題的表達(dá)清楚，完備。3、例