第2講基本初等函數(shù)函數(shù)與方程2023年高考數(shù)學重難點二輪沖刺復習精品教學課件（新高考專用）

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程專題一

函數(shù)與導數(shù)考情分析1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解

不等式是常見題型.2.函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是?？碱}型，常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函數(shù)模型及應用是近幾年高考的熱點，通常考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型.考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點二函數(shù)的零點考點三函數(shù)模型及其應用專題強化練內(nèi)容索引基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點一指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關于y＝x對稱，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關注兩種函數(shù)圖象的異同.核心提煉例1(1)(2022·杭州模擬)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

的圖象可能是√∵lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴g(x)＝

＝logax，∴函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝

互為反函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

的圖象關于直線y＝x對稱，且具有相同的單調(diào)性.(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，則下列結論一定成立的是A.a＋b≤0 B.a－b>0C.a－b≤0 D.a＋b≥0√∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，∴ea－π－a≥e－b－π－(－b)，

①令f(x)＝ex－π－x，顯然f(x)為R上的增函數(shù)，①式即為f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關的問題時，首先要看底數(shù)a的取值范圍.(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化.規(guī)律方法

(1)(2022·山東名校大聯(lián)考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，則a，b，c的大小關系為A.b<a<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.a<b<c跟蹤演練1√由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知0＝log31<log32<log33＝1，又0＝log51<log52<log55＝1，又log23<log25，又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得c＝e0.2>e0＝1，所以b<a<c.(2)(2022·邯鄲模擬)不等式10x－6x－3x≥1的解集為__________.[1，＋∞)則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1.故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞).函數(shù)的零點

考點二判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)利用函數(shù)零點存在定理判斷.(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根.(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.核心提煉

已知f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－log5|x|的零點個數(shù)是A.2 B.4 C.6 D.8例2考向1函數(shù)零點個數(shù)的判斷√當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1，函數(shù)y＝f(x)的周期為2且為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，可作出函數(shù)f(x)的圖象.函數(shù)y＝log5|x|的圖象關于y軸對稱，函數(shù)y＝g(x)的零點，即為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標，當x>5時，y＝log5|x|>1，此時兩函數(shù)圖象無交點，如圖，又兩函數(shù)的圖象在x>0上有4個交點，由對稱性知兩函數(shù)的圖象在x<0上也有4個交點，且它們關于y軸對稱，可得函數(shù)g(x)＝f(x)－log5|x|的零點個數(shù)為8.

(2022·河北聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ex和g(x)＝kx2的圖象有三個不同交點，則k的取值范圍是____________.例3考向2求參數(shù)的值或范圍因為函數(shù)f(x)＝ex和g(x)＝kx2的圖象有三個不同交點，所以方程ex＝kx2有三個不同的實數(shù)根，顯然x＝0不是方程的實數(shù)根，所以當x<0時，h′(x)>0，當0<x<2時，h′(x)<0，當x>2時，h′(x)>0，因為當x趨近于－∞時，h(x)趨近于0，當x趨近于＋∞時，h(x)趨近于＋∞，當x趨近于0時，h(x)趨近于＋∞，利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法規(guī)律方法

(1)(2022·合肥模擬)若f(x)為奇函數(shù)，且x0是y＝f(x)－2ex的一個零點，則－x0一定是下列哪個函數(shù)的零點A.y＝f(－x)e－x－2 B.y＝f(x)ex＋2C.y＝f(x)ex－2 D.y＝f(－x)ex＋2跟蹤演練2√因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，又因為x0是y＝f(x)－2ex的一個零點，所以f(x0)＝2

，把－x0分別代入四個選項，對于A，f(x0)

－2＝2(

)2－2，不一定為0，故A不正確；對于B，f(－x0)＋2＝－f(x0)

＋2＝－2·＋2＝0，所以－x0是函數(shù)y＝f(x)ex＋2的零點，故B正確；對于C，f(－x0)

－2＝－2－2＝－4，故C不正確；對于D，f(x0)

＋2＝2

＋2＝4，故D不正確.(2)已知函數(shù)f(x)＝

若關于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________.作出函數(shù)f(x)的圖象，又直線y＝a(x＋1)過定點P(－1,0)，如圖，則at2－t＋a＝0有兩個正根，函數(shù)模型及其應用

考點三解函數(shù)應用題的步驟(1)審題：縝密審題，準確理解題意，分清條件和結論，理清數(shù)量關系.(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型.(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論.(4)反饋：將得到的數(shù)學結論還原為實際問題的意義.核心提煉例4(1)(2022·西安模擬)2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的中國空間站，安全返回地球.中國征服太空的關鍵是火箭技術，在理想情況下，火箭在發(fā)動機工作期間獲得速度增量的公式Δv＝veln

，其中Δv為火箭的速度增量，ve為噴流相對于火箭的速度，m0和m1分別代表發(fā)動機開啟和關閉時火箭的質(zhì)量，在未來，假設人類設計的某火箭ve達到5公里/秒，

從100提高到600，則速度增量Δv增加的百分比約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)A.15% B.30% C.35% D.39%√(2)(2022·福州模擬)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為L＝

，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為22，且當訓練迭代輪數(shù)為22時，學習率衰減為0.45，則學習率衰減到0.05以下(不含0.05)所需的訓練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771)A.11 B.22 C.227 D.481√由于L＝

，所以L＝0.5×，則L＝0.5×，G·(lg9－lg10)<－22，G·(lg10－lg9)>22，所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為481輪.構建函數(shù)模型解決實際問題的失分點(1)不能選擇相應變量得到函數(shù)模型.(2)構建的函數(shù)模型有誤.(3)忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.易錯提醒

(1)(2022·荊州聯(lián)考)“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學治污.某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米.已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t(單位：天)河水污染質(zhì)量指數(shù)為m(t)(每立方米河水所含的污染物)滿足m(t)＝

(m0為初始質(zhì)量指數(shù))，經(jīng)測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍.若從現(xiàn)在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是(參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.30)A.1個月

B.3個月C.半年

D.1年跟蹤演練3√由題可知，m(t)＝

＝0.1m0，∴要使河水的污染水平下降到初始時的10%，結合選項知需要的時間大約是半年.∴

＝0.1，(2)(2022·廣東大聯(lián)考)水果采摘后，如果不進行保鮮處理，其新鮮度會逐漸流失，某水果產(chǎn)地的技術人員采用一種新的保鮮技術后發(fā)現(xiàn)水果在采摘后的時間t(單位：小時)與失去的新鮮度y滿足函數(shù)關系式：y＝

為了保障水果在銷售時的新鮮度不低于85%，從水果采摘到上市銷售的時間間隔不能超過(參考數(shù)據(jù)：log23≈1.6)A.20小時

B.25小時C.28小時

D.35小時√由題意可知當t<10時，失去的新鮮度小于10%，沒有超過15%，當t≥10時，則有

≤15%，即

≤3，∴t≤48－20＝28.專題強化練

一、選擇題12345678910111213141516設冪函數(shù)f(x)＝xα，則4α＝3×2α，√解得α＝log23，所以f(x)＝

，2.(2022·瀘州模擬)若logab>1，其中a>0且a≠1，b>1,則A.0<a<1<b

B.1<a<bC.1<b<a

D.1<b<a212345678910111213141516√當0<a<1時，y＝logax單調(diào)遞減，由b>1，則logab<0，與logab>1矛盾，故a>1，由logab>1得logab>logaa，則b>a，故b>a>1.123456789101112131415163.函數(shù)f(x)＝

的零點有A.2個

B.3個C.5個

D.無數(shù)個f(x)的定義域為(－5,5)，令f(x)＝0，得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，又x∈(－5,5)，∴x＝0或x＝±π，故f(x)有3個零點.√123456789101112131415164.朗伯比爾定律(Lambert－Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物質(zhì)對某一波長光吸收的強弱與吸光物質(zhì)的濃度及其液層厚度間的關系，其數(shù)學表達式為A＝lg

＝Kbc，其中A為吸光度，T為透光度，K為摩爾吸光系數(shù)，c為吸光物質(zhì)的濃度，單位為mol/L，b為吸收層厚度，單位為cm.保持K，b不變，當吸光物質(zhì)的濃度增加為原來的兩倍時，透光度由原來的T變?yōu)锳.2T

B.T2C.T

D.10T√12345678910111213141516所以透光度由原來的T變?yōu)門2.5.(2022·十堰統(tǒng)考)已知a＝ln3，b＝30.5，c＝lg9，則A.a>b>c

B.c>a>bC.b>a>c

D.b>c>a12345678910111213141516√12345678910111213141516因為0＝lg1<c＝lg9<lg10＝1，a＝ln3>lne＝1，所以a>c，故b>a>c.6.方程f(x)＝f′(x)的實數(shù)根叫做函數(shù)f(x)的“新駐點”.如果函數(shù)g(x)＝lnx＋2的“新駐點”為a，那么a的取值范圍是12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.(2022·聊城模擬)“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！保S著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進步，人們的環(huán)保意識日益增強.某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，當?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達標排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516設該污染物排放前過濾的次數(shù)為n(n∈N*)，因為lg2≈0.30，lg3≈0.48，12345678910111213141516所以n≥7.8，又n∈N*，所以nmin＝8，即該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為8次.8.(2022·茂名模擬)已知x，y，z均為大于0的實數(shù)，且2x＝3y＝log5z，則x，y，z大小關系正確的是A.x>y>z

B.x>z>yC.z>x>y

D.z>y>x12345678910111213141516√12345678910111213141516因為x，y，z均為大于0的實數(shù)，

所以令2x＝3y＝log5z＝t，則t>1，進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝log5x與直線y＝t(t>1)的交點的橫坐標之間的關系，作出函數(shù)圖象，如圖，由圖可知z>x>y.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516A.f(1)＋f(－1)<0B.f(－2)＋f(2)>0C.f(1)－f(－2)<0D.f(－1)＋f(2)>0√12345678910111213141516所以f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＋f(－x)＝0，故A，B錯誤；即(x＋3)(3－x)>0，解得－3<x<3，根據(jù)單調(diào)性的結論可知f(x)在(－3,3)上單調(diào)遞增，所以當x∈(0,3)時，f(x)>0，當x∈(－3,0)時，f(x)<0，12345678910111213141516所以f(1)－f(－2)＝f(1)＋f(2)>0，C錯誤；f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)>0，D正確.1234567891011121314151611.(2022·昆明模擬)已知55<94，134<95，設a＝log52，b＝log95，c＝log139，則A.a<b<c

B.b<a<cC.b<c<a

D.c<a<b√12345678910111213141516由已知得a，b，c∈(0,1)，∴a<b，12.設x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零點(其中a>1)，則x1＋4x2的取值范圍為A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)C.(5，＋∞) D.[5，＋∞)12345678910111213141516√12345678910111213141516令g(x)＝0，得x2logax2－1＝0，1234567891011121314151612345678910111213141516二、填空題13.(2022·成都模擬)已知兩個條件：①a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)；②f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.請寫出一個同時滿足以上兩個條件的函數(shù)_________________________.f(x)＝1234567891011121314151614.(2022·廣州模擬)據(jù)報道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗蟲災害.在所有的農(nóng)業(yè)害蟲中，沙漠蝗蟲對人類糧食作物危害最大.沙漠蝗蟲繁殖速度很快，遷徙能力很強，給農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和糧食安全構成重大威脅.已知某蝗蟲群在適宜的環(huán)境條件下，每經(jīng)過15天，數(shù)量就會增長為原來的10倍.該蝗蟲群當前有1億只蝗蟲，則經(jīng)過____天，蝗蟲數(shù)量會達到4000億只.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30)541