2018版數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第1部分重點(diǎn)強(qiáng)化專題專題4立體幾何專題限時(shí)集訓(xùn)9空間中的平行與垂直關(guān)系理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題限時(shí)集訓(xùn)(九)空間中的平行與垂直關(guān)系(對應(yīng)學(xué)生用書第95頁）(限時(shí)：40分鐘）題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明1,3，6,7，8,9,10，12,14題型2平面圖形的翻折問題2，4,5，11,13一、選擇題1．(2017·河北邢臺二模)設(shè)m,n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．給出下列四個(gè)命題：①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；②若m∥n，m∥β，則n∥β；③若m∥α，m∥β，則α∥β;④若n⊥α，n⊥β，則α⊥β。其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4A[①是常用結(jié)論；②還有可能n?β;③還有可能α，β相交，此時(shí)m與它們的交線平行；④垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行．故選A.]2．（2017·貴陽二模）如圖9-6,在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn)，沿AE,AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是（）圖9.6A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A[由題意可知PA，PE,PF兩兩垂直，∴PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF.∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心．故選A.］3．（2016·長沙模擬)如圖9。7,正方體ABCD.A1B1C1D1E,F是線段B1D1上的兩個(gè)動點(diǎn),且EF＝eq\f（\r（2），2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）圖9。7A．AC⊥BFB．三棱錐A。BEF的體積為定值C．EF∥平面ABCDD．異面直線AE，BF所成的角為定值D[對于選項(xiàng)A，連接BD（圖略），易知AC⊥平面BDD1B1。∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正確；對于選項(xiàng)B，∵AC⊥平面BDD1B1,∴A到平面BEF的距離不變．∵EF＝eq\f（\r（2），2)，B到EF的距離為1，∴△BEF的面積不變，∴三棱錐A.BEF的體積為定值，故B正確；對于選項(xiàng)C，∵EF∥BD，BD?平面ABCD,EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；對于選項(xiàng)D，異面直線AE，BF所成的角不為定值,當(dāng)F與B1重合時(shí)，令上底面中心為O，則此時(shí)兩異面直線所成的角是∠A1AO，當(dāng)E與D1重合時(shí),點(diǎn)F與O重合,則兩異面直線所成的角是∠OBC1,這兩個(gè)角不相等，故異面直線AE,BF所成的角不為定值，故D錯(cuò)誤．]4．（2017·廣東惠州三調(diào)）如圖9-8是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中,給出下面4個(gè)結(jié)論:圖9.8①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD。其中正確的有（)【導(dǎo)學(xué)號：07804069】A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)B[將展開圖還原為幾何體(如圖），因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,E，F(xiàn)分別為PA,PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD∥BC，則直線BE與CF共面，①錯(cuò)；因?yàn)锳F?平面PAD，B?平面PAD,E∈平面PAD，E?AF,所以BE與AF是異面直線，②正確；因?yàn)镋F∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直,④錯(cuò)．故選B。］5．（2017·江西景德鎮(zhèn)二模)將圖9-9（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD（如圖9。9（2）)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(）圖9-9(1)圖9-9（2）A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直C［在題圖（1)中，AD⊥BC，故在題圖(2)中，AD⊥BD,AD⊥DC，又因?yàn)锽D∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD,又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD與BC異面，故選C.］6．（2017·合肥二模）若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有(）A．0條 B．1條C．2條 D．0條或2條C[因?yàn)槠叫杏谌忮F的兩條相對棱的平面截三棱錐所得的截面是平行四邊形,所以該三棱錐中與平面α平行的棱有2條，故選C.]7．(2017·河北唐山3月模擬)已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB,PC的中點(diǎn)，若MN＝BC＝4,PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是（）A．30° B．45°C．60° D．90°A[取AC的中點(diǎn)O，連接OM,ON(圖略)，則ON∥AP,ON＝eq\f（1,2)AP,OM∥BC，OM＝eq\f（1，2)BC，所以異面直線PA與MN所成的角為∠ONM(或其補(bǔ)角），在△ONM中，OM＝2，ON＝2eq\r(3），MN＝4，由勾股定理的逆定理得OM⊥ON，則∠ONM＝30°。故選A。］8．（2016·福建漳州八校一模）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(）①過異面直線a，b外一點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面與a，b都平行;②直線a,b在平面α內(nèi)的射影相互垂直，則a⊥b；③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且a⊥b，則α⊥β。A．0 B．1C．2 D．3A[對于①，當(dāng)點(diǎn)P與兩條異面直線中的一條直線確定的平面與另一條直線平行時(shí)，就無法找到過點(diǎn)P且與兩條異面直線都平行的平面，故①錯(cuò)誤;對于②，在如圖1所示的三棱錐P.ABC中,PB⊥平面ABC，BA⊥BC，滿足PA，PC在底面的射影相互垂直，但PA與PC不垂直，故②錯(cuò)誤；對于③，在如圖2所示的三棱錐P.ABC中,AB＝BC＝AC＝PA＝2，PB＝PC＝3，滿足底面ABC是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形，但三棱錐P。ABC不是正三棱錐，故③錯(cuò)誤；對于④，α，β也可以平行，故④錯(cuò)誤．所以正確命題的個(gè)數(shù)為0.選A.]二、填空題9．(2017·深圳模擬)在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC,則截面的周長為________．8[過點(diǎn)G作EF∥AC,分別交PA、PC于點(diǎn)E、F，過E、F分別作EN∥PB、FM∥PB，分別交AB、BC于點(diǎn)N、M,連接MN（圖略)，則四邊形EFMN是平行四邊形（平面EFMN為所求截面），且EF＝MN＝eq\f（2,3)AC＝2,FM＝EN＝eq\f（1，3)PB＝2,所以截面的周長為2×4＝8.］10．(2017·安徽安慶二模)正四面體ABCD中，E、F分別為AB、BD的中點(diǎn)，則異面直線AF、CE所成角的余弦值為________．eq\f（1，6)[取BF的中點(diǎn)G,連接CG，EG，(圖略）易知EG∥AF，所以異面直線AF、CE所成的角即為∠GEC(或其補(bǔ)角)．不妨設(shè)正四面體棱長為2，易求得CE＝eq\r(3），EG＝eq\f（\r(3),2)，CG＝eq\f（\r(13）,2)，由余弦定理得cos∠GEC＝eq\f（EG2＋CE2－CG2,2EG·CE）＝eq\f（\f（3，4）＋3－\f（13，4）,2×\f（\r(3)，2)×\r（3))＝eq\f(1，6），∴異面直線AF、CE所成角的余弦值為eq\f（1，6）。］11．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D。ABC，當(dāng)三棱錐D.ABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為________.【導(dǎo)學(xué)號：07804070】eq\f(4，3）π[當(dāng)平面DAC⊥平面ABC時(shí)，三棱錐D。ABC的體積取最大值．此時(shí)易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD。又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD,取AB的中點(diǎn)O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O為所求外接球的球心,故半徑r＝1，體積V＝eq\f（4,3)πr3＝eq\f（4,3）π.］12．（2017·武昌區(qū)調(diào)研）若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD,AC＝BD，AD＝BC,給出下列結(jié)論：①四面體ABCD每組對棱相互垂直；②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等；③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°；④連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分;⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長．其中正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號）②④⑤[①，如圖1，AE，CF分別為BD邊上的高，由三角形全等可知DE＝BF，當(dāng)且僅當(dāng)AD＝AB，CD＝BC時(shí)，E，F(xiàn)重合,此時(shí)AC⊥BD,所以當(dāng)四面體ABCD為正四面體時(shí),每組對棱相互垂直,故①錯(cuò)誤；②，因?yàn)锳B＝CD，AC＝BD,AD＝BC,所以四面體四個(gè)面全等，所以四面體ABCD每個(gè)面的面積相等，故②正確；③，當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的任意兩條棱的夾角均為60°，此時(shí)四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180°，故③錯(cuò)誤;④,如圖2，G，H,I，J為各邊中點(diǎn)，因?yàn)锳C＝BD，所以四邊形GHIJ為菱形,GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分，故④正確;⑤，從A點(diǎn)出發(fā)的三條棱為AB，AC，AD,因?yàn)锳C＝BD,所以AB，AC，AD可以構(gòu)成三角形，同理可得其他，所以從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長，故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論為②④⑤.］三、解答題13．在平面四邊形ABCD(圖9。10（1））中，△ABC與△ABD均為直角三角形且有公共斜邊AB，設(shè)AB＝2,∠BAD＝30°,∠BAC＝45°，將△ABC沿AB折起，構(gòu)成如圖9-10(2）所示的三棱錐C′。ABD.圖9.10（1)圖9。10（2)（1）當(dāng)C′D＝eq\r(2)時(shí)，求證：平面C′AB⊥平面DAB；（2)當(dāng)AC′⊥BD時(shí)，求三棱錐C′。ABD的高．［解］(1）證明：當(dāng)C′D＝eq\r(2）時(shí),取AB的中點(diǎn)O，連接C′O，DO，在Rt△ABC′,Rt△ADB中，AB＝2，則C′O＝DO＝1，∵C′D＝eq\r(2），∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD,由∠BAC＝45°得△ABC′為等腰直角三角形,∴C′O⊥AB，又AB∩OD＝O，AB,OD?平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，∵C′O?平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB。(2）由已知可求得AD＝eq\r（3)，AC′＝BC′＝eq\r（2)，BD＝1，當(dāng)AC′⊥BD時(shí),由已知AC′⊥BC′，得AC′⊥平面BDC′，∵C′D?平面BDC′，∴AC′⊥C′D，由勾股定理，得C′D＝eq\r(AD2－AC′2）＝eq\r（3－2)＝1,而△BDC′中，BD＝1,BC′＝eq\r（2），∴C′D2＋BD2＝BC′2,∴C′D⊥BD.∴S△BDC′＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f（1,2）.三棱錐C′。ABD的體積V＝eq\f(1，3）·S△BDC′·AC′＝eq\f（1,3）×eq\f(1，2)×eq\r（2）＝eq\f(\r（2），6）。S△ABD＝eq\f（1，2）×1×eq\r(3)＝eq\f（\r(3)，2)，設(shè)三棱錐C′。ABD的高為h,則由eq\f(1，3)×eq\f(\r（3),2）×h＝eq\f(\r(2）,6）,解得h＝eq\f(\r(6），3).14．如圖9。11,一個(gè)側(cè)棱長為l的直三棱柱ABC.A1B1C1容器中盛有液體（不計(jì)容器厚度）．若液面恰好分別過棱AC,BC，B1C1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)圖9.11（1)求證：平面DEFG∥平面ABB1A1(2）當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),求液面的高.【導(dǎo)學(xué)號：07804071】[解］(1)證明：因?yàn)镈，E分別為棱AC,BC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥AB.又DE?平面ABB1A1,AB?平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面(2）當(dāng)直三棱柱ABC。A1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，由（1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABC.A1B1C1容器的高，即側(cè)棱