2018年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)一篇過專題35直線的位置關(guān)系理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題35直線的位置關(guān)系（1）能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.（2）能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(3)掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.一、兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式與相交與垂直與平行且或與重合且注意：(1)當(dāng)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率不存在時的情況；（2)當(dāng)兩條直線垂直時,不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．二、兩條直線的交點(diǎn)對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0,與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．（1)方程組有唯一解與相交，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；（2）方程組無解；（3)方程組有無數(shù)解與重合．三、距離問題（1）平面上任意兩點(diǎn)P1（x1，y1)，P2(x2，y2）間的距離｜P1P2｜＝．（2）點(diǎn)P0（x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝．（3）兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2）間的距離d＝．四、對稱問題（1）中心對稱：點(diǎn)為點(diǎn)與的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式為．（2）軸對稱:若點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為,則．考向一兩直線平行與垂直的判斷及應(yīng)用由兩直線平行或垂直求參數(shù)的值：在解這類問題時，一定要“前思后想”.“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解.典例1(1）若直線與平行,則a=_______________.（2）已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實數(shù)a的值為_______________?！敬鸢浮浚?）2或；(2）1或0.當(dāng)時，的斜率。因為所以，即,解得a=1.當(dāng)a=0時，，這時直線為y軸，，,直線為x軸，顯然.綜上可知,實數(shù)a的值為1或0。1．直線的斜率為2,,直線l2過點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為A． B．C． D．考向二兩直線的相交問題1．兩直線交點(diǎn)的求法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為點(diǎn)的坐標(biāo)，即交點(diǎn)的坐標(biāo).2．求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程。典例2已知直線l經(jīng)過直線2x-y—3=0和4x-3y—5=0的交點(diǎn)P,且垂直于直線2x+3y+5=0,求直線l的方程.【答案】直線l的方程為3x—2y-4=0.設(shè)直線l的方程為3x-2y+c=0，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得3×2-2×1+c=0，解得c=—4.故直線l的方程為3x—2y—4=0.方法三：直線l的方程可設(shè)為2x-y-3+λ(4x-3y—5）=0（其中λ為常數(shù)），即(2+4λ)x-（1+3λ)y-5λ—3=0,因為直線l與直線2x+3y+5=0垂直,所以·(—）=-1，解得λ=1.故直線l的方程為3x—2y—4=0.2．若兩條直線2x?my＋4=0和2mx＋3y?6=0的交點(diǎn)在第二象限,則m的取值范圍是A． B．C． D．考向三距離問題1.求兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形狀等。2。解決點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題，應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時必須討論斜率是否存在.3。求兩條平行線間的距離，要先將直線方程中x,y的對應(yīng)項系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解.也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題。典例3（1)若點(diǎn)A(2，3），B(－4，5）到直線l的距離相等，且直線l過點(diǎn)P（－1,2），則直線l的方程為_________;（2）若直線m被兩直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為，則直線m的傾斜角θ(θ為銳角）為_________．【答案】（1）x＋3y－5＝0或x＝－1;（2)15°或75°在中，sin∠ABC=，所以∠ABC=30°，又直線l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為45°－30°=15°或45°+30°=75°，故直線m的傾斜角θ=15°或75°．3．已知直線l與直線l1：3x?y＋3=0和l2:3x?y?1=0的距離相等，則直線l的方程是__________________．考向四對稱問題解決對稱問題要抓住以下兩點(diǎn)：（1）已知點(diǎn)與對稱點(diǎn)的連線與對稱軸垂直；(2）以已知點(diǎn)和對稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對稱軸上．典例4已知直線l:3x-y+3=0，求:（1）點(diǎn)P（4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2）直線x—y—2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程.【答案】（1）（-2,7)；（2）7x+y+22=0.【解析】設(shè)P（x，y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點(diǎn)為P'(x’,y’）?！遦PP’·kl=?1，∴·3=—1,①又PP’的中點(diǎn)在直線3x—y+3=0上,∴3·-+3=0。②即7x+y+22=0。4．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn),光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P．若光線QR經(jīng)過三角形ABC的重心,則求AP的長．考向五直線過定點(diǎn)問題求解含有參數(shù)的直線過定點(diǎn)問題，有兩種方法：（1）任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線,然后驗證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解.（2)分項整理，含參數(shù)的并為一項，不含參數(shù)的并為一項，整理成等號右邊為零的形式，然后令含參數(shù)的項和不含參數(shù)的項分別為零，解方程組所得的解即為所求定點(diǎn)。典例5求證:不論m取什么實數(shù)，直線（2m－1）x＋（m＋3)y－(m【答案】詳見解析。【解析】證法一:對于方程(2m－1)x＋(m＋3）y－（m所以所給的直線不論m取什么實數(shù)，都經(jīng)過定點(diǎn)（2，－3）．5．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R）．（1）證明：直線l過定點(diǎn)；(2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍．1．過點(diǎn)(2,1）且與直線x+2y—1=0平行的直線方程是A．x-2y—2=0 B．x—2y+2=0C．x+2y-4=0 D．x+2y+4=02．“a=15”是“直線2ax+(a-1）y+2=0與直線（a+1)x+3ay+3=0垂直"A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知傾斜角為α的直線l與直線x+2y—3=0垂直，則cos（2019π2—2αA．45 B．-C．2 D．-14．若直線l1:x+ay+6=0與l2：(a-2)x+3y+2aA．22 B．23C．8235．若過點(diǎn)P（2，2)且與直線ax+y+1=0垂直的直線l被圓x2+y2=9所截得的弦長為2，則a=A．3 B．?3C．?1 D．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-yA．24 B．C．28 D．7．已知圓O:x2+y2=4上到直線l：x+y=a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個，則實數(shù)a的取值范圍為A． B．（—∞，-32）∪（32,+∞)C．(-22,22) D．［-32，32]8．設(shè)點(diǎn)M是圓C：x2+y2—4y+3=0上的一個動點(diǎn),則點(diǎn)M到直線l：x-3y+33=0的最大距離為A．32+1 B．1-C．32 D．39．求經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)的直線，且使AA．4x-yC．4x-y-2=0，或x=110．已知點(diǎn)P(m,n）到點(diǎn)A(0，4）和B（—8，0）的距離相等,則(14)m+（12)A．-3 B．3C．16 D．411．若直線2x+ay-7=0與直線(a-3)x+y+4=012．已知直線2x+y-2=0與直線4x+my+6=0平行，則它們之間的距離為

.13．直線a：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y—1=0對稱的直線b的方程為

.14．已知函數(shù)f(x）=ex+aex（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))的導(dǎo)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù),若曲線y=f(x)在(x0,f（x0）)處的切線與直線2x+y+1=0垂直,則x0=15．若關(guān)于x,y的方程組ax+y16．若P(2,-1)為圓x-12+y2=2517．已知雙曲線C:x23-y2=1與直線l：x+ky+4=0,若直線l與雙曲線C的一條漸近線平行,則k=,雙曲線C的右焦點(diǎn)到直線l的距離是18．已知l1，l2是分別經(jīng)過A(2，1)，B（0，2)兩點(diǎn)的兩條平行直線,當(dāng)l1,l2之間的距離最大時，直線l1的方程是

。19．已知直線l1(1）若l1⊥l（2）當(dāng)l1//l2時，求直線20．過點(diǎn)P(3,0)有一條直線l，它夾在兩條直線l1:2x-y-2=0與l21．（1）已知點(diǎn)A(-1，—2）和B（—3，6）,直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，—5），且與直線AB平行,求直線l的方程。(2）求垂直于直線x+3y-5=0，且與點(diǎn)P(-1,0)的距離是31022．已知直線l1:x-2（1)求交點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2）設(shè)直線l3:3x-4y+23．已知兩條直線l1：ax-by+4=0和l2：(a-1）x+y—b=0.(1）若l1⊥l2，且l1過點(diǎn)（—3,-1)，求實數(shù)a，b的值。(2)是否存在實數(shù)a，b,使得l1∥l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等?并說明理由.24．已知兩條直線l1：（a-1)x-2y+b=0，l2：ax+（b—4）y+3=0,其中a〉0.若l1⊥l2，且l1過點(diǎn)（1，3）。（1)求l1,l2的方程；（2)若光線沿直線l1射入,遇到直線x=0后反射，求反射光線所在的直線方程.變式拓展變式拓展1．【答案】D【解析】∵k1=2，,∴k2=2。設(shè)，則，∴y=3，即.選D.2．【答案】C【解析】解出兩直線的交點(diǎn)為，由交點(diǎn)在第二象限，得，解得。3．【答案】3x?y＋1=0于是有，則直線l的方程為3x?y＋1=0。4．【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得B(4，0），C(0，4），故直線BC的方程為x＋y＝4,三角形ABC的重心為，設(shè)P(a，0)，其中0＜a＜4,則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P1（x，y)滿足，解得5．【解析】（1)證法一：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1,故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)(－2,1）．證法二：設(shè)直線l過定點(diǎn)(x0，y0），則kx0－y0＋1＋2k＝0對任意k∈R恒成立,即（x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直線l總過定點(diǎn)（－2，1)．(2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1,則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥0,1＋2k≥0,))解得k≥0。故k的取值范圍為［0,＋∞)．考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】C【解析】方法一：由題意，知所求直線的斜率為-12,故所求直線的方程為y-1=—12（x—2)，即x+2方法二：設(shè)所求直線方程為x+2y+c=0，又直線經(jīng)過點(diǎn)（2，1),故c=—4，則所求方程為x+2y-4=0.故選C.方法三:四個選項中的直線只有選項C,D中的直線與直線x+2y-1=0平行,而只有選項C中的直線經(jīng)過點(diǎn)(2，1),故選C.2．【答案】A【名師點(diǎn)睛】用兩條直線垂直的充要條件A1A2+B1B2=0求解,可以避免討論斜率存在性。

3．【答案】B【解析】由題意可知tanα=2,所以cos(2019π2-2α）=cos(1008π+3π2-2α）=—sin2α=—2sinαcosαsin4．【答案】C【解析】由l1∥l2知，1a-2=a3≠62a,解得a=—1,所以l1:x-y+6=0,l2：x-y+23=0,兩條平行直線l15．【答案】C【解析】由已知得圓的圓心為O（0，0），半徑r=3。因為直線l被圓所截得的弦長為2，所以圓心到直線l的距離d=r2-12=22。因為直線l與直線ax+y+1=0垂直,故可設(shè)直線l的方程為x-因為點(diǎn)P在直線l上，所以2-a×2+m=0，解得m=2a故直線l的方程為x—ay+2a所以圓心到直線l的距離d=|2a-2|1整理得a2+2a+1=0，解得a6．【答案】C7．【答案】A【解析】由圓的方程可知圓心為（0，0),半徑為2.因為圓O上到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個,所以圓心到直線l的距離d<r+1=2+1,即d=|-a|12+12=|a8．【答案】A【解析】化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x2+（y-2)2=1，半徑為1，圓心(0，2）到直線l:x-3y+33=0的距離d=|3|1+3=32,則點(diǎn)M到直線l:x—39．【答案】C【解析】x=1當(dāng)A，B在所求直線同側(cè)時，直線AB與所求直線平行，斜率為3+52-0∴所求直線的方程為y-2=4x-1，化為一般式：故所求直線為x=1或4故選C.10．【答案】C【解析】因為點(diǎn)P（m，n)到點(diǎn)A(0，4）和B（—8，0）的距離相等,所以m2(m+8)2+n2，即2m+n=—6,又(14)m>0,(12)n>0，所以(142(12)2m+n=2(1211．【答案】2【解析】由題得，2(a-3)+a×1=0，解得a12．【答案】5【解析】4x+my+6=0可化為2x+m2y+3=0，由題意可得兩條平行線之間的距離d13．【答案】2x+11y+16=03×x解得x又Q(x0,y0)在直線a:2x+y—4=0上,則2×7x-24y+6化簡,得2x+11y+16=0。故所求直線b的方程為2x+11y+16=0.解法三：設(shè)直線b上的動點(diǎn)為P（x,y),直線a上的點(diǎn)為Q(x0，4—2x0）,且P,Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l:3x+4y—1=0對稱，則有|3消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y—4=0（舍去）。故所求直線b的方程為2x+11y+16=0.14．【答案】ln215。【答案】2【解析】依題意，若關(guān)于x,y的方程組ax+y-1=0，4x+ay-2=016．【答案】x【解析】由題意，知的圓心為（1，0），所以過圓心與點(diǎn)P的直線l的斜率k1=-1，由圓的性質(zhì)可知,直線l與直線AB垂直，所以AB的斜率為1,因此直線AB的直線方程為x-y17．【答案】±33【解析】由題意得，雙曲線C：x23—y2=1的右焦點(diǎn)為F(2,0）,其漸近線方程為y=±33x。又直線l:x+ky+4=0與雙曲線C的一條漸近線平行,所以k=±3,所以直線l的方程為x±3y+4=0,所以雙曲線C的右焦點(diǎn)到直線l的距離d18．【答案】2x—y—3=019．【解析】（1）由l1⊥l2知(2）當(dāng)時,有a(a-2)-3=03a-(a-2)≠l1:3x+3y+1距離為d=|9-1|3【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與直線之間的位置關(guān)系.解答本題時要注意(1）利用直線垂直，結(jié)合斜率之間的關(guān)系