2023年浙教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)特殊三角形全部知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)及練習(xí)

浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章《特殊三角形》復(fù)習(xí)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)本章重要學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)與鑒定、直角三角形的性質(zhì)與鑒定以及勾股定理、HＬ定理等知識(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)如下圖所示：二、重點(diǎn)回顧1．等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形兩腰____＿＿＿;等腰三角形兩底角_＿_(dá)__＿(即在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)＿_(dá)___）；等腰三角形三線合一，這三線是指__＿_(dá)____＿_(dá)______、__＿_(dá)__________＿_(dá)、＿＿＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)___＿，也就是說一條線段充當(dāng)三種身份；等腰三角形是________圖形，它的對(duì)稱軸有_____＿＿＿_(dá)條。２．等腰三角形的鑒定：有__＿_(dá)邊相等的三角形是等腰三角形；有_＿＿_(dá)_相等的三角形是等腰三角形(即在同一個(gè)三角形中,等角對(duì)___＿_(dá)）。注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對(duì)嗎？3．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形各條邊_____＿，各內(nèi)角__＿＿_(dá)_＿,且都等于__＿_(dá)_；等邊三角形是＿＿_(dá)___圖形,它有＿＿_(dá)_條對(duì)稱軸。4．等邊三角形的鑒定：有____邊相等的三角形是等邊三角形;有三個(gè)角都是＿_(dá)____的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角都是_＿_(dá)___的三角形是等邊三角形;有一個(gè)角是_＿_(dá)＿_(dá)_的＿_(dá)__＿_(dá)三角形是等邊三角形。5．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角＿＿_(dá)____;直角三角形斜邊上的中線等于_＿_(dá)__＿_(dá);直角三角形兩直角邊的平方和等于_＿_(dá)_____(即勾股定理)。30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的_＿_(dá)_＿＿_(dá)_6．直角三角形的鑒定：有一個(gè)角是___＿_(dá)＿的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角_＿_(dá)__＿＿的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于＿_(dá)___＿_(dá)的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長度的一半,那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形,但有助于解題。7．直角三角形全等的鑒定:斜邊和＿＿＿＿_(dá)＿_(dá)____相應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。8．角平分線的性質(zhì):在角內(nèi)部到角兩邊_______＿_(dá)＿＿在這個(gè)角的平分線上。三、重點(diǎn)解讀1．學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與鑒定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言,根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個(gè)圖形形狀通常用的是鑒定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì);2．等腰三角形的腰是在已知一個(gè)三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在鑒定一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)千萬不能將理由說成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”;3.直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關(guān)系,并且它也是此后研究直角三角形問題較為常用的輔助線，純熟掌握可認(rèn)為解題帶來不少方便;４.勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊,不要一看到字母“”就認(rèn)定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認(rèn)為另一邊一定是５；5．“HL”是僅合用于鑒定直角三角形全等的特殊方法,只有在已知兩個(gè)三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效,當(dāng)然，以前學(xué)過的“ＳSＳ”、“SAＳ”、“ASＡ”、“AAＳ”等鑒定一般三角形全等的方法對(duì)于直角三角形全等的鑒定同樣有效。牢記!！!兩邊及其中一邊的對(duì)角相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等,也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時(shí)千萬不要這樣做。本章解題時(shí)用到的重要數(shù)學(xué)思想方法:⑴分類討論思想(特別是在語言模糊的等腰三角形中）(留意后面的例題)⑵方程思想:重要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程；尚有就是在等腰三角形中求角度，求邊長(留意后面的例題)⑶等面積法四、典型例題（一)、角平分線+平行線1、在△ＡBC中,三內(nèi)角互不相等,ＢO平分∠ABC，ＣO平分∠AＣB。過O點(diǎn)作EF，使ＥＦ∥BＣ。（1)圖中有幾個(gè)等腰三角形？（2）猜測(cè)線段BE、CF、EＦ有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由。2、在△ABC中，∠ＡＢC=∠AＣB,BO平分∠ＡBＣ,ＣＯ平分∠AＣB,過O點(diǎn)作EF，使EF∥ＢC,且∠EBO＝30°。若BＥ=5，△ＡBＣ的周長為_＿_(dá)＿_(dá)＿＿_(dá)_。（二）、角平分線+垂線3、如圖：ＡＢ=AC,∠1＝∠２，ＡE⊥CＤ于F交ＢC于點(diǎn)E,求證:AＢ=CE。4、如圖，△ABＣ是等腰直角三角形，其中∠A=90°，ＢＤ平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，ＣE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E，求證:ＢD=2CE(三)、直角三角形的一個(gè)銳角平分線+斜邊上的高線F5、如圖,在△ＡBC中，∠ＡＣB＝９0°，AE平分∠CAB,CD⊥AＢ于D，它們交于點(diǎn)Ｆ，△CFＥ是等腰三角形嗎？試說明理由.F（四)、等邊三角形的幾個(gè)基本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=ＣE,連接AD、BE交于點(diǎn)F?！希罠Ｅ=_________。7、如圖點(diǎn)Ａ、C、E在同一直線上,△AＢC和△CDＥ都是等邊三角形，M、Ｎ分別是AD、ＢE的中點(diǎn)。說明:△CMN是等邊三角形。８、已知等邊△ＡBC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊ＡB、AC、BC的距離分別是h1,h2,ｈ3,△AＢC的高為h,若點(diǎn)P在一邊ＢＣ上（圖1）,此時(shí)ｈ3＝0,可得結(jié)論h１＋h2+ｈ3=h,請(qǐng)你探索以下問題：當(dāng)點(diǎn)P在△ＡBC內(nèi)(圖2)和點(diǎn)P在△ABC外（圖3)這兩種情況時(shí),ｈ1、h2、ｈ3與h之間有如何的關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并簡要說明理由．（五)、等腰直角三角形的幾個(gè)基本應(yīng)用9、在△ABC中,∠ACB＝90°，ＡＣ=BC，直線MN通過點(diǎn)Ｃ,且AD⊥MN于D，BE⊥M于E。(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí),說明△ADC≌△ＣEB的理由；(２)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí),說明DE=AＤ－BE的理由;ABCDEMN圖2ABCDMN圖3ABCDEMN圖2ABCDMN圖3AABCDEMN圖1１0、如圖，在直角△ABＣ中，∠C＝90,ＡＣ=BC,D，E分別在BC和AC上，且BＤ=CE，M是ＡB的中點(diǎn)。求證：△MDＥ是等腰直角三角形。（六)、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程1１、觀測(cè)下面表格中所給出的三個(gè)數(shù)ａ，b,ｃ，其中a，ｂ，ｃ為正整數(shù)，且a<b＜c(1):試找出他們的共同點(diǎn),并證明你的結(jié)論，３,4,53+4=55,12,135+１2=137，2４,257+24=２5９,40,４１9＋４0=4１……..……21,b,c21＋b=c（２）:當(dāng)a=２1時(shí),求b，c的值12、如圖,Ｐ是等邊三角形ＡＢC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)ＰA、PＢ、PＣ，以ＢP為邊作∠PBQ＝60°,且BQ=BP，連結(jié)ＣQ。(1)觀測(cè)并猜想AP與CＱ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(２）若PＡ:ＰＢ:PC=３：4:５,連結(jié)PQ,試判斷△PＱC的形狀,并說明理由.ABCD13、等腰三角形底邊上的高為8ABCD分析：對(duì)于沒有圖形的大題(指需要過程的題目),最佳自己畫圖，與人方便,與己方便。解：設(shè)這個(gè)等腰三角形為AＢＣ，高為AＤ,設(shè)BＤ為x,則AB為(1６-x）,由勾股定理得：ｘ2+８２=(1６－ｘ）2即x2＋6４=２5６-32x+x2∴ｘ=6∴S?ABC=ＢC?AD/2＝2?6?８/2＝4814、矩形紙片AＢCD的邊AＢ=10ｃm,ＢＣ=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊,點(diǎn)B恰好落在DC邊上的點(diǎn)G處,求BE的長。EEGCDBA（七）、需要分類討論的(重要是由語言的模糊導(dǎo)致要討論）有一個(gè)角等于5０°，另一個(gè)角等于__________的三角形是等腰三角形。有一個(gè)直角三角形的兩條直角邊為3,４，則第三條邊長為＿_(dá)________如圖,等腰三角形ＡBC中,AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長提成15和６兩部分,求這個(gè)三角形的腰長及底邊長。(八）作圖題如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD，并且使點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，并說明你的理由.作圖題的基本規(guī)定：結(jié)論不能丟。格式:什么什么即為所求?！究键c(diǎn)精練】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練１.如圖1,在△ＡBC中，ＡB=AC，∠Ａ=5０°,ＢＤ為∠ABC的平分線,則∠ＢDＣ＝___＿_(dá)°.(1)（2)（3)2．如圖2，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形,若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是____＿_(dá)_．3．如圖3，一個(gè)頂角為４0°的等腰三角形紙片,剪去頂角后,得到一個(gè)四邊形，則∠１+∠2=__＿_(dá)____度.4.如圖4，在等腰直角△ABC中，∠Ｂ＝90°，將△AＢC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)6０°后得到△AB′C′,則∠BＡC′等于___＿＿_(dá)__．(4）(５）5．如圖5,沿AC方向開山修渠,為了加快施工進(jìn)度,要在小山的另一邊同時(shí)施工．從ＡC上的一點(diǎn)B取∠ABＤ=135°，BD=52０米，∠Ｄ=45°，假如要使Ａ、C、E成一直線,那么開挖點(diǎn)E離Ｄ的距離約為＿_(dá)＿＿_(dá)_＿米（精確到1米)．６．等腰△ABC的底邊ＢC=8cm，腰長ＡB=5ｃm,一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PＡ與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為＿_(dá)______．７.如圖7，在△ＡＢＣ中，AＢ=AC,∠BAD=2０°,且AE=AD，則∠CＤE=＿＿_(dá)_____.（７)（８)（9）8.如圖8，在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠Ａ＝４4°，CD⊥ＡＢ于D,則∠ＤCB等于()A．４４°B．68°C．46°D．２2°９.如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿,使拉線和地面成60°角,若考慮既要符合設(shè)計(jì)規(guī)定,又要節(jié)省材料，則在庫存的Ｌ1=5．2m,L２=6.2ｍ,Ｌ3=7.8ｍ，L4=1０m的四種備用拉線材料中,拉線AC最佳選用(）A．L1B．L2C.L3Ｄ.L４１0．如圖10，在△ABＣ中，ＡB=AＣ，D為AＣ邊上一點(diǎn)，且BD=BC=ＡD．則∠Ａ等于（)A．3０°B．3６°Ｃ．4５°D．７2°（1０）(11)１1．同學(xué)們都玩過蹺蹺板的游戲.如圖１1所示,是一蹺蹺板的示意圖,立柱OＣ與地面垂直，OA=OB.當(dāng)蹺蹺板的一頭Ａ著地時(shí),∠ＯAC=25°，則當(dāng)蹺蹺板的另一頭B著地時(shí),∠AOA′等于()A．25°B．50°Ｃ.6０°D．1３0°1２、直角三角形的兩條直角邊長為a,ｂ,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是（)A．a(chǎn)b＝ｈ2B．a(chǎn)+ｂ＝2hC.+=D．+＝如圖所示,在△ABC中，ＡＢ=6,AC=9，AD⊥BC于點(diǎn)D，M為AＤ上任一點(diǎn),則ＭＣ2-MB2等于二、能力提高13．如圖,已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15ｃm兩部分，求它的底邊長.14．（計(jì)算型說理題）已知如圖△ABC是等邊三角形,BD是AC邊上的高,延長ＢC到Ｅ使CE=CD.試判斷ＤB與ＤE之間的大小關(guān)系，并說明理由。１5.如圖，△ABＣ中，D、Ｅ分別是ＡＣ、ＡＢ上的點(diǎn)，ＢD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件:①∠EBＯ=∠DＣO;②∠BEO=∠ＣDO；③BE=ＣD．（1)上述三個(gè)條件中,哪兩個(gè)條件可鑒定△ＡBC是等腰三角形(用序號(hào)寫出所有情形）；

(2）選擇第(1）小題中的一種情況,證明△ABＣ是等腰三角形.三、應(yīng)用與探究16．如圖,△ＡBC是等邊三角形,點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點(diǎn).（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論．（2)若△ＤEF是等邊三角形，問ＡD＝ＢE=CＦ成立嗎？試證明你的結(jié)論．直角三角形?1）直角三角形的定義:有一個(gè)角為90°的三角形,叫做直角三角形。

直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)。又叫Rt三角形。?2)直角三角形的性質(zhì):

（１）直角三角形兩個(gè)銳角互余;?（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;?(3)在直角三角形中,3０度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半;且三邊比為１比根號(hào)3比2;

（4）在直角三角形中,假如有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°;

（５）在直角三角形中,兩條直角邊a、ｂ的平方和等于斜邊c的平方,即a＾2+b^2=c^２(勾股定理);

（6）直角三角形斜邊上的高h(yuǎn)等于該直角三角形外接圓半徑斜邊上的中線等于該直角三角形內(nèi)切圓半徑.?(7)直角三角形的垂直平分線交于斜邊的中點(diǎn)。

（8）直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。?３)直角三角形的鑒定：

(1）有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形；?(2)一個(gè)三角形,假如這個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形；?（３）若a^２+b＾2=c^2,則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊直角三角形(勾股定理的逆定理）；?（4)若三角形3０°內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半,那么這個(gè)三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形;

(5)兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形.?4)直角三角形角的性質(zhì)?若直角三角形ABC中∠Ｃ=9０°,則

sｉnA=cｏsＢ，sinB=cｏsA,sｉnA=coｓ(90°－Ａ)＝ｓin(1８0°-A）

cosA=sin（9０°-A)=-coｓ（1８０°-A）?tanA=-ｔaｎ（1８0°－A)?對(duì)于特殊角３０°，45°，60°,15°，75°，9０°

sin30°＝coｓ60°＝1／2

sin45°=cos4５°=√2／2

ｓin６0°=ｃos30°=√３/2

sin75°＝cos15°=（根號(hào)6＋根號(hào)２）/4coｓ75°＝ｓｉn１5°=（根號(hào)6-根號(hào)2)/4

ｔan７５°=２+根號(hào)3ｔan15°=2-根號(hào)３?sin90°=１coｓ90°=0tan90°=無限大

等腰三角形

1)等腰三角形的定義：

有兩邊相等的三角形是等腰三角形?2)等腰三角形的性質(zhì)：?1．等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（簡寫成“等邊對(duì)等角”）?2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合(簡寫成“三線合一”)?3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等,兩條腰上的高相等）

4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5．等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半?6等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）

７等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸?3）．等腰三角形的鑒定:

有兩條邊相等的三角形是等腰三角形

有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡稱:等角對(duì)等邊）

在一個(gè)三角形中,一邊上的高線與此邊上的中線,及此邊對(duì)角角平分線中任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。

?等邊三角形

等邊三角形也稱正三角形。

1）等邊三角形的定義:?有三邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。

2)等邊三角形的性質(zhì):(具有等腰三角形的所有性質(zhì),結(jié)合定義更特殊)

1等邊三角形的內(nèi)角都相等,且為60度

2等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對(duì)角的平分線互相重合(三線合一）?3等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是每條邊上的中線、高線或所對(duì)角的平分線所在直線?3)等邊三角形的鑒定：(一方面考慮判斷三角形是等腰三角形)?（１）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）?（２）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形,且每個(gè)角都為６0°

(３)有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形?等腰直角三角形定義

等腰直角三角形是一種特殊的三角形,具有所有三角形的性質(zhì):穩(wěn)定性,兩直角邊相等直角邊夾亦直角銳角４５,斜邊上中線角平分線垂線三線合一,等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑(由于等腰直角三角形的兩個(gè)小角均為45度，高又垂直于斜邊,所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形,則兩腰相等)；那么設(shè)內(nèi)切圓的半徑r為1，則外接圓的半徑R就為(根號(hào)2加1）,所以r:Ｒ=1：(根號(hào)2加1）。?關(guān)系?等腰直角三角形的邊角之間的關(guān)系:?(１）三角形三內(nèi)角和等于180°；?（２）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和;?（3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角;

(4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;?（5）在同一個(gè)三角形內(nèi),大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊．

等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線,中線，高，中位線.

（1）三角形的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,它是三角形內(nèi)切圓的圓心,它到各邊的距離相等．（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等).

（2）三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心,它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。

（3）三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。?（4)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。

注意?、偃切蔚膬?nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部

.②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。?③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。?(直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn)。）④銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。

黃金三角形1、名稱定義?所謂黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值；相應(yīng)的尚有:黃金矩形等。

2、黃金三角形的分類

黃金三角形分兩種:一種是等腰三角形，兩個(gè)底角為7２°，頂角為36°；這種三角形既美觀又標(biāo)準(zhǔn)。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：(√5-1）/2.另一種也是等腰三角形，兩個(gè)底角為3６°，頂角為1０8°;這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比:(√5－1）/2?3、黃金三角形的特性?黃金三角形是一個(gè)等腰三角形,它的頂角為３6°,每個(gè)底角為72°.它的腰與它的底成黃金比.當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí),角平分線分對(duì)邊也成黃金比，并形成兩個(gè)較小的等腰三角形．這兩三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于產(chǎn)生螺旋形曲線.?黃金三