2023年浙教版八年級上冊數(shù)學特殊三角形全部知識點考點及練習

浙教版數(shù)學八年級上冊第二章《特殊三角形》復習一、知識結(jié)構(gòu)本章重要學習了等腰三角形的性質(zhì)與鑒定、直角三角形的性質(zhì)與鑒定以及勾股定理、HＬ定理等知識，這些知識點之間的結(jié)構(gòu)如下圖所示：二、重點回顧1．等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形兩腰____＿＿＿;等腰三角形兩底角_＿___＿(即在同一個三角形中,等邊對＿____）；等腰三角形三線合一，這三線是指__＿_____＿_______、__＿___________＿_、＿＿＿_＿_＿_＿_＿____＿，也就是說一條線段充當三種身份；等腰三角形是________圖形，它的對稱軸有_____＿＿＿_條。２．等腰三角形的鑒定：有__＿_邊相等的三角形是等腰三角形；有_＿＿__相等的三角形是等腰三角形(即在同一個三角形中,等角對___＿_）。注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對嗎？3．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形各條邊_____＿，各內(nèi)角__＿＿__＿,且都等于__＿__；等邊三角形是＿＿____圖形,它有＿＿__條對稱軸。4．等邊三角形的鑒定：有____邊相等的三角形是等邊三角形;有三個角都是＿_____的三角形是等邊三角形；有兩個角都是_＿____的三角形是等邊三角形;有一個角是_＿_＿__的＿___＿_三角形是等邊三角形。5．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角＿＿_____;直角三角形斜邊上的中線等于_＿___＿_;直角三角形兩直角邊的平方和等于_＿______(即勾股定理)。30°角所對的直角邊等于斜邊的_＿__＿＿__6．直角三角形的鑒定：有一個角是___＿_＿的三角形是直角三角形；有兩個角_＿___＿＿的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于＿____＿_的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長度的一半,那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形,但有助于解題。7．直角三角形全等的鑒定:斜邊和＿＿＿＿_＿_____相應相等的兩個直角三角形全等。8．角平分線的性質(zhì):在角內(nèi)部到角兩邊_______＿_＿＿在這個角的平分線上。三、重點解讀1．學習特殊三角形，應重點分清性質(zhì)與鑒定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言,根據(jù)邊角關系判斷一個圖形形狀通常用的是鑒定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關系那就是性質(zhì);2．等腰三角形的腰是在已知一個三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在鑒定一個三角形是等腰三角形時千萬不能將理由說成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”;3.直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關系,并且它也是此后研究直角三角形問題較為常用的輔助線，純熟掌握可認為解題帶來不少方便;４.勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關系，解題時應注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊,不要一看到字母“”就認定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認為另一邊一定是５；5．“HL”是僅合用于鑒定直角三角形全等的特殊方法,只有在已知兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效,當然，以前學過的“ＳSＳ”、“SAＳ”、“ASＡ”、“AAＳ”等鑒定一般三角形全等的方法對于直角三角形全等的鑒定同樣有效。牢記!！!兩邊及其中一邊的對角相應相等的兩個三角形不一定全等,也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時千萬不要這樣做。本章解題時用到的重要數(shù)學思想方法:⑴分類討論思想(特別是在語言模糊的等腰三角形中）(留意后面的例題)⑵方程思想:重要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時，運用勾股定理列方程；尚有就是在等腰三角形中求角度，求邊長(留意后面的例題)⑶等面積法四、典型例題（一)、角平分線+平行線1、在△ＡBC中,三內(nèi)角互不相等,ＢO平分∠ABC，ＣO平分∠AＣB。過O點作EF，使ＥＦ∥BＣ。（1)圖中有幾個等腰三角形？（2）猜測線段BE、CF、EＦ有什么數(shù)量關系，并說明理由。2、在△ABC中，∠ＡＢC=∠AＣB,BO平分∠ＡBＣ,ＣＯ平分∠AＣB,過O點作EF，使EF∥ＢC,且∠EBO＝30°。若BＥ=5，△ＡBＣ的周長為_＿_＿_＿＿__。（二）、角平分線+垂線3、如圖：ＡＢ=AC,∠1＝∠２，ＡE⊥CＤ于F交ＢC于點E,求證:AＢ=CE。4、如圖，△ABＣ是等腰直角三角形，其中∠A=90°，ＢＤ平分∠ABC交AC于點D，ＣE⊥BD交BD的延長線于點E，求證:ＢD=2CE(三)、直角三角形的一個銳角平分線+斜邊上的高線F5、如圖,在△ＡBC中，∠ＡＣB＝９0°，AE平分∠CAB,CD⊥AＢ于D，它們交于點Ｆ，△CFＥ是等腰三角形嗎？試說明理由.F（四)、等邊三角形的幾個基本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=ＣE,連接AD、BE交于點F?！希罠Ｅ=_________。7、如圖點Ａ、C、E在同一直線上,△AＢC和△CDＥ都是等邊三角形，M、Ｎ分別是AD、ＢE的中點。說明:△CMN是等邊三角形。８、已知等邊△ＡBC和點P,設點P到△ABC三邊ＡB、AC、BC的距離分別是h1,h2,ｈ3,△AＢC的高為h,若點P在一邊ＢＣ上（圖1）,此時ｈ3＝0,可得結(jié)論h１＋h2+ｈ3=h,請你探索以下問題：當點P在△ＡBC內(nèi)(圖2)和點P在△ABC外（圖3)這兩種情況時,ｈ1、h2、ｈ3與h之間有如何的關系，請寫出你的猜想，并簡要說明理由．（五)、等腰直角三角形的幾個基本應用9、在△ABC中,∠ACB＝90°，ＡＣ=BC，直線MN通過點Ｃ,且AD⊥MN于D，BE⊥M于E。(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時,說明△ADC≌△ＣEB的理由；(２)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時,說明DE=AＤ－BE的理由;ABCDEMN圖2ABCDMN圖3ABCDEMN圖2ABCDMN圖3AABCDEMN圖1１0、如圖，在直角△ABＣ中，∠C＝90,ＡＣ=BC,D，E分別在BC和AC上，且BＤ=CE，M是ＡB的中點。求證：△MDＥ是等腰直角三角形。（六)、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程1１、觀測下面表格中所給出的三個數(shù)ａ，b,ｃ，其中a，ｂ，ｃ為正整數(shù)，且a<b＜c(1):試找出他們的共同點,并證明你的結(jié)論，３,4,53+4=55,12,135+１2=137，2４,257+24=２5９,40,４１9＋４0=4１……..……21,b,c21＋b=c（２）:當a=２1時,求b，c的值12、如圖,Ｐ是等邊三角形ＡＢC內(nèi)的一點，連結(jié)ＰA、PＢ、PＣ，以ＢP為邊作∠PBQ＝60°,且BQ=BP，連結(jié)ＣQ。(1)觀測并猜想AP與CＱ之間的大小關系，并證明你的結(jié)論.(２）若PＡ:ＰＢ:PC=３：4:５,連結(jié)PQ,試判斷△PＱC的形狀,并說明理由.ABCD13、等腰三角形底邊上的高為8ABCD分析：對于沒有圖形的大題(指需要過程的題目),最佳自己畫圖，與人方便,與己方便。解：設這個等腰三角形為AＢＣ，高為AＤ,設BＤ為x,則AB為(1６-x）,由勾股定理得：ｘ2+８２=(1６－ｘ）2即x2＋6４=２5６-32x+x2∴ｘ=6∴S?ABC=ＢC?AD/2＝2?6?８/2＝4814、矩形紙片AＢCD的邊AＢ=10ｃm,ＢＣ=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊,點B恰好落在DC邊上的點G處,求BE的長。EEGCDBA（七）、需要分類討論的(重要是由語言的模糊導致要討論）有一個角等于5０°，另一個角等于__________的三角形是等腰三角形。有一個直角三角形的兩條直角邊為3,４，則第三條邊長為＿_________如圖,等腰三角形ＡBC中,AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長提成15和６兩部分,求這個三角形的腰長及底邊長。(八）作圖題如圖,求作一點P,使PC=PD，并且使點P到∠AOB兩邊的距離相等，并說明你的理由.作圖題的基本規(guī)定：結(jié)論不能丟。格式:什么什么即為所求?！究键c精練】一、基礎訓練１.如圖1,在△ＡBC中，ＡB=AC，∠Ａ=5０°,ＢＤ為∠ABC的平分線,則∠ＢDＣ＝___＿_°.(1)（2)（3)2．如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形,若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是____＿__．3．如圖3，一個頂角為４0°的等腰三角形紙片,剪去頂角后,得到一個四邊形，則∠１+∠2=__＿_____度.4.如圖4，在等腰直角△ABC中，∠Ｂ＝90°，將△AＢC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)6０°后得到△AB′C′,則∠BＡC′等于___＿＿___．(4）(５）5．如圖5,沿AC方向開山修渠,為了加快施工進度,要在小山的另一邊同時施工．從ＡC上的一點B取∠ABＤ=135°，BD=52０米，∠Ｄ=45°，假如要使Ａ、C、E成一直線,那么開挖點E離Ｄ的距離約為＿_＿＿__＿米（精確到1米)．６．等腰△ABC的底邊ＢC=8cm，腰長ＡB=5ｃm,一動點P在底邊上從點B開始向點C以0.25cm/秒的速度運動,當點P運動到PＡ與腰垂直的位置時，點P運動的時間應為＿_______．７.如圖7，在△ＡＢＣ中，AＢ=AC,∠BAD=2０°,且AE=AD，則∠CＤE=＿＿______.（７)（８)（9）8.如圖8，在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠Ａ＝４4°，CD⊥ＡＢ于D,則∠ＤCB等于()A．４４°B．68°C．46°D．２2°９.如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿,使拉線和地面成60°角,若考慮既要符合設計規(guī)定,又要節(jié)省材料，則在庫存的Ｌ1=5．2m,L２=6.2ｍ,Ｌ3=7.8ｍ，L4=1０m的四種備用拉線材料中,拉線AC最佳選用(）A．L1B．L2C.L3Ｄ.L４１0．如圖10，在△ABＣ中，ＡB=AＣ，D為AＣ邊上一點，且BD=BC=ＡD．則∠Ａ等于（)A．3０°B．3６°Ｃ．4５°D．７2°（1０）(11)１1．同學們都玩過蹺蹺板的游戲.如圖１1所示,是一蹺蹺板的示意圖,立柱OＣ與地面垂直，OA=OB.當蹺蹺板的一頭Ａ著地時,∠ＯAC=25°，則當蹺蹺板的另一頭B著地時,∠AOA′等于()A．25°B．50°Ｃ.6０°D．1３0°1２、直角三角形的兩條直角邊長為a,ｂ,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是（)A．a(chǎn)b＝ｈ2B．a(chǎn)+ｂ＝2hC.+=D．+＝如圖所示,在△ABC中，ＡＢ=6,AC=9，AD⊥BC于點D，M為AＤ上任一點,則ＭＣ2-MB2等于二、能力提高13．如圖,已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15ｃm兩部分，求它的底邊長.14．（計算型說理題）已知如圖△ABC是等邊三角形,BD是AC邊上的高,延長ＢC到Ｅ使CE=CD.試判斷ＤB與ＤE之間的大小關系，并說明理由。１5.如圖，△ABＣ中，D、Ｅ分別是ＡＣ、ＡＢ上的點，ＢD與CE交于點O，給出下列三個條件:①∠EBＯ=∠DＣO;②∠BEO=∠ＣDO；③BE=ＣD．（1)上述三個條件中,哪兩個條件可鑒定△ＡBC是等腰三角形(用序號寫出所有情形）；

(2）選擇第(1）小題中的一種情況,證明△ABＣ是等腰三角形.三、應用與探究16．如圖,△ＡBC是等邊三角形,點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點.（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論．（2)若△ＤEF是等邊三角形，問ＡD＝ＢE=CＦ成立嗎？試證明你的結(jié)論．直角三角形?1）直角三角形的定義:有一個角為90°的三角形,叫做直角三角形。

直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)。又叫Rt三角形。?2)直角三角形的性質(zhì):

（１）直角三角形兩個銳角互余;?（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;?(3)在直角三角形中,3０度角所對的直角邊是斜邊的一半;且三邊比為１比根號3比2;

（4）在直角三角形中,假如有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于30°;

（５）在直角三角形中,兩條直角邊a、ｂ的平方和等于斜邊c的平方,即a＾2+b^2=c^２(勾股定理);

（6）直角三角形斜邊上的高h等于該直角三角形外接圓半徑斜邊上的中線等于該直角三角形內(nèi)切圓半徑.?(7)直角三角形的垂直平分線交于斜邊的中點。

（8）直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。?３)直角三角形的鑒定：

(1）有一個角為90°的三角形是直角三角形；?(2)一個三角形,假如這個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形；?（３）若a^２+b＾2=c^2,則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊直角三角形(勾股定理的逆定理）；?（4)若三角形3０°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半,那么這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形;

(5)兩個銳角互余的三角形是直角三角形.?4)直角三角形角的性質(zhì)?若直角三角形ABC中∠Ｃ=9０°,則

sｉnA=cｏsＢ，sinB=cｏsA,sｉnA=coｓ(90°－Ａ)＝ｓin(1８0°-A）

cosA=sin（9０°-A)=-coｓ（1８０°-A）?tanA=-ｔaｎ（1８0°－A)?對于特殊角３０°，45°，60°,15°，75°，9０°

sin30°＝coｓ60°＝1／2

sin45°=cos4５°=√2／2

ｓin６0°=ｃos30°=√３/2

sin75°＝cos15°=（根號6＋根號２）/4coｓ75°＝ｓｉn１5°=（根號6-根號2)/4

ｔan７５°=２+根號3ｔan15°=2-根號３?sin90°=１coｓ90°=0tan90°=無限大

等腰三角形

1)等腰三角形的定義：

有兩邊相等的三角形是等腰三角形?2)等腰三角形的性質(zhì)：?1．等腰三角形的兩個底角相等。（簡寫成“等邊對等角”）?2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合(簡寫成“三線合一”)?3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等,兩條腰上的高相等）

4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5．等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半?6等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）

７等腰三角形是軸對稱圖形,頂角平分線所在的直線是它的對稱軸?3）．等腰三角形的鑒定:

有兩條邊相等的三角形是等腰三角形

有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱:等角對等邊）

在一個三角形中,一邊上的高線與此邊上的中線,及此邊對角角平分線中任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。

?等邊三角形

等邊三角形也稱正三角形。

1）等邊三角形的定義:?有三邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。

2)等邊三角形的性質(zhì):(具有等腰三角形的所有性質(zhì),結(jié)合定義更特殊)

1等邊三角形的內(nèi)角都相等,且為60度

2等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合(三線合一）?3等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線?3)等邊三角形的鑒定：(一方面考慮判斷三角形是等腰三角形)?（１）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）?（２）三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形,且每個角都為６0°

(３)有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形?等腰直角三角形定義

等腰直角三角形是一種特殊的三角形,具有所有三角形的性質(zhì):穩(wěn)定性,兩直角邊相等直角邊夾亦直角銳角４５,斜邊上中線角平分線垂線三線合一,等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑(由于等腰直角三角形的兩個小角均為45度，高又垂直于斜邊,所以兩個小三角形均為等腰直角三角形,則兩腰相等)；那么設內(nèi)切圓的半徑r為1，則外接圓的半徑R就為(根號2加1）,所以r:Ｒ=1：(根號2加1）。?關系?等腰直角三角形的邊角之間的關系:?(１）三角形三內(nèi)角和等于180°；?（２）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和;?（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角;

(4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;?（5）在同一個三角形內(nèi),大邊對大角，大角對大邊．

等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線,中線，高，中位線.

（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心,它是三角形內(nèi)切圓的圓心,它到各邊的距離相等．（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等).

（2）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心,它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍。

（3）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。?（4)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。

注意！①三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部

.②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。?③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。?(直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點。）④銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。

黃金三角形1、名稱定義?所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值；相應的尚有:黃金矩形等。

2、黃金三角形的分類

黃金三角形分兩種:一種是等腰三角形，兩個底角為7２°，頂角為36°；這種三角形既美觀又標準。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：(√5-1）/2.另一種也是等腰三角形，兩個底角為3６°，頂角為1０8°;這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比:(√5－1）/2?3、黃金三角形的特性?黃金三角形是一個等腰三角形,它的頂角為３6°,每個底角為72°.它的腰與它的底成黃金比.當?shù)捉潜黄椒謺r,角平分線分對邊也成黃金比，并形成兩個較小的等腰三角形．這兩三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于產(chǎn)生螺旋形曲線.?黃金三