廣東省湛江市洋青中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣東省湛江市洋青中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知變量滿足，目標(biāo)函數(shù)是，則有(

)A．

B．C．

D．參考答案：D2.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱線長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．異面直線AE，BF所成的角為定值參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】利用證線面垂直，可證AC⊥BE；判斷A正確；根據(jù)正方體中上下面平行，由面面平行的性質(zhì)可證，線面平行，從而判斷B正確；根據(jù)三棱錐的底面面積與EF的位置無(wú)關(guān)，高也與EF的位置無(wú)關(guān)，可判斷C正確；例舉兩個(gè)特除位置的異面直線所成的角的大小，根據(jù)大小不同判斷D錯(cuò)誤．【解答】解：∵在正方體中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE?平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正確；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正確；∵EF=，∴△BEF的面積為定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO為棱錐A﹣BEF的高，∴三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故C正確；∵利用圖形設(shè)異面直線所成的角為α，當(dāng)E與D1重合時(shí)sinα=，α=30°；當(dāng)F與B1重合時(shí)tanα=，∴異面直線AE、BF所成的角不是定值，故D錯(cuò)誤；故選D．3.下列流程圖的基本符號(hào)中，表示判斷的是（

）參考答案：D4.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則此直線平行于平面內(nèi)的所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”．結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋?/p>

）

A．大前提錯(cuò)誤

B．推理形式錯(cuò)誤

C．小前提錯(cuò)誤

D．非以上錯(cuò)誤

參考答案：A略5.△ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC為(

)A．直角三角形

B．鈍三角形

C．銳角三角形

D．銳角或直角三角形參考答案：A略6.已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，若△MNF2為等腰直角三角形，則該橢圓的離心率e為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】把x=﹣c代入橢圓，解得y=±．由于△MNF2為等腰直角三角形，可得=2c，由離心率公式化簡(jiǎn)整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入橢圓方程，解得y=±，∵△MNF2為等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化為e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)：離心率、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.已知函數(shù)，則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，，，則當(dāng)時(shí)，（

）A.有極大值，無(wú)極小值 B.無(wú)極大值，有極小值C.既有極大值又有極小值 D.既無(wú)極大值又無(wú)極小值參考答案：B【分析】由題設(shè)，結(jié)合條件可得存在使得，再由，可得在上單調(diào)遞增，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得原函數(shù)的極值情況.【詳解】由題設(shè)，所以，，所以存在使得，又，所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，取極小值，但無(wú)極大值，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：研究函數(shù)的極值，但函數(shù)一次求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性不明確時(shí)，仍可以繼續(xù)求導(dǎo)，即二次求導(dǎo)，屬于常見(jiàn)的處理方式，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，屬于難題.9.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論不正確的是：

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知，分別在軸和軸上滑動(dòng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，

則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是

A.

B.

C.D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為

；參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的定義；雙曲線的離心率；余弦定理.【答案解析】解析：解：由定義知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時(shí)，解得．即的最大值為．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】由雙曲線的定義結(jié)合可求出，然后借助余弦定理即可求出的最大值.12.已知直線x+y﹣2=0與圓x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=120°，則r=

．參考答案：2【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由已知得圓心O（0，0）到直線x+﹣2=0的距離d等于半徑r的一半，由此能求出半徑r．【解答】解：∵直線x+y﹣2=0與圓x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=120°，∴圓心O（0，0）到直線x+﹣2=0的距離d等于半徑r的一半，即d=，解得r=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．13.指出三段論“自然數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)（大前提），是自然數(shù)（小前提），所以不是最大的數(shù)（結(jié)論）”中的錯(cuò)誤是____。參考答案：小前提錯(cuò)誤【分析】在使用三段論推理證明中，如果命題是錯(cuò)誤的，則可能是“大前提”錯(cuò)誤，也可能是“小前提”錯(cuò)誤，也可能是推理形式錯(cuò)誤，分析三段論不難得到結(jié)論．【詳解】大前提是：“自然數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)”，是真命題，小前提是：“是自然數(shù)”，不是真命題，故本題的小前提錯(cuò)誤，故答案為：小前提錯(cuò)誤【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是演繹推理的基本方法，演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系．因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．14.在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，由這4個(gè)頂點(diǎn)可能構(gòu)成如下幾何體：①有三個(gè)面為全等的等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；②每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；③每個(gè)面都是直角三角形的四面體④有三個(gè)面為不全等的直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體．以上結(jié)論其中正確的是

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．參考答案：①②③④考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：找出正方體中的四面體的各種圖形，例如正四面體，即可判斷①②的正誤；側(cè)棱垂直底面直角三角形的銳角，四面體即可判斷③的正誤；畫(huà)出圖形如圖即可判斷④的正誤，推出選項(xiàng)．解答： 解：在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，由這4個(gè)頂點(diǎn)可能構(gòu)成如下幾何體：①有三個(gè)面為全等的等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體，去掉4個(gè)角的正四面體即可，正確；②每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，去掉4個(gè)角的正四面體即可，正確；③每個(gè)面都是直角三角形的四面體，側(cè)棱垂直底面直角三角形的銳角，四面體即可，正確；④有三個(gè)面為不全等的直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體．如圖中ABCD即可，正確．故答案為：①②③④點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．15.已知在△ABC中，三角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其滿足（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA），AF=2FC，則的取值范圍為．參考答案：（2，+∞）【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知可求b=3a，結(jié)合AF=2FC，可得CF=a，AF=2a，由余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得：=，結(jié)合范圍0，即可計(jì)算得解．【解答】解：∵（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA），∴sinAcosC﹣3sinBcosC=3sinCcosB﹣sinCcosA，∴sin（A+C）=3sin（B+C），∴sinB=3sinA，可得：b=3a，∵如右圖所示，AF=2FC，∴CF=a，AF=2a，∴則由余弦定理可得：=====，∵0＜C＜π，0，∈（1，+∞），∴=∈（2，+∞）．故答案為：（2，+∞）．16.已知集合，,，則=

▲

．參考答案：17.動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知復(fù)數(shù)．（Ⅰ）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）若z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求實(shí)數(shù)a的值．參考答案：(Ⅰ)若z為純虛數(shù)，則，且，解得實(shí)數(shù)a的值為2；(Ⅱ)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在直線上，則，解得．19.（本題滿分12分）設(shè)命題p：;命題q:,若是的必要不充分條件，（1）p是q的什么條件？（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（1）因?yàn)椹磒是┐q的必要而不充分條件，其逆否命題是：q是p的必要不充分條件，即p是q的充分不必要條件；（2）∵|4x-3|≤1，∴．

解，得a≤x≤a+1．因?yàn)椹磒是┐q的必要而不充分條件，所以q是p的必要不充分條件，即由命題p成立能推出命題q成立，但由命題q成立不推出命p成立．∴．∴a≤

且a+1≥1，得0≤a≤．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[0，

]．

20.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；LY：平面與平面垂直的判定；MN：向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系；MR：用空間向量求平面間的夾角．【分析】首先根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz；（Ⅰ）根據(jù)坐標(biāo)系，求出、、的坐標(biāo)，由向量積的運(yùn)算易得?=0，?=0；進(jìn)而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（Ⅱ）依題意結(jié)合坐標(biāo)系，可得B、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量，進(jìn)而求出cos＜，＞，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，可得答案．【解答】解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz；（Ⅰ）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以?=0，?=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依題意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；設(shè)=（x，y，z）是平面的PBC法向量，則即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；設(shè)是平面PBQ的法向量，則，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值為﹣．21.（本小題滿分13分）如右圖所示，拋物線與軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開(kāi)墾的土地，現(xiàn)計(jì)劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業(yè)用地，其中A、B在拋物線上，C、D在軸上.已知工業(yè)用地每單位面積價(jià)值為元，其它的三個(gè)邊角地塊每單位面積價(jià)值元.（Ⅰ）求等待開(kāi)墾土地的面積；（Ⅱ）如何確定點(diǎn)C的位置，才能使得整塊土地總價(jià)值最大.參考答案：（Ⅰ）由，

故等待開(kāi)墾土地的面積為………3分（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B其中，∴

……5分∴土地總價(jià)值＝

………………7分由得

……9分并且當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，y取得最大值.

……12分答：當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，整個(gè)地塊的總價(jià)值最大.……………13分22.（14分）.已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．（1）確定與的關(guān)系；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意，都有成立。參考答案：（1）;（2）見(jiàn)解析;（3）見(jiàn)解析（1）依題意得，則由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：∴-------------------------------------------------------------------------2分（2）由（1）得----------------------3分∵函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

∴①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，由得，由得，即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；----------------------------4分當(dāng)時(shí)，令得或，②若，即時(shí)，由得或，由得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；----------------5分③若，即時(shí)，由得或，由得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；-----------6分④若，即時(shí)，在上恒有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，------------------------------------------------------------------7分綜上得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)