2022-2023學(xué)年河南省信陽高二年級上冊學(xué)期10月鞏固測試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省信陽高級中學(xué)高二上學(xué)期10月鞏固測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知“直線的傾斜角”；“直線的斜率”，則是的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由“直線的傾斜角”，則直線的斜率或或不存在，再由集合法判斷必要不充分條件即可【詳解】“直線的傾斜角”，則直線的斜率或或不存在；又“直線的斜率”，所以是的必要不充分條件，故選：B．2．已知直線的傾斜角為，則的值是．A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：，選C.【解析】二倍角公式3．設(shè)是四面體，是的重心，G是上的一點(diǎn)，且，若，則等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連接，然后利用三角形法則以及三角形重心的性質(zhì)和中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以，故選：C．4．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4，2)，(3，1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4)【答案】C【分析】求出A(－4，2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點(diǎn)為(x，y)，可寫出BC所在直線方程，與直線y＝2x聯(lián)立，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)A(－4，2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點(diǎn)為(x，y)，則，解得∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.

聯(lián)立直線y=2x，解得，則C(2，4)．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，屬于中檔題.5．如圖所示，在三棱柱中，是等邊三角形，平面，，，，分別是，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】方法一：根據(jù)異面直線夾角的定義，延長，使，連接，分析圖形結(jié)合余弦定理可求直線與所成角的余弦值；方法二：將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，結(jié)合異面直線夾角的定義確定夾角，根據(jù)余弦定理與勾股定理可求得直線與所成角的余弦值；方法三：根據(jù)三棱柱的幾何性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，按照空間坐標(biāo)運(yùn)算求解直線與所成角的余弦值即可.【詳解】解：方法一：延長，使，連接，如圖所示．在三棱柱中，是等邊三角形，平面，，易知，．設(shè)直線與所成角為，易知，∴直線與所成角的余弦值為0．故選：D．方法二：如圖，將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，其中兩個(gè)三棱柱全等．取中點(diǎn)，連接，由棱柱性質(zhì)易知，∴為與所成角或其補(bǔ)角．連接，由題知，∴，又，∴在中由余弦定理可得∴在中，，∴∴直線與所成角的余弦值為0．故選：D．方法三：如圖，取中點(diǎn)為，連接，在三棱柱中，是等邊三角形，平面，，易得平面，則，又，為中點(diǎn)，所以，則以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．所以，則，所以∴直線與所成角的余弦值為0．故選：D．6．如圖，在邊長為2的正方形中，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，沿，，將正方形折起，使，，重合于點(diǎn)，在構(gòu)成的三棱錐中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面B．三棱錐的體積為C．直線與平面所成角的正切值為

D．平面【答案】D【分析】利用線面垂直的判定定理即可判斷A，利用體積法即可判斷B，作出三棱錐的直觀圖，作出要求的空間角即可判斷C，利用線面垂直的判定定理證明平面即可判斷D【詳解】翻折前，，，故翻折后，，，又，平面，平面，故A正確；由題意可知，三棱錐的側(cè)棱底面，則，故B正確；連接，，則為與平面所成的角，，是的中點(diǎn)，，．又，，故C正確；平面，平面，，又，平面，平面．∵與不平行，不可能與平面垂直，故D錯(cuò)誤．故選：D．二、填空題7．直線l：ax+（a+1）y+2=0的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】當(dāng)a=-1時(shí)，符合題意；當(dāng)a≠-1時(shí)，只需<0或>1即可，解不等式綜合可得．【詳解】當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當(dāng)a≠－1時(shí)，直線l的斜率為，只要>1或者<0即可，解得－1<a<－或者a<－1或者a>0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－)∪(0，＋∞)．【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，涉及解不等式和分類討論，屬基礎(chǔ)題．8．設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．【答案】5【詳解】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.9．已知曲線：．過點(diǎn)的直線被所截得的線段長度為8，則直線的方程為________．【答案】或【分析】根據(jù)直線與圓的位置，分2種情況討論：①當(dāng)直線的斜率不存在，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，每種情況下先設(shè)出直線的方程，利用直線被所截得的線段長度為8，可得關(guān)于的方程，解可得的值，綜合即可得答案．【詳解】解：圓：的圓心，半徑當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則圓心到直線的距離，此時(shí)所截得的線段的長為，所以符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即，圓心到的距離，此時(shí)所截得的線段的長為，得，解得．所以直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或．故答案為：或．10．已知直線：與圓交于，兩點(diǎn)，過，分別作的垂線與軸交于，兩點(diǎn)，若，則__________．【答案】4【分析】由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可得答案.【詳解】因?yàn)?，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識(shí)知在梯形中，．故答案為4【點(diǎn)睛】解決直線與圓的綜合問題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問題較為簡捷地得到解決．11．已知實(shí)數(shù)、、、滿足：，，，則的最大值為______．【答案】【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示，可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點(diǎn)A，B兩點(diǎn)到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值．【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B兩點(diǎn)在圓x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點(diǎn)A，B兩點(diǎn)到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設(shè)AB：x+y+t=0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d=，可得2=1，解得t=，即有兩平行線的距離為=，即+的最大值為+，故答案為+．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義，以及圓的方程和運(yùn)用，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題．12．如圖，已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB，AD，AA1的中點(diǎn)，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l//平面ABCD；②l⊥AC；③直線l與平面BCC1B1不垂直；④當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線.其中成立的結(jié)論是________.(寫出所有成立結(jié)論的序號)【答案】①②③【分析】①根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明出線線平行，進(jìn)而證明出l//平面ABCD；②結(jié)合l∥EF，EF⊥AC，故證得l⊥AC，③l∥EF∥BD，而與平面BCC1B1不垂直，故證明出結(jié)論；④得到l是過點(diǎn)M且與直線EF平行的定直線.【詳解】連接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易證PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，同理可證：l∥EF，∴l(xiāng)∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l(xiāng)⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，而與平面BCC1B1不垂直∴直線l與平面BCC1B1不垂直，故③成立；當(dāng)x變化時(shí)，l是過點(diǎn)M且與直線EF平行的定直線，故④不成立.故答案為：①②③三、解答題13．已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.14．如圖,在四棱錐中,平面平面,.（1）求證:平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn),使得平面？若存在,求的值；若不存在,說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【分析】試題分析：（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理知AB⊥平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，再由線面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，根據(jù)BM∥平面PCD，即（為平面PCD的法向量），求出的值，從而求出的值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平?所以.又因?yàn)?，所以平?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).【解析】空間線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；線面角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時(shí)可以通過平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等.15．已知直線，半徑為2的圓C與l相切，圓心在x軸上且在直線l的右上方．1求圓C的方程；2過點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)在x軸上方，問在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）見解析【分析】1設(shè)圓心（a，0），由圓心到直線的距離等于半徑列等式解得或，再根據(jù)圓心在直線l的右上方可得，從而可得圓的方程；2聯(lián)立直線與圓的方程消去y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和斜率公式列式化簡可得．【詳解】設(shè)圓C的方程為：，由得或，又圓心在在直線l的右上方，故.故所求圓C的方程為：.設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：設(shè)，，故，假設(shè)存在使得x軸平分，則即，故對任意恒成立，即恒成立，故即【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，也考查了韋達(dá)定理和斜率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．16．如圖，三棱錐的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，點(diǎn)，，，分別是，，，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)與平面所成的角為時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，再通過線面垂直證明面面垂直；（2）首先找到直線PF與平面ABC所成角，計(jì)算得到PE的長，方法一是由向量法求角，再根據(jù)角是鈍角，進(jìn)而求得角的余弦值；方法二是根據(jù)幾何法找角，再邊長求角的余弦值.【詳解】（1）證明：由題意可得，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，故，故，平面平面，交線為，故平面又在平面內(nèi)，故平面平面；（2）連結(jié)，由，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可知，再由平面平面，可知平面，連結(jié)，可知就是直線與平面所成的角，于是，法一：分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得取，則，即平面的一個(gè)法向量為