福州第三中學(xué)2023屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析_第1頁
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.72.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),連接與y軸交于點(diǎn)M,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知集合,,則中元素的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.05.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長寬高互不相等的長方體6.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙7.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.38.中,角的對(duì)邊分別為,若,,,則的面積為()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.10.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.11.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.或 B.或C. D.12.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的-一個(gè)公共點(diǎn),且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,已知,,為的中點(diǎn),為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值是_____.14.在的展開式中,的系數(shù)等于__.15.某外商計(jì)劃在個(gè)候選城市中投資個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過個(gè),則該外商不同的投資方案有____種.16.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-101三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”、“不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī),統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測(cè)試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計(jì)男生女生總計(jì)(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進(jìn)行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效,若,則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的;否則認(rèn)定教育活動(dòng)無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.18.(12分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)19.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計(jì),可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓的半徑為,設(shè),圓錐的側(cè)面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時(shí)腰的長度.20.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且平面.(1)求證:;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.22.(10分)2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:(i)得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于則只有1次:(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下:贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列.附:,若,則,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先化簡(jiǎn)的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng),然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng).令,則,∴,∴(舍)或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式問題,屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】

利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線的漸近線方程。【詳解】設(shè),,由,與相似,所以,即,又因?yàn)?,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。3、A【解析】

試題分析:由題意可得:.共軛復(fù)數(shù)為,故選A.考點(diǎn):1.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;2.以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系4、C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù),即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立與,可得,整理得,即,當(dāng)時(shí),,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷,屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形,球的三個(gè)三視圖都是相等的圓,圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓,另外兩個(gè)是全等的等腰三角形,長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.6、A【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確,則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,則甲比乙成績(jī)高,丙比乙成績(jī)低,故3人成績(jī)由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測(cè)正確,則丙預(yù)測(cè)也正確,不符合題意;若丙預(yù)測(cè)正確,則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,丙比乙的成績(jī)高,乙比甲成績(jī)高,即丙比甲,乙成績(jī)都高,即乙預(yù)測(cè)正確,不符合題意,故選A.【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先求出,由正弦定理求得,然后由面積公式計(jì)算.【詳解】由題意,.由得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積,考查正弦定理,同角間的三角函數(shù)關(guān)系,兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式,解題時(shí)要根據(jù)已知求值要求確定解題思路,確定選用公式順序,以便正確快速求解.9、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算,并計(jì)算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)椋詚的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念,計(jì)算過程要注意.10、A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點(diǎn)睛:本題易錯(cuò)選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò).11、A【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式,即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得,解得或.因此,函數(shù)的定義域?yàn)榛?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

設(shè)橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設(shè),在中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示:則點(diǎn),,,設(shè)點(diǎn),所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因?yàn)?所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.14、7【解析】

由題,得,令,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,令,得x的系數(shù).故答案為:7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.15、60【解析】試題分析:每個(gè)城市投資1個(gè)項(xiàng)目有種,有一個(gè)城市投資2個(gè)有種,投資方案共種.考點(diǎn):排列組合.16、【解析】

首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】

(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表,計(jì)算出的值,由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計(jì)算公式,計(jì)算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(III)由(II)中數(shù)據(jù),計(jì)算出,進(jìn)而求得的值,從而得出該校的安全教育活動(dòng)是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,得分在的頻率為,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為,.性別與合格情況的列聯(lián)表為:是否合格性別不合格合格小計(jì)男生女生小計(jì)即在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值為,.的分布列為:20151050所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)知:.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算,所以中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】

(Ⅰ)先求導(dǎo),得,已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,又在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,令,求得,討論得,而,故,進(jìn)而得解;(Ⅱ)可通過必要性探路,當(dāng)時(shí),由知,又由于,則,當(dāng),,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得,得,,化簡(jiǎn)得,再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)?易知單調(diào)遞增,由題意有.令,則.令得.所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增,而,,因此必存在使得,即.且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;則.綜上,的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值,屬于中檔題19、(1),(2)側(cè)面積取得最大值時(shí),等腰三角形的腰的長度為【解析】試題分析:(1)由條件,,,所以S,;(2)令,所以得,通過求導(dǎo)分析,得在時(shí)取得極大值,也是最大值.試題解析:(1)設(shè)交于點(diǎn),過作,垂足為,在中,,,在中,,所以S,(2)要使側(cè)面積最大,由(1)得:令,所以得,由得:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以在時(shí)取得極大值,也是最大值;所以當(dāng)時(shí),側(cè)面積取得最大值,此時(shí)等腰三角形的腰長答:側(cè)面積取得最大值時(shí),等腰三角形的腰的長度為.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)條件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,進(jìn)而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用

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