電路和電子技術(shù)李燕民第2章電路的暫態(tài)

第2章電路的暫態(tài)分析2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定2.2RC電路的響應(yīng)2.3RL電路的響應(yīng)2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定自然界事物的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)條件改變時(shí)，由一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)需要時(shí)間，即要有一個(gè)過渡過程。如電動(dòng)機(jī)由靜止到某一轉(zhuǎn)速下穩(wěn)定運(yùn)行，其轉(zhuǎn)速是從零逐漸上升到某一轉(zhuǎn)速的電路中也存在過渡過程。電路中的過渡過程是相對(duì)于穩(wěn)定狀態(tài)(簡(jiǎn)稱穩(wěn)態(tài))而言的。所謂穩(wěn)態(tài)是指電路中當(dāng)激勵(lì)為恒定量或按某種規(guī)律周期性變化時(shí)，電路中的響應(yīng)也是恒定量或按激勵(lì)的規(guī)律周期性變化。例如，直流電路的穩(wěn)態(tài)，其響應(yīng)(電壓或電流)是不隨時(shí)間變化的某一恒定值;而正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)，其響應(yīng)是與激勵(lì)同頻率的正弦量。電路中某一開關(guān)的閉合或打開、電源電壓(或電流)幅值或波形的變化、電路元件參數(shù)或連接方式的改變(這些統(tǒng)稱為換路)，都可能使電路中的響應(yīng)發(fā)生變化，使它們從原來的穩(wěn)定狀態(tài)變化到新的穩(wěn)定狀態(tài)。下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定從理論上講，電路暫態(tài)過程持續(xù)的時(shí)間很長(zhǎng)，而實(shí)際中暫態(tài)過程也可能很短，比如只有幾秒、甚至若干微秒或更短。但電路暫態(tài)過程所產(chǎn)生的作用和影響在某些情況下卻是不可忽視的。例如，某些電路在開關(guān)接通或斷開的瞬間會(huì)產(chǎn)生過電壓或過電流現(xiàn)象，從而使電氣設(shè)備或器件遭受損害;但在有些系統(tǒng)內(nèi)，由于電子技術(shù)和控制技術(shù)的需要，電路經(jīng)常工作在暫態(tài)過程中。因此，研究電路暫態(tài)過程的目的是認(rèn)識(shí)電路中客觀存在的這種物理現(xiàn)象，并掌握其變化規(guī)律。在實(shí)際工作中有時(shí)要允分利用電路暫態(tài)過程的特性，有時(shí)則必須預(yù)防它所產(chǎn)生的危害。只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路是用一階微分方程來描述的，故稱這種電路為一階電路。本章將主要介紹一階RC電路和RL電路在直流激勵(lì)下的暫態(tài)過程，分析響應(yīng)隨時(shí)間的變化規(guī)律，并介紹工程上使用的分析方法—三要素法。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定2.1.1電路產(chǎn)生暫態(tài)過程的原因在圖2.1所示電路中，電源電壓為US，若開關(guān)S閉合前電感無初始儲(chǔ)能，則當(dāng)S閉合后，電路中各部分電壓、電流從S閉合前的初始值逐漸變化到穩(wěn)態(tài)值。即電流i和uR分別由初始值零逐漸增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值Us/R和Us，而uL則由初始值US逐漸衰減到穩(wěn)態(tài)值零。又如圖2.2所示電路中，若電容C在開關(guān)S閉合前無初始儲(chǔ)能，則當(dāng)S閉合后，電容兩端的電壓uc也是由初始值零逐漸增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值US的。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定而在圖2.3所示電路中，當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí)，電路中各支路的電流和各個(gè)電阻兩端的電壓均由S閉合前的零值躍變到S閉合后的數(shù)值，也就是說該電路在換路時(shí)無暫態(tài)過程產(chǎn)生。為什么圖2.1和圖2.2所示電路在換路時(shí)產(chǎn)生暫態(tài)過程，而圖2.3所示電路換路時(shí)不產(chǎn)生暫態(tài)過程呢?其原因是圖2.3所示電路中無儲(chǔ)能元件，而圖2.1和圖2.2中分別有儲(chǔ)能元件電感和電容上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定再觀察圖2.4所示電路，若兩個(gè)電路在開關(guān)S閉合前均已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)開關(guān)閉合后兩電路的電壓和電流都沒有過渡狀態(tài)。其原因是兩電路中儲(chǔ)能元件電感和電容在換路前后沒有發(fā)生能量變化。由此可知，電路產(chǎn)生暫態(tài)過程的實(shí)質(zhì)是儲(chǔ)能元件的能量在換路時(shí)不能躍變。電路的換路作用是產(chǎn)生暫態(tài)過程的外因，而產(chǎn)生暫態(tài)過程的內(nèi)因則是電路中儲(chǔ)能元件在換路前后發(fā)生能量的變化綜上所述，電路產(chǎn)生暫態(tài)過程的必要條件如下:(1)電路中含有儲(chǔ)能元件

(2)電路要發(fā)生換路

(3)換路前后儲(chǔ)能元件中的儲(chǔ)能發(fā)生變化上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定2.1.2換路定律如前所述，換路時(shí)儲(chǔ)能元件的能量不能躍變，即電感元件的儲(chǔ)能和電容元件的儲(chǔ)能不能躍變，在電路中具體表現(xiàn)為換路瞬間電感的電流iL和電容的電壓uC不能躍變，這個(gè)結(jié)論稱為換路定律可以設(shè)想，如果在換路時(shí)電感的儲(chǔ)能或電容的儲(chǔ)能發(fā)生躍變，即電感的電壓,電容的電流,將為無窮大值，這就意味著電源需要提供無窮大的功率。然而，電源通常只能提供有限的功率，所以在換路時(shí)儲(chǔ)能元件的能量也就不能發(fā)生躍變上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定2.1.3暫態(tài)過程初始值的確定由于電路中的暫態(tài)過程是由換路后瞬間，即t=0+時(shí)開始，因此首先討論如何確定t=0+時(shí)電路中各部分電壓和電流的值，即暫態(tài)過程的初始值用基爾霍夫定律和換路定律，可以確定暫態(tài)過程的初始值，其步驟如下:(1)作出t=0-時(shí)的等效電路，并在此等效電路中求出iL(0-)和，uC(0-)。在作t=0-等效電路時(shí)，在直流激勵(lì)下若換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，則可將電容看作開路，而將電感看作短路上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定(2)作出t=0+時(shí)的等效電路。在畫t=0+的等效電路時(shí)，根據(jù)換路定律，若uC(0-)=0、iL(0-)=0，則將電容視為短路，而將電感視為開路;若uC(0-)≠0、、iL(0-)≠0，則將電容用電壓數(shù)值和極性都與uC(0-)相同的恒壓源代之，而電感用電流數(shù)值和方向都與iL(0-)相同的恒流源代之

(3)在t=0+的等效電路中，求出待求電壓和電流的初始值例2.1電路如圖2.5所示，t=0時(shí)將S閉合。試求開關(guān)閉合瞬間電路中各電壓、電流的初始值。已知開關(guān)閉合前電容和電感均無儲(chǔ)能。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定解由已知條件知電感和電容均無初始儲(chǔ)能，即uC(0-)=0、iL(0-)=0作t=0+的等效電路，根據(jù)換路定律，有uC(0+)=uC(0-)=0、iL(0+)=iL(0-)=0因此，在t=0+這一瞬間電容相當(dāng)于短路，電感相當(dāng)于開路，故t=0+時(shí)的等效電路如圖2.6所示在t=0+的等效電路中，可求出各電壓、電流的初始值為iL(0+)=0iC(0+)=i1(0-)=US/R1上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1換路定律與暫態(tài)過程初始值的確定因?yàn)閕L(0+)=0，所以u(píng)2(0+)=0。又因?yàn)?，uC(0+)=0，故，uL(0+)=u1(0+)=Us開關(guān)閉合后，電路中各電壓和電流的暫態(tài)過程將分別由以上初始值開始。例2.2電路如圖2.7所示。已知Is=4A,R1=R2=R4=R5=2?,R3=1?，在打開開關(guān)S以前電路已處于穩(wěn)態(tài)。若t=0時(shí)將S打開，求電容和電感的電壓、電流初始值圖2.8例2.2,t=0-時(shí)的等效電路圖2.9例2.2,t=0+時(shí)的等效電路上一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)2.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)

RC電路的零輸入響應(yīng)是指換路后電路中無電源激勵(lì)，輸入信號(hào)為零，電路中的電壓、電流由電容元件的初始值所引起，故稱這些電壓、電流為電路RC的零輸入響應(yīng)。分析RC電路的零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是分析電容通過電阻的放電過程在圖2.10(a)所示電路中，換路前，開關(guān)s合在a，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容電壓uC=U0。在t=0時(shí)將開關(guān)S合向b，換路后電容開始放電。在放電過程中，儲(chǔ)存在電容中的能量在電路中形成電流，經(jīng)過電阻逐漸將電場(chǎng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芟牡?，最終電路中的電壓、電流都將變?yōu)榱?。下面從?shù)學(xué)角度闡述RC電路的零輸入響應(yīng)。下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)圖2.10(a)所示電路換路后，在圖示電壓、電流正方向的前提下，電路的電壓平衡方程式為uR+uC=0即iR+uC=0將代入上式，得此式當(dāng)R和C都是常數(shù)時(shí)，為一階線性齊次微分方程。由高等數(shù)學(xué)知，其通解形式為uC=AeSt上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)將其代入式(2.5)，即得RCSAeSt+AeSt=0則上式齊次微分方程的特征方程為RCS+1=0特征方程的根為S=-1/RC將上式代入式(2.5)的通解，得上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)換路前，uC(0-)=U0。根據(jù)換路定律，有uC(0+)=uC(0-)=U0代入式(2.6)，可求出積分常數(shù)A=U0至此，得出電路換路后電容電壓的變化規(guī)律為由，可得電路中電流為電阻兩端的電壓為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)令τ=RC，若R的單位是?,C的單位是F，則τ的單位是s。故稱τ為電路的時(shí)間常數(shù)弓入時(shí)間常數(shù)后，uC可表示為當(dāng)t=τ時(shí)，電容電壓為也就是說，時(shí)間常數(shù)是指函數(shù)衰減到初始值的0.368時(shí)所需的時(shí)間。從理論上講，電路暫態(tài)過程只有當(dāng)t→∞時(shí)，指數(shù)函數(shù)才衰減到零，電路才到達(dá)新的穩(wěn)定狀態(tài)。但是，由于指數(shù)函數(shù)開始衰減很快，而后逐漸緩慢，如表2.1所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)時(shí)間常數(shù)的大小反映了暫態(tài)過程進(jìn)展的快慢。對(duì)RC串聯(lián)電路來說，時(shí)間常數(shù)τ=RC,顯然，τ越大，電路的暫態(tài)過程就越長(zhǎng)。這是因?yàn)楫?dāng)U0一定時(shí)，G越大，電路儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量越多;而當(dāng)R越大，電路中電荷移動(dòng)的阻力越大，放電電流越小，則單位時(shí)間內(nèi)消耗的能量越小，這些都使放電時(shí)間加長(zhǎng)。不同時(shí)間常數(shù)的RG電路隨時(shí)間變化的曲線如圖2.11所示。若RC電路中電阻、電容的數(shù)值是未知的，則可用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出電路的時(shí)間常數(shù)。具體做法是:先將電容允電到U0，然后經(jīng)RC電路放電，記下電容電壓由U0、衰減到0.368U0、所需時(shí)間，該時(shí)間即為待求RC電路的時(shí)間常數(shù)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)2.2.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

RC電路零狀態(tài)響應(yīng)是指電容元件的初始儲(chǔ)能為零，電路中的電壓、電流是由外加激勵(lì)引起的，稱這種電路為零狀態(tài)電路，其電壓、電流的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。由于零狀態(tài)響應(yīng)是在外施激勵(lì)下的響應(yīng)，故它與激勵(lì)形式有關(guān)。下面將討論在恒定直流激勵(lì)下的一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。假設(shè)圖2.12中RC電路在直流電源Us激勵(lì)下，uC(0_)=0，在t=0時(shí)開關(guān)S由b合向a由于uC(0+)=uC(0_)=0，故電路中的響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)。分析RC電路在恒定直流下的零狀態(tài)響應(yīng)，也就是分析電容的充電過程。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)在圖2.12中，根據(jù)KVL，有uR+uC=US在t=0+時(shí)，uC(0+)=0uR(0+)=US下面從數(shù)學(xué)角度進(jìn)一步研究電路中電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。將iR=uR帶入式(2.10)得上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)式(2.11)是一階線性非齊次微分方程。它的完全解由其特解(u’C)和相應(yīng)的齊次微分方程的通解(u’’C)所組成，即uC=u’C+u’’C特解u’C應(yīng)滿足而通解u’’C應(yīng)滿足上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)在圖2.12所示電路中，激勵(lì)為恒定直流電源，當(dāng)電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路里電流為零，電容相當(dāng)于開路，它兩端的電壓uc等于電源電壓Us即電容電壓的穩(wěn)態(tài)解為u’C=Us式(2.13)是一階線性齊次微分方程，與式(2.5)相同，故其通解為u’’C=AeSt由前面分析知所以上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)于是式(2.11)的完全解為積分常數(shù)A可由初始條件確定。換路時(shí)uC(0_)=0，故有uC(0-)=uC(0+)=0則在t=0時(shí)，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)至此，求得式(2.11)的完全解為當(dāng)t=τ時(shí)充電電流i為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)電阻電壓為uC、uR和i隨時(shí)間變化的曲線分別如圖2.13和圖2.14所示從以上分析可以看出，恒定直流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，只有電容兩端的電壓由初始值零按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)趨于穩(wěn)態(tài)值，而電路中其他部分的電壓、電流則要根據(jù)基爾霍夫定律具體分析。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)例2.3在圖2.15所示電路中，已知恒流源Is=10A,R=5?,C=2F,uC(0-)=0，開關(guān)S在t=0時(shí)打開。試求:(1)電路的時(shí)間常數(shù)τ;(2)電容上的電壓uC和電流iC;(3)最大允電電流;(4)畫出uC和iC隨時(shí)間變化的曲線;(5)經(jīng)過多少時(shí)間uC=43.25V?解一在圖2.15所示電路中，在t<0時(shí)恒流源被開關(guān)S短路。在t=0時(shí)，開關(guān)打開，換路后的等效電路如圖2.16(a)所示其中Us=IsR=10×5=50VR0=R=5?(1)電路的時(shí)間常數(shù)為τ=R0C=5×2=10s上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)2)由式(2.14)，可得3)最大充電電流iCmax=iC(0+)=10A4)uC和iC隨時(shí)間變化曲線如圖2.16(b)所示5)設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，uC=43.25V，代入式(2.14)，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)解二求解本例也可直接列出換路后的KCL方程式iC+iR=IS將，代入上式，得解此微分方程，即可得到相同的解答。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)2.2.3RC電路的全響應(yīng)RC電路的全響應(yīng)是指外加電源激勵(lì)和電容初始電壓均不為零時(shí)的響應(yīng)。設(shè)在圖2.17所示電路中，開關(guān)S在t=0時(shí)由b合向。前，電容電壓uC(0+)=U0,電路換路后的電壓平衡方程式與式(2.11)相同，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)其穩(wěn)態(tài)解仍然是u’C=US暫態(tài)解為電容電壓的完全解為為滿足初始條件，要求在t=0時(shí)即因此上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)故得全響應(yīng)為電路中電流為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)當(dāng)US=U1>U0時(shí)，換路后i>0，電容允電，電容電壓從U0開始按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值U1。當(dāng)US=U2<U0時(shí)，換路后i<0，說明電流的實(shí)際方向與圖2.17中i的正方向相反，電容放電，電容電壓從魷、開始按指數(shù)規(guī)律衰減到穩(wěn)態(tài)值U2

當(dāng)Us=U3=U0時(shí)，換路后i=0，說明電路中無暫態(tài)過程產(chǎn)生，其原因是換路前后電容的電場(chǎng)能量沒有發(fā)生變化。上述3種情況下隨時(shí)間變化的曲線分別如圖2.18中①,②,③3條曲線所示上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)以上介紹的是用經(jīng)典法分析電路中的暫態(tài)過程，即根據(jù)外加激勵(lì)通過求解電路的微分方程從而得出電路的響應(yīng)。用此方法分析電路的暫態(tài)過程，全響應(yīng)可表示為全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量由于外加激勵(lì)要求產(chǎn)生與之相應(yīng)的響應(yīng)，所以穩(wěn)態(tài)分量的大小和變化規(guī)律與電源有關(guān)，故又稱穩(wěn)態(tài)分量為強(qiáng)制分量;暫態(tài)分量?jī)H存在于電路過渡過程期間，它起著調(diào)整過渡過程初始值與穩(wěn)態(tài)值之間差距的作用，它的變化規(guī)律與電源無關(guān)，所以又稱它為自由分量。暫態(tài)分量是按指數(shù)規(guī)律衰減的，但是它的大小與初始值和穩(wěn)態(tài)值之差有關(guān)。當(dāng)電路中儲(chǔ)能元件的能量增長(zhǎng)或衰減到某一穩(wěn)態(tài)值時(shí)，電路的過渡過程隨即終止，暫態(tài)分量也將趨于零上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)把式(2.18)稍加整理，可得到式(2.20)中的第一項(xiàng)為圖2.17所示電路當(dāng)Us=0時(shí)的響應(yīng)，即零輸入響應(yīng);而式(2.20)中的第二項(xiàng)是圖2.17所示電路中uC(0_)=0時(shí)的響應(yīng)，即零狀態(tài)響應(yīng)。所以又可以用零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和表示電路的全響應(yīng)。即全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)將電路的全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，是著眼于電路的因果關(guān)系;而將電路分解為穩(wěn)態(tài)分量與暫態(tài)分量的疊加則是著重說明含有儲(chǔ)能元件的電路，換路后通常要經(jīng)過一段過渡狀態(tài)才能進(jìn)入新的穩(wěn)定狀態(tài)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)例2.4在圖2.19所示電路中，開關(guān)S閉合前電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)已知:U=10V,R1=R2=R3=10?,C=100uF，在t=0時(shí)將開關(guān)S閉合。求t>0時(shí)電容電壓uC和電流i，并畫出uC和i的波形圖。解圖2.19中S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以電容C相當(dāng)于開路在圖2.19所示電路中，將開關(guān)S閉合后，除電容C以外的有源二端網(wǎng)絡(luò)用戴維寧等效電路代替，得圖2.20(a)所示電路，其中上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)用疊加法求uC有全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)其中零狀態(tài)響應(yīng)uC1是由外加激勵(lì)引起的，電容電壓將由零向穩(wěn)態(tài)值uS按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，即零輸入響應(yīng)uC2是由電容初始儲(chǔ)能引起的，電容電壓將由零向穩(wěn)態(tài)值按指數(shù)規(guī)律衰減，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2RC電路的響應(yīng)由換路定律知uC(0+)=uC(0-)=10/3V代入上式，得時(shí)間常數(shù)Τ=R0C=5×100×10-6=5×10-4s全響應(yīng)uC=uC1+uC2uC和i隨時(shí)間變化曲線如圖2.20(b)所示上一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)2.3.1RL電路的零輸入響應(yīng)在圖2.21所示電路中，開關(guān)S打開前電路已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)電感相當(dāng)于短路，電感中的電流為開關(guān)S在t=0時(shí)打開，由換路定律，有iL(0+)=iL(0-)=I0根據(jù)KVL，換路后電路的電壓平衡方程式為uL+uR=0下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)把,代入上式，即得電路的微分方程為式(2.21)為一階線性齊次微分方程，由高等數(shù)學(xué)知，其通解形式為特征方程為L(zhǎng)S+R=0故特征根S=-R/L上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)為滿足初始條件iL(0+)=I0，則積分常數(shù)A=I0因而，電流電阻上的電壓電感上的電壓電流iL、電壓uL,uR隨時(shí)間變化的曲線如圖2.22所示上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)圖2.21所示電路，換路后外加激勵(lì)為零，電路的響應(yīng)是由電感的初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的，是零輸入響應(yīng)。因此，在t>0以后，流過電感中的電流和它兩端電壓以及電阻的電壓均按同一指數(shù)規(guī)律變化，其絕對(duì)值均隨時(shí)間增長(zhǎng)而逐漸衰減。當(dāng)t→∞時(shí)，過渡過程結(jié)束，電路中的電流、電阻和電感的電壓均為零

RL電路中電流和電壓隨時(shí)間衰減的過程，實(shí)質(zhì)上是電感所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量被電阻轉(zhuǎn)換為熱能逐漸消耗掉的過程。

RL電路的時(shí)間常數(shù)τ=L/R，它與L成正比，與R成反比當(dāng)L越大、R越小時(shí)，τ越大，則電路的暫態(tài)過程就越長(zhǎng)。這是由于L越大，在一定的電流下，磁場(chǎng)能量越大;而R越小，則在一定的電流下，電阻消耗的功率越小，耗盡相同能量所用的時(shí)間也就越長(zhǎng)上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)2.3.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖2.23所示電路中，開關(guān)S由b合向a之前，電感中的電流為零，即iL(0_)=0.t=0時(shí)，將開關(guān)由b合向a電路換路后，根據(jù)KVL，可得電路的微分方程為式(2.25)是一階線性非齊次微分方程。按照經(jīng)典法它的完全解由其特解(i’L)和相應(yīng)的齊次微分方程的通解(i’’L)兩部分構(gòu)成，即iL=i’L+i’’L上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)其中式中τ是圖2.23所示電路的時(shí)間常數(shù)。因此，電感電流根據(jù)換路定律iL(0+)=iL(0-)=0。在t=0時(shí)，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)所以電感電流電感兩端的電壓電阻電壓為圖2.24中畫出了iL、電壓uL,uR隨時(shí)間變化的曲線上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)圖2.23所示電路，換路后，電感的初始儲(chǔ)能為零，電路的響應(yīng)是由外加激勵(lì)產(chǎn)生的，故為零狀態(tài)響應(yīng)。在此電路中，電感的電流由初始值iL(0+)=

0按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，最后趨于穩(wěn)態(tài)值US/R。uL由換路前的零值躍變至。US以后，立即按指數(shù)規(guī)律衰減，最后趨于零·也就是說，零狀態(tài)RL電路與恒定電壓接通時(shí)，電感元件相當(dāng)于由開始斷路逐漸演變成短路，這個(gè)過程實(shí)質(zhì)上是電感元件儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的過程。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)2.3.3RL電路的全響應(yīng)在圖2.25所示電路中，若開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感中的電流為電路換路后的微分方程為顯然，上式與式(2.25)完全一樣，因此其解的形式也應(yīng)相同，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)由換路定律，得積分常數(shù)所以，電路中的電流電感電壓圖2.25所示電路換路后的響應(yīng)是由電感的初始儲(chǔ)能和外加恒定激勵(lì)所共同產(chǎn)生的，它與RC電路在恒定直流激勵(lì)下的全響應(yīng)相類似，故對(duì)于電路中電流和電壓解答的分析，此處從略上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)例2.5圖2.26所示電路為他勵(lì)電動(dòng)機(jī)的勵(lì)磁回路的電路模型。設(shè)電阻R=80?,L=1.5H，電源電壓Us=40V，電壓表量程為50V，內(nèi)阻RV=50k?。開關(guān)S在未打開前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，在t=0時(shí)打開S。求:(1)S打開后RL電路的時(shí)間常數(shù);(2)電流i和電壓表兩端的電壓uv;(3)開關(guān)s剛打開時(shí)，電壓表所承受的電壓解(1)時(shí)間常數(shù)(2)開關(guān)打開前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在恒定直流激勵(lì)下，電感相當(dāng)于短路，故上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)開關(guān)S打開后，RL電路為零輸入電路，其響應(yīng)由初始值按指數(shù)規(guī)律衰減，所以電流電壓表兩端的電壓(3)開關(guān)S打開時(shí)，電壓表所承受的電壓也就是t=0時(shí)刻電壓表兩端的電壓，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3RL電路的響應(yīng)為了防止電感線圈和直流電源斷開時(shí)造成的高電壓，還可以采用并聯(lián)接入二極管的方法，如圖2.27所示。由于二極管正向電阻很小，反向電阻很大，當(dāng)電路正常工作時(shí)，二極管處于反向接法，對(duì)電路工作無影響。當(dāng)開關(guān)打開時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向和電流方向相同，即圖2.27所示電路中B點(diǎn)電位高于A點(diǎn)電位，此時(shí)二極管為正向接法，給電流i提供了一條通路，其實(shí)質(zhì)是電感中所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量通過電阻轉(zhuǎn)換為熱能消耗掉，從而避免因換路而產(chǎn)生過電壓現(xiàn)象。上一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法前面討論的一階RC電路和RL電路是電子線路中經(jīng)常遇到的電路，雖然已介紹了求解電路全響應(yīng)的一般方法，即經(jīng)典法，但是在實(shí)際工作中往往不要求計(jì)算出全響應(yīng)的分量—穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量或是零輸入響應(yīng)分量和零狀態(tài)響應(yīng)分量，而是要求直接計(jì)算出全響應(yīng)的結(jié)果。因此，本節(jié)介紹一種工程上更實(shí)用、更快捷的分析一階電路在恒定直流激勵(lì)下全響應(yīng)的方法，即三要素法。如果用f(t)表示一階電路在恒定直流激勵(lì)下待求的電壓或電流，它的初始值用f(0+)表示、穩(wěn)態(tài)值用式f(∞)表示，電路的時(shí)間常數(shù)用:表示，則一階電路中電壓或電流的完全解可表示為下一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法式中，穩(wěn)態(tài)分量f(∞)當(dāng)激勵(lì)為恒定直流時(shí)，為直流量;暫態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律衰減，其衰減的快慢由電路的時(shí)間常數(shù)決定。由于電路是一個(gè)整體，在一個(gè)回路中，各部分電壓要受到KVL的約束，而與結(jié)點(diǎn)相連的各條支路的電流要遵循KCL。因此，電路中不可能出現(xiàn)某一部分電壓或電流進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，而另一部分電壓或電流仍處于過渡狀態(tài)，也就是說，同一電路中各部分電壓或電流在換路后，暫態(tài)分量衰減的快慢是相同的，即它們應(yīng)具有同一時(shí)間常數(shù)。積分系數(shù)A與響應(yīng)的初始值有關(guān)，當(dāng)t=0+時(shí)，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法所以積分常數(shù)A可表示為代入式(2.31)，即可求得一階電路暫態(tài)過程的完全解，即式(2.32)為求解一階線性電路全響應(yīng)的三要素法的一般公式。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法由RC電路和RL電路穩(wěn)態(tài)分析的討論知道，電路的時(shí)間常數(shù)僅與電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)有關(guān)，而與外加電源無關(guān)。這是因?yàn)棣?-1/S，而S是一階電路對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征根，只有在外加激勵(lì)為零時(shí)，電路的微方程才是齊次的。因此求電路的時(shí)間常數(shù)，可首先畫出獨(dú)立源為零時(shí)的電路，如將圖2.28(a)所示電路改畫成圖2.28(b)所示電路，然后在該電路中，求以儲(chǔ)能元件兩端為端口的二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R0即可求出換路后電路的時(shí)間常數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法例2.6電路如圖2.29(a)所示，t<0時(shí)開關(guān)S打開已久。t=0時(shí)將S閉合。試求換路后電壓u(t)，并畫出u(t)隨時(shí)間變化的曲線解利用三要素法求解(1)求初始值u(0+)在t<0時(shí)開關(guān)S打開已久，電路已進(jìn)人穩(wěn)態(tài)，在恒定直流電源作用下，電容相當(dāng)于開路，由圖2.29(a)求得u(0-)=2×1=2V該電壓為電容兩端的電壓，根據(jù)換路定律，有u(0+)=u(0-)=2V上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法(2)求穩(wěn)態(tài)值u(∞)換路后，電路處于新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容也相當(dāng)于開路，故得(3)求時(shí)間常數(shù)τ

開關(guān)閉合后，令圖2.29(a)中電流源為零，得電路如圖2.29(b)所示。在該電路中，以電容兩端為端口的二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法故電路的時(shí)間常數(shù)為將u(0+),u(∞)和τ入三要素法公式，得圖2.29(c)畫出了u(t)隨時(shí)間變化的曲線上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法例2.7電路如圖2.30(a)所示，t=0時(shí)開關(guān)S由a投向b,假定換路前電路已處于穩(wěn)態(tài),試求t>0時(shí)的iL(t)和i(t)，并畫出它們隨時(shí)間變化的曲線由例2.6和例2.7可以看出，換路后電路的激勵(lì)為恒定直流時(shí)，一階電路的響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律變化的。若穩(wěn)態(tài)值大于初始值，換路后響應(yīng)由初始值按指數(shù)規(guī)律上升，若穩(wěn)態(tài)值小于初始值，其響應(yīng)由初始值按指數(shù)規(guī)律下降，經(jīng)過一段時(shí)間均達(dá)到穩(wěn)態(tài)值上一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)2.5.1RC微分電路RC串聯(lián)電路如圖2.31所示，其輸出電壓取自電阻元件兩端，即u0=uR。輸入電壓ui為周期矩形脈沖信號(hào)，如圖2.32(a)所示，當(dāng)電路的時(shí)間常數(shù)滿足時(shí)，圖2.31所示電路成為微分電路。RC微分電路數(shù)學(xué)關(guān)系式推導(dǎo)如下:在圖2.31所示RC串聯(lián)電路中，uC與i為關(guān)聯(lián)參考方向，故有下一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)列出電路的KVL方程由于，有，所以由以上分析可知，構(gòu)成RC微分電路需同時(shí)具備兩個(gè)條件:(1)u0從電阻兩端輸出，即u0=uR(2)，工程上一般要求上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)下面分析微分電路在脈沖激勵(lì)下響應(yīng)的波形。電路在0≤t≤tp期間，設(shè)在第一個(gè)脈沖到來之前，電容無初始儲(chǔ)能，電路工作情況相當(dāng)于RC電路在恒定直流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，電容電壓uC從零按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)(允電)。由于脈沖持續(xù)時(shí)間tp遠(yuǎn)大于電路的時(shí)間常數(shù)τ，所以在t<tp期間，電容已允電完畢，電容電壓uC等于脈沖幅值U，電阻電壓uR=

u0，則在t=0時(shí)由零躍變到U，隨后按指數(shù)規(guī)律衰減到零上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)在tp≤t≤T期間，輸入電壓ui=0，電路工作情況相當(dāng)于RC電路的零輸入響應(yīng)，電容電壓uC按指數(shù)規(guī)律衰減(放電)由于，在t=T之前，電容早已放電完畢u0在時(shí)由零躍變到-U，隨后按指數(shù)規(guī)律衰減為零以后，在周期矩形脈沖的作用下不斷重復(fù)上述過程。ui、uC和u0的波形如圖2.32所示在T一定時(shí)，τ越小，電路的微分作用越強(qiáng)，電路的輸出波形越窄上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)2.5.2RC藕合電路在圖2.31所示電路中，當(dāng)時(shí)間常數(shù)τ>>tp時(shí)，該電路將不再是微分電路，而成為RC藕合電路。在脈沖波形激勵(lì)時(shí)，工作波形的分析如下:

在0≤t≤tp期間，由于時(shí)間常數(shù)τ很大，電容允電的速率很慢，所以輸出電壓u0=uR在初始時(shí)刻躍變到輸入電壓幅值U后，下降很少。當(dāng)t=tp時(shí)，輸入電壓ui=0,輸出電壓u0也隨著輸入電壓向負(fù)方向躍變U在tp≤t≤T期間，輸入電壓ui=0，電容將已經(jīng)允得的電壓作為初始值進(jìn)行放電以后在輸入脈沖的作用下，重復(fù)以上過程。藕合電路的工作波形如圖2.33所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)在T一定時(shí)，τ越大，電容充、放電的電壓越小，電路的輸出波形越接近于輸入波形由以上分析可知，構(gòu)成RC藕合電路需同時(shí)具備兩個(gè)條件:(1)u0從電阻兩端輸出，即u0=uR(2)τ=RC>>T，工程上一般要求τ>10TRC藕合電路也稱為阻容藕合電路，在交流放大電路中常用作級(jí)間藕合電路上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)2.5.3RC積分電路RC串聯(lián)電路如圖2.34所示，與圖2.31不同的是電路的輸出電壓取自電容元件兩端，即u0=uC。其輸入電壓二為周期矩形脈沖電壓，如圖2.35(a)所示·當(dāng)滿足電路時(shí)間常數(shù)τ>>tp的條件時(shí)，圖2.34所示電路成為RC積分電路當(dāng)τ>>tp時(shí)，u0與ui積分的數(shù)學(xué)關(guān)系式可推導(dǎo)如下:

對(duì)圖2.34所示電路列寫KVL方程式得到電阻兩端的電壓uR即uR=ui-uC由τ>>tp的條件可知，電容電壓uC很小，可忽略不計(jì)，故近似認(rèn)為uR≈ui所以有上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.5RC電路對(duì)矩形波激勵(lì)的響應(yīng)由以上分析可知，構(gòu)成RC積分電路需同時(shí)具備兩個(gè)條件:(1)u0從電容兩端輸出，即u0=uC(2)τ=RC>>T，工程上一般要求τ>5T下面分析積分電路在脈沖激勵(lì)下響應(yīng)的波形。在圖2.35中，設(shè)在第一個(gè)脈沖到來之前，電容