榆林市第十二中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)第三次檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

PAGE榆林市第十二中學(xué)20202021學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)第三次檢測(cè)數(shù)學(xué)試題命題范圍(圓錐曲線,統(tǒng)計(jì)與概率之外)試卷滿分:150分(Ⅰ卷80分,Ⅱ卷70分)姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào):___________一、單選題(本部分共12題,每題5分,總分60分)1．已知集合滿足，則集合的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．若，則（）A． B． C． D．3．已知向量，若，則銳角為（）A． B． C． D．4．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算法中的“更相減損術(shù)”可用來求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)．現(xiàn)應(yīng)用此法求168與93的最大公約數(shù)：記為初始狀態(tài)，則第一步可得，第二步得到，以上解法中，不會(huì)出現(xiàn)的狀態(tài)是（）A． B． C． D．5．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系（）．A． B． C． D．6．小趙、小錢、小孫、小李四位同學(xué)被問到誰(shuí)去過北京時(shí)，小趙說：我沒去過；小錢說：小李去過；小孫說；小錢去過；小李說：我沒去過．假定四人中只有一人說的是假話，由此可判斷一定去過北京的是（）A．小錢 B．小李 C．小孫 D．小趙7．若直線與圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．8．已知平面α，直線m，n滿足m?a，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件9．函數(shù)的圖象大致為()A． B． C． D．10．已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，的面積為（）A． B． C． D．11．四棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為的正方形，若四棱錐體積的最大值為54，則球O的表面積為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，函數(shù)滿足，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則所有這些零點(diǎn)之和為（）A． B． C． D．二、填空題(本部分共4題,每題5分,總分20分)13．等差數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，若，則_________.14．設(shè)，滿足約束條件則最小值為________.15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，，則的值為___________．16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中闡述：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣．”若稱為“陽(yáng)馬”的某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，對(duì)該幾何體有如下描述：①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；②最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為；③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形；④外接球的表面積為24π．其中正確的描述為____．三、解答題17．(12分)已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，．Ⅰ求數(shù)列的通項(xiàng)公式；Ⅱ設(shè)證明：為等差數(shù)列，并求的前n項(xiàng)和．18．(12分)已知向量，，設(shè)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知角為的一個(gè)內(nèi)角，且，求的值．19．(12分)在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面，，M是棱AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.20．(12分)已知函數(shù)在處取得極大值1.（1）求函數(shù)的圖象在處切線的方程；（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．(12分)設(shè)，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，試求a的值．選做題(22題與23題選擇其中一個(gè)即可,若兩題都做,則以第一題為準(zhǔn))22．(10分)在直角坐標(biāo)系中，圓，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），并以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出的極坐標(biāo)方程，并將化為普通方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為與相交于兩點(diǎn)，求的面積（為圓的圓心）.23．(10分)3．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，證明：.參考答案1．B【分析】利用列舉法，求得集合的所有可能，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于集合滿足，所以集合的可能取值為，共種可能.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.2．D【詳解】由題意可得：，且：，據(jù)此有：.本題選擇D選項(xiàng).3．C【解析】∵，∥，∴，又為銳角，∴．選C．4．C【分析】根據(jù)更相減損術(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)更相減損術(shù)可知，，，，，，，，，，，，，所以第三步得到，第四步得到，第五步得到，第六步得到，第七步得到，第八步得到，第九步得到，第十步得到，第十一步得到，由此可知不會(huì)出現(xiàn)的狀態(tài)是.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵的點(diǎn)睛：理解更相減損術(shù)原理是解題關(guān)鍵.5．A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即因?yàn)樗怨蔬x：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是中檔題.6．A【解析】由題意的，如果小趙去過長(zhǎng)城，則小趙說謊，小錢說謊，不滿足題意；如果小錢去過長(zhǎng)城，則小趙說真話，小錢說謊，小孫、小李說真話，滿足題意，故選A.7．D【分析】圓心到直線的距離小于半徑解不等式即可.【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，∵直線與圓相交，∴，解得或，故選：D.8．D【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】若“”則“”成立，即充分性成立，，不一定平行，因?yàn)檫€有可能和異面.即“”是“”的充分不必要條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面平行的判斷和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)排除C,D,再用特值法，排除A.【詳解】因?yàn)閒(－x)＝＋x＝－(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝－x是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此排除C，D.又f(1)＝1－1＝0，，因此排除A.故選B.【點(diǎn)睛】識(shí)別函數(shù)的圖象，可用函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的變化趨勢(shì)，奇偶性判斷函數(shù)的對(duì)稱性，周期性判斷函數(shù)圖象的循環(huán)往復(fù)，也可用特值法篩選正確或錯(cuò)誤的選項(xiàng).10．A【分析】利用正弦定理將進(jìn)行邊化角，可得的值，再結(jié)合余弦定理和基本不等式即得．【詳解】解析：由正弦定理得，∵,∴，，，由余弦定理得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．11．C【分析】根據(jù)四棱錐體積的最大值為54，可求得P到平面的最大距離，根據(jù)四棱錐的幾何性質(zhì)，即可求得球O的半徑r，代入表面積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)球心到平面的距離為h，球O的半徑為r，根據(jù)題意，當(dāng)P到平面距離最大，即為r+h時(shí)，四棱錐的體積最大，所以，解得，又都在球面上，設(shè)平面所在圓心為，由題意得，所以，解得，所以表面積.故選：C【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)體積最大值，求得P到平面的最大距離，再根據(jù)外切關(guān)系，利用勾股定理，求得半徑r，考查空間想象，分析計(jì)算的能力，屬中檔題.12．D【分析】由奇偶性定義可知為奇函數(shù)且，由此可得關(guān)于對(duì)稱；由可知關(guān)于對(duì)稱且，由此可知關(guān)于對(duì)稱且，由對(duì)稱性可知除外，其余零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，由此可求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱且圖象關(guān)于對(duì)稱圖象關(guān)于對(duì)稱令得：圖象關(guān)于對(duì)稱且有一個(gè)零點(diǎn)為，其余零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所有零點(diǎn)之和為故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)解析式和抽象函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的對(duì)稱中心，從而可確定零點(diǎn)所具有的對(duì)稱關(guān)系.13．2【分析】直接利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：2.14．【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖四邊形內(nèi)部（含邊界），作直線，向上平移直線，減小，過點(diǎn)時(shí)，取得最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域15．【解析】試題分析：因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的設(shè)置將面積與余弦定理有機(jī)地結(jié)合起來,有效地檢測(cè)了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.求解時(shí)先借助題設(shè)條件和三角形的面積公式及余弦定理探究出三邊的關(guān)系及,先求出,在運(yùn)用余弦定理得到.16．①②④【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，可知該幾何體為四棱錐，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD為矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四個(gè)命題得答案．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體為四棱錐，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD為矩形，AB=2，BC=4，則四個(gè)側(cè)面是直角三角形，故①正確；最長(zhǎng)棱為PC，長(zhǎng)度為2，故②正確；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，則四個(gè)側(cè)面均不全等，故③錯(cuò)誤；把四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則其外接球半徑為PC=，其表面積為4π×=24π，故④正確．∴其中正確的命題是①②④．故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原原幾何體，考查多面體外接球表面積與體積的求法，是中檔題．17．（Ⅰ）

（Ⅱ）見解析，【解析】【分析】（1）利用及求得，從而得到通項(xiàng)公式．（2）利用定義證明等差數(shù)列，并利用公式求和．【詳解】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意．由得，解得．故．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得．故，所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以．【點(diǎn)睛】一般地，判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，可從兩個(gè)角度去考慮：（1）證明；（2）證明：.18．（1），；（2）.【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角變換可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)可得，可利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角差的余弦求得的值.【詳解】（1），令，，所以，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）由可得，又角為的一個(gè)內(nèi)角，故，而，故，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：形如的函數(shù)性質(zhì)的討論，可按如下方法解決：（1）可以利用降冪公式和輔助角公式將其化為的形式，（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的討論方法（整體法）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心等．19．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）如圖所示，連接，設(shè)．連接．由四邊形為矩形，可得，又，利用三角形中位線定理可得．利用線面平行的判定定理即可得出．（2）取的中點(diǎn)，連接．取的中點(diǎn)，連接．由于是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，可得，且．利用面面垂直的性質(zhì)定理可得側(cè)面，利用三角形中位線定理與線面垂直的性質(zhì)定理可得側(cè)面，利用四棱錐的體積即可得出．【詳解】（1）如圖所示，連接，設(shè)．連接．由四邊形為矩形，，又，．平面，平面．平面．（2）取的中點(diǎn)，連接．取的中點(diǎn)，連接．是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，且．底面?zhèn)让?，底面?zhèn)让妫瑐?cè)面，且，側(cè)面，．四棱錐的體積．【點(diǎn)睛】本題考查直三棱柱的性質(zhì)、線面及面面平行與垂直的判定定理及其性質(zhì)定理、三角形中位線定理、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查空間想象與計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（1）；（2）或.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用題意列出方程組，從而求得函數(shù)解析式，之后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程點(diǎn)斜式求得切線方程；（2）先令導(dǎo)數(shù)等于零，求得函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)在給定區(qū)間上不單調(diào)的等價(jià)結(jié)果是零點(diǎn)在區(qū)間上，得到參數(shù)的范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意可得解得，，所以；經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，又，，所以函數(shù)圖象在處切線的方程為，即.（2）因?yàn)?，令，得?當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以或，所以或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，解決該題的思路如下：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用題意，列出方程組，求得函數(shù)解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程點(diǎn)斜式求得切線方程；（3）函數(shù)在給定區(qū)間上不單調(diào)等價(jià)結(jié)果是極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).21．（1）的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；（2）.【分析】（1）將代入中可得（）,令,解得,進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間；（2）令,解得（舍）,,可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,由于函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),則,整理即為,設(shè),可得在是單調(diào)遞增的,則,進(jìn)而求得【詳解】（1）函數(shù),當(dāng)時(shí),（）,∴,令,即,解得或（舍）,∴時(shí),；時(shí),,∴的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是（2）,則,令,得,∵,∴,∴方程的解為（舍）,；∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，∴,若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),則,而滿足,∴,即,設(shè),∵在是單調(diào)遞增的,∴至多只有一個(gè)零點(diǎn),而,∴用代入,得,解得【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查函數(shù)零點(diǎn)及不等式的應(yīng)用問題22．（