【教案】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)單元教學(xué)設(shè)計(jì)必修第一冊(cè)

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容及其解析（一）教學(xué)內(nèi)容正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)（包括周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值或值域）．余弦函數(shù)圖像正弦函數(shù)圖像正、與弦函數(shù)性質(zhì)余弦函數(shù)圖像正弦函數(shù)圖像正、與弦函數(shù)性質(zhì)單位圓問位嗯嗯嗯圓單位圓問位嗯嗯嗯圓應(yīng)用應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像三角函數(shù)定義正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像三角函數(shù)定義（二）內(nèi)容解析1.內(nèi)容本質(zhì)：根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，得到函數(shù)的定義之后，接著要研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)。正弦、余弦函數(shù)圖像是正弦函數(shù)定義的幾何意義和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用。正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像是對(duì)前面已學(xué)函數(shù)以及三角函數(shù)知識(shí)的深化應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合思想方法的具體體現(xiàn)，拓展了對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究思路。對(duì)于圖象與性質(zhì)的研究，一般有兩種思路：一是根據(jù)定義畫出函數(shù)的圖象，利用圖象直觀研究函數(shù)的性質(zhì)；二是從定義為出發(fā)，先研究函數(shù)的部分性質(zhì)，再結(jié)合定義和這些性質(zhì)研究函數(shù)的圖象，然后借助圖象進(jìn)一步獲得函數(shù)的其他性質(zhì)．其中正弦函數(shù)采用了第一種研究思路，正切函數(shù)采用了第二種研究思路，對(duì)于余弦函數(shù)，則是根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，由正弦函數(shù)的圖象通過平移就得到了余弦函數(shù)的圖象，然后再研究其性質(zhì)．了解這些思路可以更有效地研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，全面深入地理解數(shù)形結(jié)合的思想．三角函數(shù)不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間的直接對(duì)應(yīng)，并且通過研究可以發(fā)現(xiàn)：在正弦函數(shù)的圖象上，除了原點(diǎn)之外，很少再能找到橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)，因此，要想精確作出正弦函數(shù)的圖象，就必須回歸正弦函數(shù)定義．利用單位圓作正弦函數(shù)圖象時(shí)，關(guān)鍵是理解如何作出圖象上任意一點(diǎn)．明確作圖的原理，理解函數(shù)圖象整體的構(gòu)成原理．掌握了任意一點(diǎn)的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點(diǎn)進(jìn)行描點(diǎn)，是從感性認(rèn)識(shí)的累積飛躍到理性認(rèn)識(shí)不可缺少的步驟．對(duì)于正切函數(shù)的圖象，仍然延用正弦曲線的作圖方法，但由于一個(gè)角的正切值是這個(gè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)比值，難以直接利用正切值來(lái)作圖，不過可以通過三角形相似，將這種坐標(biāo)比值轉(zhuǎn)化為一條線段，這樣又可以類比正弦曲線得到正切曲線了，因此，這里運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想．學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究已有比較豐富的經(jīng)驗(yàn)，借助對(duì)圖象特征的觀察獲取函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本方法．在三角函數(shù)的性質(zhì)中，周期性是最特別和重要的，只要認(rèn)識(shí)一個(gè)周期上函數(shù)的性質(zhì)，那么整個(gè)定義域上函數(shù)的性質(zhì)就完全清楚了，因此，將周期性的研究應(yīng)該放在首位．奇偶性也可起到簡(jiǎn)化研究函數(shù)性質(zhì)的作用，同時(shí)周期性和奇偶性的綜合可以加深對(duì)正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)，因此可以首先研究這兩個(gè)性質(zhì)．單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，利用三角函數(shù)的周期性，可以先從一個(gè)周期入手研究它的單調(diào)性．函數(shù)的最值是利用單調(diào)性推出的一個(gè)自然結(jié)果．當(dāng)然，上述所有性質(zhì)也可以借助單位圓進(jìn)行直觀想象而得到，這種多角度的聯(lián)系有助于對(duì)知識(shí)的理解和掌握．2.蘊(yùn)含的思想方法：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，例如單調(diào)性是通過圖象得來(lái)的，而奇偶性，周期性是通過誘導(dǎo)公式得來(lái)的，在繪制三角函數(shù)的圖象時(shí)借助了函數(shù)的奇偶性，周期性；研究三角函數(shù)的圖象時(shí)通常是先研究其在一個(gè)周期內(nèi)的圖象與性質(zhì)，再拓展到整個(gè)定義域，體現(xiàn)特殊到一般的思想；余弦函數(shù)的圖象通過誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化為由正弦函數(shù)圖象平移得到，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想。3.知識(shí)的上下位關(guān)系：函數(shù)是三角函數(shù)的上位知識(shí)，三角函數(shù)的研究基本遵從函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究思路，類比指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)展開研究，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。4.育人價(jià)值：探究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程，既需要函數(shù)周期性和奇偶性的代數(shù)推理，也需要對(duì)圖形的直觀想象，其中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想，有利于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察、數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考，是提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)很好的載體。5.教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)（包括周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值或值域）；研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般思路和方法．二、目標(biāo)及其解析單元目標(biāo)1.借助單位圓能畫出三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲?；2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上、正切函數(shù)在上的性質(zhì)．（二）目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）可以根據(jù)正弦的定義，借助于單位圓，在直角坐標(biāo)系中作出圖象上任意一點(diǎn)，并且能利用這一點(diǎn)的作圖原理畫出整個(gè)圖象；能利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)解析式的關(guān)系，得出其圖象之間的關(guān)系，通過平移正弦曲線得到余弦曲線；能通過幾何作圖與代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)角度得出三角函數(shù)的周期性與奇偶性；能根據(jù)圖象得到正、余弦函數(shù)的最值；會(huì)畫一些簡(jiǎn)單三角函數(shù)的圖象并會(huì)求其簡(jiǎn)單的性質(zhì)。對(duì)于正切函數(shù)，能轉(zhuǎn)換研究思路，先從代數(shù)的角度研究其周期性、奇偶性，縮小畫圖的范圍。然后類比正弦函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的畫法，畫出正切函數(shù)的圖象，并繼續(xù)研究其他性質(zhì)。（2）觀察正弦、余弦、正切曲線的圖象，可以說(shuō)出它們?cè)谙鄳?yīng)一個(gè)周期上的單調(diào)性、最大最小值、對(duì)稱性、零點(diǎn)等性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)解決相關(guān)的問題。三、教學(xué)問題診斷分析問題1對(duì)于正弦函數(shù)，如何根據(jù)其定義準(zhǔn)確地繪制出函數(shù)圖象上任意一個(gè)點(diǎn)？破解辦法：給定任意一個(gè)橫坐標(biāo)x0，如何找到對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)sinx0？結(jié)合圖1，弧AB＝x0·1＝x0．找到了橫坐標(biāo)與弧長(zhǎng)的關(guān)系，接下來(lái)就是如何操作了．可以利用學(xué)生之前在測(cè)量中的經(jīng)驗(yàn)，即找一根沒有彈性的細(xì)線，先將其端點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，并將細(xì)線與x軸貼合，量出到x0的長(zhǎng)度，標(biāo)記上終點(diǎn)．然后再將細(xì)線的起點(diǎn)與點(diǎn)A重合，通過逆時(shí)針繞讓細(xì)線與單位圓貼合，其終點(diǎn)的位置就是點(diǎn)B．點(diǎn)B的縱坐標(biāo)就是函數(shù)圖象上點(diǎn)T（x0，sinx0）的縱坐標(biāo)，再將之平移至x0處，就得到了點(diǎn)T（x0，sinx0）．問題2周期性這個(gè)概念學(xué)生之前從來(lái)都沒有碰到過，在這一單元，不僅要求學(xué)生結(jié)合三角函數(shù)了解周期性，還要抽象出定義并利用新定義解決新函數(shù)的問題。破解的方法：利用數(shù)形結(jié)合的思想方法突破．在一開始學(xué)習(xí)任意角時(shí)研究了角的關(guān)系，得到同角三角函數(shù)關(guān)系，后來(lái)又利用定義得到誘導(dǎo)公式一，已經(jīng)直觀地感受到了周期性，目前的困難是怎樣將之符號(hào)化．為此類比函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的研究進(jìn)行引導(dǎo)．先將直觀想象微觀化，即“周而復(fù)始”這是宏觀的規(guī)律，具體到函數(shù)圖像上就是橫坐標(biāo)每增加2π，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)．再將之符號(hào)化即可．在應(yīng)用它求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）周期時(shí)，要利用換元的方法將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本問題求解，但對(duì)于它的周期的具體意義的理解需要到下一單元學(xué)習(xí)了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）之后才能達(dá)成。教學(xué)難點(diǎn)：正弦函數(shù)的作圖；