高中數(shù)學人教A版3第二章隨機變量及其分布單元測試 省賽獲獎

2.2第二課時事件的相互獨立性一、課前準備1.課時目標(1)理解事件相互獨立的定義；(2)能利用事件相互獨立的乘法公式求n事件都發(fā)生的概率.2.基礎預探1.設A、B為兩個事件，如果P（AB）＝_______，則稱事件A與事件B相互獨立.2.如果事件A與B相互獨立，那么______，_______，_________也都相互獨立.3.一般地，如果事件相互獨立，那么這ｎ個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即____________________.二、學習引領1.事件相互獨立的的深入理解當A，B相互獨立時，易知=P（A），而，所以；易知=P（A），故，所以.因此可知，當A，B相互獨立時.2.事件互斥與事件相互獨立的區(qū)別事件的“互斥”與“相互獨立”是兩個不同的概念：兩事件“互斥”是指兩事件不可能同時發(fā)生；兩事件“相互獨立”是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的與否沒有影響.這兩個可以結合應用如：1-表示兩個相互獨立事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率.3.判斷兩個事件是否是相互獨立事件首先，一般地，兩個事件相互獨立是指兩個試驗的結果之間的關系或者一個大試驗的兩個不相關的子試驗之間的關系；其次,事件的相互獨立性可以看作是一個綜合事件分幾個步驟完成,可類比分步計數(shù)原理的解題過程理解.三、典例導析題型一：相互獨立事件的判斷例1李云有一串8把外形相同的鑰匙,其中只有一把能打開家門.一次李云醉酒回家，他每次從8把鑰匙中隨便拿一把開門,試用后又不加記號放回，則“第一次打不開門”記為事件A，“第二次能打開門”記為事件B，請問事件A與B是否相互獨立？思路導析：本題分析事件A的發(fā)生與否對事件B是否有影響，即可得到判斷.解：由于此人喝醉，不能記得用過那把鑰匙，故每次取得每把鑰匙的可能性相同；并且試用后不加標記的放回去.易知，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以二者是相互獨立事件.規(guī)律方法：判斷兩個事件是否獨立，可利用兩個事件相互獨立的定義分別求出、、代入公式判定；也可分析事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生是否有影響.變式訓練：甲組3名男生、2名女生；乙組2名男生、3名女生，今從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生’’與“從乙組中選出1名女生”；這兩個事件是否是相互獨立事件？題型二求相互獨立事件同時發(fā)生的概率例2中央電視臺“星光大道”節(jié)目共有四關，每期都有實力相當?shù)?名選手參加，每關淘汰一名選手，最后決出周冠軍.經(jīng)選拔，某選手將參加下一期的“星光大道”.(1)求該選手進入第四關才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進入第三關的概率.思路導析：事件“進入第四關才被淘汰”的含義為“前三關未被淘汰，第四關被淘汰”；事件“選手至多進入第三關”的含義為“第一關被淘汰”或“第二關被淘汰”或“第三關被淘汰”；然后結合互斥事件的加法公式與相互獨立事件的乘法公式解決.解：(1)記“該選手能通過第關”的事件為l,2,3,4)，則，，，，所以該選手進入第四關才被淘汰的概率為.(2)該選手至多進入第三關的概率.方法規(guī)律：求相互獨立事件的概率，首先判斷所給事件是否能分解為互相獨立連續(xù)的幾個子事件，然后選用公式求解.這類問題也常與互斥事件、古典概型等聯(lián)系存一起，注意恰當?shù)倪x擇方法.變式訓練：兩個實習生每人加工一個零件.加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（）ABCD題型三：概率加法乘法的綜合問題例3某植物園要栽培甲、乙兩種果樹，先要培育成苗，然后再進行移栽.已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為，，移栽后成活的概率分別為，.（1）求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率；（2）求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率.思路導析：事件“至少有一種果樹成苗”的對立事件為“兩個果樹都不成苗”；事件“恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活”包含“甲果樹成苗且移栽成活”或“乙果樹成苗且移栽成活”兩個互斥的事件，然后利用互斥事件加法公式以及相互獨立事件的概率乘法公式解決.解：分別記“甲、乙兩種果樹成苗”為事件、；分別記“甲、乙兩種果樹苗移栽成活”為事件、，則，，，.（1）“甲、乙兩種果樹至少有一種成苗”的對立事件是“甲、乙兩種果樹都不成苗”，而與是相互獨立事件，故其概率為；（2）分別記“兩種果樹培育成苗且移栽成活”為事件，則，.“恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活”包括兩種情況：“甲種果樹培育成苗且移栽成活、乙種果樹沒培育成苗且沒移栽成活”，即；或“甲種果樹沒有培育成苗且沒移栽成活、乙種果樹培育成苗且移栽成活”，即，而與是互斥事件，與B、A與是相互獨立事件，故其概率為方法規(guī)律：對于相互獨立事件、互斥事件的綜合問題的求解可分三步進行：一是列出題中涉及的各個事件，并用適當?shù)姆柋硎荆欢抢砬甯魇录g的關系，列出關系式；三是根據(jù)事件之間的關系準確的運用概率公式進行計算.當遇到“至多”、“至少”問題時?？紤]其對立事件，從問題的反面求解.變式訓練：甲、乙兩名跳高運動員一次試跳米高度成功的概率分別是，，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：（Ⅰ）甲試跳兩次，第2次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率.四、隨堂練習1.不透明的壇中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，則與是()A相互獨立事件B不相互獨立事件C互斥事件D.對立事件2.從某地區(qū)的兒童中挑選體操學員，已知兒童體型合格的概率為，身體關節(jié)構造合格的概率為.從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是（）（假定體型與身體關節(jié)構造合格與否相互之間沒有影響）A. B. C. D.3.兩人同時向一目標射擊，甲命中率為，乙命中率為，則兩人都沒有命中目標的概率為()A.B.C.D.4.在一次考試中，某班語文、數(shù)學、英語平均分在120分以上概率分別為0.4，0.2，0.4，則該班的三科平均分都在120分以上的概率為.5.袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是________.6.今年國慶節(jié)期間，王林去花博會參觀的概率為，李明去花博會參觀的概率為，假定兩人的行動相互之間沒有影響，求在國慶節(jié)期間王林、李明兩人至少有一人去花博會參觀的概率.五、課后作業(yè)1.一個學生通過一種英語能力測試的概率是，他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是()ABCD.2.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A、B中至少有一件發(fā)生的概率是（）A.B.C.D.3.甲、乙、丙三名同學利用某網(wǎng)校聯(lián)網(wǎng)學習數(shù)學，每天上課后獨立完成六道自我檢測題，甲答及格的概率為0.8，乙答及格的概率為0.6，丙答及格的概率為0.7，三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率.4.如圖，用A、B、C、D表示四類不同的元件連接成系統(tǒng).當元件A、B至少有一個正常工作且元件C、D至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次為0.5、0.6、0.7、0.8，元件連接成的系統(tǒng)正常工作的概率= . 5.為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費用如下表：預防方案可單獨采用一種預防措施或聯(lián)合采用幾種預防措施，在總費用不超過120萬元的前提下，請確定一個預防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大預防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6費用（萬元）906030106.在三人兵乓球對抗賽中，甲、乙、丙三名選手進行單循環(huán)賽（即每兩人比賽一場），共賽三場，每場比賽勝者得1分，輸者得0分，沒有平局；在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.（1）求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率；（2）求三人得分相同的概率；（3）求甲不是小組第一的概率.參考答案2.2第二課時事件的相互獨立性2.基礎預探1.2.A與與B與3.三、典例導析例1變式訓練解：“從甲組選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件.例2變式訓練解：用事件A、B分別表示“兩個實習生每人加工一個零件”為合格品，事件C表示“兩個零件中恰有一個為一等品”，則,由題意知A、B為相互獨立事件則，故選B.例3變式訓練解：記“甲第次試跳成功”為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得，，且，（）相互獨立.(I)“甲第2次試跳才成功”為事件，且兩次試跳相互獨立，所以.答：甲第2次試跳才成功的概率為.(II)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件.方法一：，且，，彼此互斥，方法二：.答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為.四、隨堂練習1.答案：A解析：與是相互獨立事件，由于這是有放回地摸球，與無影響.2.答案：D解析：可用排除法，由相互獨立事件的概率乘法公式可知：P=.3.答案：B解析：記“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，則“甲沒有命中目標”為事件，“乙沒有命中目標”為事件，由于A、B相互獨立，則、也相互獨立，則.4.答案：0.032解析：三個事件相互獨立，由相互獨立事件的乘法公式可知P=.5.答案：解：顏色相同包括三紅、三黃、三綠，概率為P=.6.解：記事件A=“王林去花博會參觀”，B=“李明去花博會參觀”，則表示“王林不去花博會參觀”，表示“李明不去花博會參觀”，且A、B是相互獨立事件，“王林、李明至少有一人去花博會參觀”的對立事件是，因為,所以，，所以，王林、李明兩人至少有一人去花博會參觀的概率是.五、課后作業(yè)1.答案：C解析：設A為第一次測試通過，B為第二次測試通過，則所求概率為.2.答案：C解析：，.3.解析：由相互獨立事件的概率乘法公式可知P=.4.答案：0.752解析：由相互獨立事件的概率乘法公式可知：=0.752.5.解：方案1：單獨采用一種預防措施的費用均不超過120萬元由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9.方案2：聯(lián)合采用兩種預防措施，費用不超過120萬元，由表可知聯(lián)合甲、丙兩種預防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.方法3：聯(lián)合采用三種預防措施，費用不超過120萬元，故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預防措施，此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為1-（1-0.8）(1-0.7)(1-0