高中數(shù)學(xué)人教A版4本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)（全國一等獎）

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π【解析】選D.直線x=2-t,y=b+2t的普通方程為y=-2x+b+4,曲線x=2+bcosθ,y=3+bsinθ(θ為參數(shù))的普通方程為(x-2)2+(y-3)4.與普通方程x2+y-1=0等價(jià)的參數(shù)方程為()A.x=sint,y=cos2C.x=cost,y=sin2【解析】選D.所謂與方程x2+y-1=0等價(jià),是指將參數(shù)方程化為普通方程時,形式一致,且x,y的變化范圍對應(yīng)相同,按照這一標(biāo)準(zhǔn)逐一驗(yàn)證.選項(xiàng)A化為普通方程為x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].選項(xiàng)B化為普通方程為x2+y-1=0,x∈[0,+∞),y∈(-∞,1].選項(xiàng)C化為普通方程為x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].選項(xiàng)D化為普通方程為x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1].5.極坐標(biāo)方程ρ=sinθ與參數(shù)方程x=2-t,A.直線、直線 B.直線、圓C.圓、直線 D.圓、圓【解析】選C.由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,即x2+y2=y,即x2+y-12將參數(shù)方程x=2-t,6.已知直線l1的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ-π4=2023,直線l2的參數(shù)方程為x=-2016+tcos34π,A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.重合【解析】選A.由2ρsinθ-π42ρ22sinθ-2ρsinθ-ρcosθ=2023,所以y-x=2023,即y=x+2023,把直線l2的參數(shù)方程化為普通方程為y-2016x+2016=所以kl1·kl2=1×(-1)=-1,所以l17.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程是x=t+1,y=t-3,(t為參數(shù))圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ,則直線A.14 B.2 C.2 2【解析】選D.直線l的普通方程為y=x-4,圓C的直角坐標(biāo)方程是(x-2)2+y2=4,圓心(2,0)到直線l的距離d=|2-0-4|2=2,所以直線l被圓C截得的弦長為2228.已知拋物線C1:x=8t2,y=8t,(t為參數(shù)),圓C2 B.22 C.2 【解題指南】把拋物線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程統(tǒng)一成在直角坐標(biāo)系下的方程后,求出直線的方程,利用直線與圓的位置關(guān)系求r.【解析】選C.拋物線C1的普通方程為y2=8x,焦點(diǎn)為(2,0),故直線方程為y=x-2,即x-y-2=0,圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=r2,由題意|-2|1二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)9.(2023·唐山高二檢測)已知直線l:x=-1+32t,y=1【解析】將直線l:x=-1+32t,y=12t(t為參數(shù))代入曲線C:ρ=2sinθ的直角坐標(biāo)方程x2+y2-2y=0,整理,得t2-(3+1)t+1=0,設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t答案:110.若直線x=-1+2t,y=3-2t(t為參數(shù))與曲線x=4+acosθ,【解析】直線一般方程為x+y-2=0,曲線方程為(x-4)2+y2=a2.由題可知,直線與圓相切,即圓心到直線的距離d=22=2答案:2【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2023·襄陽高二檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程是x=t-1t,y=t+1t【解析】曲線C1x=t-1t,y=t+由曲線C2的極坐標(biāo)方程ρsinθ+π3=1,得直角坐標(biāo)方程3x+y-2=0,將y=-3x+2代入y2得x2-23x=0,解得x1=0,x2=23,y1=2,y2=-4,則兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,2),B(23,-4),所以|AB|=(0-23)答案:4311.(2023·衡水高二檢測)設(shè)直線l:x=1+35t,y=45【解題指南】將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義以及公式求弦長.【解析】將直線l:x=1+35t,y=45t(t為參數(shù))代入曲線C:x設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-65,t1t2則|AB|=|t1-t2|=(t1+答案:612.(2023·黃岡高二檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若P點(diǎn)為直線ρcosθ-ρsinθ-4=0上一點(diǎn),點(diǎn)Q為曲線x=t,y=1【解題指南】將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,轉(zhuǎn)化為直線和曲線相切求解,也可以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)的坐標(biāo)解決.【解析】直線ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐標(biāo)方程為x-y-4=0,曲線x=t,y=14t2(t為參數(shù))的普通方程為y=14x2,依題意,設(shè)與直線x-y-4=0平行的直線方程為x-y+c=0,即y=x+c,代入y=14x2,得x2-4x-4c=0,依題意,Δ=16+16c=0,所以c=-1,即直線x-y-1=0與拋物線y=答案:3【一題多解】直線ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐標(biāo)方程為x-y-4=0,曲線x=t,y=14t2(t為參數(shù))的普通方程為y=14x2,設(shè)拋物線y=1則y′=12x|x=x0=12x0=1,得x0答案:3三、解答題(本大題共6小題,共60分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)13.(10分)(2023·衡水高二檢測)在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=π3(ρ∈R),以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosα,y=1+cos2α,【解析】因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為θ=π3所以直線l的普通方程為y=3x,①又因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為x=2cosα,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=12x2聯(lián)立①②得x=0,y=0根據(jù)x的范圍應(yīng)舍去x故P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0).14.(10分)(2023·全國卷Ⅰ)在直線坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程.(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.【解析】(1)x=acost,所以x2+(y-1)2=a2.①所以C1為以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.方程為x2+y2-2y+1-a2=0.因?yàn)閤2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即為C1的極坐標(biāo)方程.(2)C2:ρ=4cosθ,兩邊同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②C3:化為普通方程為y=2x,由題意:C1和C2的公共方程所在直線即為C3.①-②得:4x-2y+1-a2=0,即為C3,所以1-a2=0,所以a=1.15.(10分)(2023·大連高二檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0),其傾斜角為α,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-6ρcosθ+1=0.(1)寫出直線l的參數(shù)方程,若直線l與曲線C有公共點(diǎn),求α的取值范圍.(2)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn),求x+y的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ2-6ρcosθ+1=0,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-6x+1=0.因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0),其傾斜角為α,所以直線l的參數(shù)方程為x=-1+tcosα,將x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2-6x+1=0,整理,得t因?yàn)橹本€l與曲線C有公共點(diǎn),所以Δ=64cos2α-32≥0,即cosα≥22或cosα≤-2因?yàn)棣痢蔥0,π),所以α的取值范圍是0,π4(2)已知M(x,y)是曲線C:(x-3)2+y2=8上一點(diǎn),則x=3+2所以x+y=3+22(sinθ+cosθ)=3+4sinθ+所以x+y的取值范圍是[-1,7].16.(10分)(2023·陜西高考)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+12(1)寫出☉C的直角坐標(biāo)方程.(2)P為直線l上一動點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解題指南】(1)利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系進(jìn)行代換即得.(2)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)代換后,利用兩點(diǎn)間的距離公式可求解.【解析】(1)由ρ=23sinθ,得ρ2=23ρsinθ,從而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)設(shè)P3+12則|PC|=3+12故當(dāng)t=0時,|PC|取得最小值,此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).17.(10分)(2023·天水高三檢測)在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為x=1+t,y=t-3(t為參數(shù)),在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程.(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求△AOB的面積.【解析】(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程是:ρ=2cosθsin2θ所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是:y2=2x.由直線l的參數(shù)方程x=1+t,得:x-y-4=0,所以直線l的普通方程為:x-y-4=0.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程y2=2x,得t2-8t+7=0,設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,所以AB=2t=282-4×7因?yàn)樵c(diǎn)到直線x-y-4=0的距離d=-41+1=2所以△AOB的面積是12AB·d=12×6218.(10分)(2023·西安高二檢測)已知曲線C1:x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),曲線C2:(1)指出C1,C2各是什么曲線,并說明C1與C2公共點(diǎn)的個數(shù).(2)若把C1,C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半,分別得到曲線C1′,C2′,寫出C1′,C2′的參數(shù)方程.C1′與C2′公共點(diǎn)的個數(shù)和C1與C2公共點(diǎn)的個數(shù)是否相同?說明你的理由.【解析】(1)C1是圓,C2是直線,C1的普通方程為x2+y2=1,圓心C1(0,0),半徑r=1.C2的普通方程為x-y+2=0,因?yàn)閳A心C1到直線x-y+2=0的距離為1,所以C1與C2只有一個公共點(diǎn).(2)壓縮后的參數(shù)方程分別為C′1:x=cosθ,C′2:x=化為普通方程為C1′:x2+4y2=1,C2′:y=12x+2聯(lián)立消元得:2x2+22x+1=0,其判別式Δ=22【補(bǔ)償訓(xùn)練