高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何單元測(cè)試

第三章一、選擇題1．空間任意四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780691)()\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))[答案]D[解析]解法一：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).解法二：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).2．已知空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))，則下列結(jié)論正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780692)()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))[答案]B[解析]根據(jù)向量加減法運(yùn)算可得B正確．3．設(shè)M是△ABC的重心，記a＝eq\o(BC,\s\up6(→))，b＝eq\o(CA,\s\up6(→))，c＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780693)()\f(b－c,2) B．eq\f(c－b,2)\f(b－c,3) D．eq\f(c－b,3)[答案]D[解析]M為△ABC重心，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(c－b)．4．如圖所示，已知A、B、C三點(diǎn)不共線，P為平面ABC內(nèi)一定點(diǎn)，O為平面ABC外任一點(diǎn)，則下列能表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))的為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780694)()\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))[答案]C[解析]根據(jù)A、B、C、P四點(diǎn)共面的條件可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).由圖知x＝3，y＝－2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故選C.5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780695)()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)[答案]D[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4).6．如圖所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780696)()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c[答案]B[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.二、填空題7．化簡(jiǎn)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780697)[答案]0[解析]解法一：(利用相反向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.解法二：(利用向量的減法運(yùn)算法則求解)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.8．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780698)[答案]eq\f(7,6)[解析]如圖所示，有eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq\o(C1C,\s\up6(→)).又∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,2y＝1,3z＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(1,2),z＝－\f(1,3))).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).三、解答題9.在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，底面ABCD為矩形，化簡(jiǎn)下列各式.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780699)(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(D′A′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→)).[解析](1)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)原式＝eq\o(CC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).10．已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E在AC′上，且AE︰EC′＝1︰2，點(diǎn)F、G分別是B′D′和BD′的中點(diǎn)，求下列各式中的x、y、z的值.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780700)(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AE︰EC′＝1︰2，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F為B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分別為BD′、B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.一、選擇題1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a＋b＋c|等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780701)()A．0 B．3C．2＋eq\r(2) D．2eq\r(2)[答案]D[解析]利用向量加法的平行四邊形法則結(jié)合正方形性質(zhì)求解，|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).2．給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；②若空間向量a、b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③若空間向量m、n、p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；⑤零向量沒有方向．其中假命題的個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780702)()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]①假命題．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)將構(gòu)成一個(gè)球面，而不是一個(gè)圓．②假命題．根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同．③真命題．向量的相等滿足遞推規(guī)律．④假命題．空間中任意兩個(gè)單位向量模長(zhǎng)均為1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④錯(cuò)．⑤假命題．零向量的方向是任意的．3．已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780703)()\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D[解析]由條件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)AA′＋eq\f(1,6)(eq\o(A′D′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→)).4．對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，且有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x、y、z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)P、A、B、C共面的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780704)()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝x(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＋y(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，即eq\o(CP,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))、eq\o(CB,\s\up6(→))共面，又有公共點(diǎn)C，∴P、A、B、C共面，反之也成立．二、填空題5．已知平行六面體ABCD—A′B′C′D′，則下列四式中：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780705)①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))；③eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).正確的是________．[答案]①②③[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，①正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，②正確；③顯然正確；∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，∴④不正確．6．如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且PM︰MC＝2︰1，N為PD中點(diǎn)，則滿足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實(shí)數(shù)x＝________，y＝________，z＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780706)[答案]－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)eq\f(1,6)[解析]在PD上取一點(diǎn)F，使PF︰FD＝2︰1，連接MF，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答題7．已知三個(gè)向量a、b、c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p、q、r是否共面？eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)33780707[解析]假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ、μ，使p＝λq＋μr，則a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－7μ＝1,－3λ＋18μ＝1,－5λ＋22μ＝－1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co