高中數(shù)學(xué)北師大版1第二章圓錐曲線與方程單元測試 獲獎作品

圓錐曲線單元檢測試題一、選擇題1．已知拋物線的焦點坐標(biāo)為（）則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(C)A．B．C．D．【解析】由題意設(shè)拋物線方程為，因為焦點為（），所以，即，所以拋物線方程為2．是“方程表示橢圓”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)時，方程不一定表示橢圓；但當(dāng)方程表示橢圓時，必有，所以是必要不充分條件3．已知雙曲線的方程為，那么它的焦距為(A)A．10B．5C．D．【解析】由雙曲線知識得所以即，所以雙曲線的焦距為10拋物線，F(xiàn)為焦點，則表示（D）A.F到準(zhǔn)線的距離B．F到軸的距離C．F到準(zhǔn)線的距離的D．F到準(zhǔn)線的距離的【解析】因為焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以為焦點F到準(zhǔn)線距離的5.若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則等于(C)B．C．D．【解析】因為焦點在軸上，所以，即，所以，即6．已知，則雙曲線有(D)A．相同的虛軸B．相同的實軸C．相同的漸近線D．相同的焦點【解析】根據(jù)雙曲線中間的關(guān)系可知兩個雙曲線有相同的焦點．7.P是橢圓上一點，分別為橢圓的左右焦點，若,則的大小為(B)A．B．C．D．【解析】由橢圓定義可知，又，所以，又因為,由余弦定理可知,所以8.若拋物線上一點P到焦點的距離為10，則點P的坐標(biāo)為(C)B．C．D．【解析】由拋物線定義可知點P到準(zhǔn)線的距離也為10，設(shè)點P的坐標(biāo)為（），則，所以，即，解得，所以點P的坐標(biāo)為9.已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1的焦點相同，且它們的離心率之和等于eq\f(14,5)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A）A.B.C．D．【解析】由于在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又橢圓的焦點在y軸上，所以其焦點坐標(biāo)為(0，±4)，離心率e＝eq\f(4,5).根據(jù)題意知，雙曲線的焦點也應(yīng)在y軸上，坐標(biāo)為(0，±4)，且其離心率等于eq\f(14,5)－eq\f(4,5)＝2.故設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝4，所以a＝eq\f(1,2)c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝110.已知P為拋物線上任意一點，記點P到軸的距離為，對于給定點A(4，5),則的最小值是（C）A.B.C.D.5【解析】因為點A在拋物線的外部，記P到準(zhǔn)線的距離為,則,又軸到準(zhǔn)線的距離為1，所以的最小值是11．已知是雙曲線的兩個焦點，是經(jīng)過且垂直于軸的雙曲線的弦，如果,則雙曲線的離心率為(D)．A．B．C．D．【解析】由題意可知,即．所以，即，所以解得12．已知橢圓E:的右焦點是F（），過點F的直線交橢圓E于A,B兩點，若AB的中點M的坐標(biāo)為（），則橢圓E的方程為(B)A．B．C．D．【解析】因為焦點F（），所以=1\*GB3①，又AB的中點坐標(biāo)為M（），所以即=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②解得，所以橢圓方程為填空題13.若拋物線的焦點坐標(biāo)是雙曲線的左頂點，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解析】因為雙曲線的左頂點為（），所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，即，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為14.與雙曲線有共同的漸近線，且過點P（8,12）的雙曲線方程為【解析】由題意可設(shè)雙曲線方程為，因為雙曲線過點P（8,6），所以，解得，所以所求的雙曲線方程為15.已知點在橢圓上，則的取值范圍為【解析】因為點在橢圓上，所以，所以16．直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則實數(shù)的取值范圍為________．【解析】因為直線恒過點（0,1），當(dāng)點在橢圓的內(nèi)部是直線與橢圓總有公共點，所以滿足，解得解答題17.已知橢圓的中心在原點，焦點為，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）求以點為中點的弦所在的直線方程【解】(1)設(shè)橢圓方程為，由已知，又，解得，所以，故所求方程為.(2)解法1：由題知直線的斜率存在且不為，所以設(shè)直線方程為，代入橢圓方程得即則解得故直線方程是即18.已知定點F(0,1)，動點C到定點F距離比它到軸的距離大1，(1)求動點C的軌跡方程；(2)過點F的直線l2交軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R，求eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))的最小值.【解】(1)動點C到定點F距離比它到軸的距離大1,所以動點C到定點F的距離等于它到定直線的距離，由拋物線的定義可知動點C的軌跡方程為x2＝4y.(2)由題意知，直線l2的方程可設(shè)為y＝kx＋1(k≠0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x2－4kx－4＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.又易得點R的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，－1))，∴eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(2,k)，y1＋1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,k)，y2＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(2,k)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,k)))＋(kx1＋2)·(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋2k))(x1＋x2)＋eq\f(4,k2)＋4＝－4(1＋k2)＋4keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋2k))＋eq\f(4,k2)＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))＋8.∵k2＋eq\f(1,k2)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1時取等號，∴eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))≥4×2＋8＝16，即eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))的最小值為16.19.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實軸長為2eq\r(3).(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；【解】(1)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝eq\r(3)，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝361－k2>0，,xA＋xB＝\f(6\r(2)k,1－3k2)<0，,xAxB＝\f(－9,1－3k2)>0，))解得eq\f(\r(3),3)<k<1.∴當(dāng)eq\f(\r(3),3)<k<1時，l與雙曲線左支有兩個交點．20．已知橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，右焦點為(2eq\r(2)，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2).(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積.【解】(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以橢圓G的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4)；因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq