高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（八）生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（八）生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A．8 \f(20,3)C．－1 D．－8解析：選C瞬時(shí)變化率即為f′(x)＝x2－2x為二次函數(shù)，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1時(shí)，f′(x)min＝－1.2．把一段長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是()\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：選D設(shè)一段為x，則另一段為12－x(0＜x＜12)，則S(x)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，∴S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，當(dāng)x∈(0,6)時(shí)，S′(x)＜0，當(dāng)x∈(6,12)時(shí)，S′(x)＞0，∴當(dāng)x＝6時(shí)，S(x)最?。郤＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)×62－\f(8,3)×6＋16))＝2eq\r(3)(cm2)．3．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A．100 B．150C．200 D．300解析：選D由題意，總成本為：C＝20000＋100x，所以總利潤(rùn)為P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400，))令P′＝0，當(dāng)0≤x≤400時(shí)，得x＝300；當(dāng)x>400時(shí)，P′<0恒成立，易知當(dāng)x＝300時(shí)，總利潤(rùn)最大．4．設(shè)正三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為()\r(4V) B．2eq\r(3,V)\r(3,4V) \f(1,2)V解析：選C設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則高為h＝eq\f(4V,\r(3)x2)，∴S表＝3×eq\f(4V,\r(3)x2)×x＋2×eq\f(\r(3),4)x2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，∴S表′＝－eq\f(4\r(3)V,x2)＋eq\r(3)x，令S表′＝0，得x＝eq\r(3,4V).經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)x＝eq\r(3,4V)時(shí)，S表取得最小值．5．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2R\f(4,3)R \f(3,4)R解析：選C設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當(dāng)0<h<eq\f(4R,3)時(shí)，V′>0；當(dāng)eq\f(4R,3)<h<2R時(shí)，V′<0.因此當(dāng)h＝eq\f(4,3)R時(shí)，圓錐體積最大．故應(yīng)選C.6．某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝－和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)_______萬(wàn)元．解析：設(shè)甲地銷(xiāo)售x輛，則乙地銷(xiāo)售(15－x)輛．總利潤(rùn)L＝－＋2(15－x)＝－＋＋30(x≥0)．令L′＝－＋＝0，得x＝.∴當(dāng)x＝10時(shí)，L有最大值.答案：7．如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點(diǎn)B坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\f(x2,4)))，∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2,\r(3))(舍)，x2＝eq\f(2,\r(3))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,\r(3))))時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))，2))時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是遞減的，當(dāng)x＝eq\f(2,\r(3))時(shí)，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)8．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，總利潤(rùn)最大時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)定為_(kāi)_________件．解析：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k，由題知a＝eq\f(500,\r(x)).總利潤(rùn)y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時(shí)，y′>0，x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0，所以x＝25時(shí)，y取最大值．答案：259．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．解：(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0<x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元．10．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過(guò)程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)寫(xiě)出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解：(1)由題意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．因?yàn)榇纹仿蕄＝eq\f(3x,4x＋32)，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)T′＝－25·eq\f(x＋32·x－16,x＋82)，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．當(dāng)0<x≤16時(shí)，T′≥0；當(dāng)x≥16時(shí)，T′≤0；所以當(dāng)x＝16時(shí)，T最大．即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大日盈利．層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件解析：選Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，當(dāng)0＜x＜9時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0.所以當(dāng)x＝9時(shí)，y取得最大值．2．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 \f(1,2)πr2解析：選A設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－r\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2,1)).∴S＝4πeq\r(r2r\o\al(2,1)－r\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此時(shí)S＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))2)＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\f(\r(2),2)r＝2πr2.3．某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣(mài)出(200－x)件，要使利潤(rùn)最大每件定價(jià)為()A．80元 B．85元C．90元 D．95元解析：選B設(shè)每件商品定價(jià)x元，依題意可得利潤(rùn)為L(zhǎng)＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因?yàn)樵?0,200)內(nèi)L只有一個(gè)極值，所以以每件85元出售時(shí)利潤(rùn)最大．4．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的寬和長(zhǎng)分別為()\f(R,2)和eq\f(3,2)R \f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)R\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不對(duì)解析：選B設(shè)矩形的寬為x，則長(zhǎng)為2eq\r(R2－x2)，則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0<x<R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(\r(5),5)R時(shí)，l′>0，當(dāng)eq\f(\r(5),5)R<x<R時(shí)，l′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(\r(5),5)R時(shí)，l取最大值，即周長(zhǎng)最大的矩形的寬和長(zhǎng)分別為eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.5．某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝________噸．解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購(gòu)買(mǎi)n次貨物，則n＝eq\f(400,x)，∴總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，令f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，x＝20是函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)最?。鸢福?06.一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如圖所示)．當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為_(kāi)_________m時(shí)，帳篷的體積最大．解析：設(shè)OO1為xm，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3.則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，于是底面正六邊形的面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帳篷的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1＋3))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合題意，舍去)．當(dāng)1＜x＜2時(shí)，V′＞0；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝2時(shí)，V最大．答案：27．某集團(tuán)為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷(xiāo)，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元)，可增加銷(xiāo)售額約為－t2＋5t(百萬(wàn)元)(0≤t≤3)．(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷(xiāo)和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x百萬(wàn)元，可增加的銷(xiāo)售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬(wàn)元)．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．(收益＝銷(xiāo)售額－投入)解：(1)設(shè)投入t(百萬(wàn)元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當(dāng)t＝2時(shí)，f(t)取得最大值4，即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元)，則用于廣告促銷(xiāo)的資金為(3－x)(百萬(wàn)元)，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)(百萬(wàn)元)，則g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又當(dāng)0≤x<2時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)2<x≤3時(shí)，g′(x)<0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)取得最大值，即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元用于廣告促銷(xiāo)，該公司由此獲得的收益最大．8．統(tǒng)計(jì)表明某型號(hào)汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行