高中數學北師大版第三章三角恒等變形（全國一等獎）

24兩角和與差的正切函數時間：45分鐘滿分：80分班級________姓名________分數________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．設tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，且α、β角為銳角，則α＋β的值是()\f(3π,4)\f(π,4)或eq\f(3π,4)\f(π,4)\f(5π,4)答案：C解析：由tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.又α、β均是銳角，∴α＋β＝eq\f(π,4).\f(1＋tan75°,1－tan75°)的值是()\r(3)B．－eq\r(3)\f(\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),3)答案：B解析：eq\f(1＋tan75°,1－tan75°)＝eq\f(tan45°＋tan75°,1－tan45°tan75°)＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－tan60°＝－eq\r(3).3．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()\f(13,18)\f(13,22)\f(3,22)\f(5,18)答案：C解析：因為α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22)，故選C.4．已知tanα＝eq\f(1,2)，則eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))的值是()A．2\f(1,2)C．－1D．－3答案：B解析：解法一：因為tanα＝eq\f(1,2)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)·tanα)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝3，所以eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝eq\f(3－1,1＋3)＝eq\f(1,2).故選B.解法二：eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－tan\f(π,4),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))·tan\f(π,4))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\f(π,4)))＝tanα＝eq\f(1,2).故選B.5．在△ABC中，若tanAtanB>1，則△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定答案：A解析：由tanAtanB>1得角A，B均為銳角，然后切化弦，得sinAsinB>cosAcosB，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C為銳角，∴△ABC是銳角三角形，故選A.6．設tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的兩根，則tan(α＋β)的最小值是\f(15,4)\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．不確定答案：C解析：∵tanα和tanβ是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－\f(2m－3,m)，,tanα·tanβ＝\f(m－2,m)，,m≠0，,Δ＝2m－32－4mm－2≥0.))∴m≤eq\f(9,4)，且m≠(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(2m－3,m),1－\f(m－2,m))＝eq\f(－2m＋3,2)＝－m＋eq\f(3,2).∴當m＝eq\f(9,4)時，tan(α＋β)的最小值為－eq\f(3,4).二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．已知α為第三象限的角，cos2α＝－eq\f(3,5)，則tan(eq\f(π,4)＋2α)＝________.答案：－eq\f(1,7)解析：∵α為第三象限的角，則2kπ＋π≤α≤2kπ＋eq\f(3π,2)，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)，又cos2α＝－eq\f(3,5)，∴sin2α＝eq\f(4,5)，tan2α＝－eq\f(4,3)，∴tan(eq\f(π,4)＋2α)＝eq\f(1＋tan2α,1－tan2α)＝－eq\f(1,7).8．taneq\f(π,9)＋taneq\f(2π,9)＋eq\r(3)taneq\f(π,9)·taneq\f(2π,9)的值為________．答案：eq\r(3)解析：taneq\f(π,9)＋taneq\f(2π,9)＋eq\r(3)taneq\f(π,9)·taneq\f(2π,9)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)＋\f(2π,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(π,9)·tan\f(2π,9)))＋eq\r(3)taneq\f(π,9)·taneq\f(2π,9)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(π,9)·tan\f(2π,9)))＋eq\r(3)taneq\f(π,9)·taneq\f(2π,9)＝eq\r(3).9．若a，b是非零實數，且eq\f(asin\f(π,5)＋bcos\f(π,5),acos\f(π,5)－bsin\f(π,5))＝taneq\f(8π,15)，則eq\f(b,a)＝________.答案：eq\r(3)解析：∵eq\f(asin\f(π,5)＋bcos\f(π,5),acos\f(π,5)－bsin\f(π,5))＝eq\f(tan\f(π,5)＋\f(b,a),1－\f(b,a)tan\f(π,5))＝taneq\f(8π,15)＝tan(eq\f(π,5)＋eq\f(π,3))＝eq\f(tan\f(π,5)＋tan\f(π,3),1－tan\f(π,5)·tan\f(π,3))，∴eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．在平面直角坐標系xOy中，以Ox為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知點A，B的橫坐標分別為eq\f(1,3)，eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求eq\f(tanα＋β－tanα,2＋2tanα＋β·tanα)的值．解析：(1)由題意，得cosα＝eq\f(1,3)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5).因為α，β為銳角，所以sinα＝eq\f(2\r(2),3)，sinβ＝eq\f(\r(5),5)，因為tanα＝2eq\r(2)，tanβ＝eq\f(1,2).所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2\r(2)＋\f(1,2),1－2\r(2)×\f(1,2))＝－eq\f(9＋5\r(2),2).(2)eq\f(tanα＋β－tanα,2＋2tanα＋β·tanα)＝eq\f(1,2)×eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋β·tanα)＝eq\f(1,2)×tan[(α＋β)－α]＝eq\f(1,2)×tanβ＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).11．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．解析：因為tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，所以tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq\f(2＋3,1－2×3)＝－1，tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝eq\f(tanα＋β－tanα－β,1＋tanα＋βtanα－β)＝eq\f(2－3,1＋2×3)＝－eq\f(1,7)，所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan2α＋tan2β＝－1－eq\f(1,7)＝－eq\f(8,7).12．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1))，且a，b共線，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3eq\r(5)cosφ，0<φ<eq\f(π,2)，求φ的值．解析：(1)∵a，b共線，∴sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2.∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3.(2)由(1)，知tanθ＝2，