高中數(shù)學(xué)人教B版3第三章統(tǒng)計(jì)案例

章末綜合測(cè)評(píng)(三)統(tǒng)計(jì)案例(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A.如果變量x與Y之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，則我們根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)將散布在某一條直線的附近B.如果兩個(gè)變量x與Y之間不存在著線性關(guān)系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫(xiě)出一個(gè)線性方程C.設(shè)x，Y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且Y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，b叫做回歸系數(shù)D.為使求出的線性回歸方程有意義，可用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法來(lái)判斷變量Y與x之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系【解析】任何一組(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都能寫(xiě)出一個(gè)線性方程，只是有的無(wú)意義.【答案】B2.下表是某廠1～4月份用水量(單位：百?lài)?的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y43由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))等于() 【解析】樣本點(diǎn)的中心為,，將其代入線性回歸方程可解得eq\o(a,\s\up6(^))＝.【答案】D3.對(duì)變量x，Y由觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得散點(diǎn)圖1①.對(duì)變量u，V由觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()①②圖1A.變量x與Y正相關(guān)，u與V正相關(guān)B.變量x與Y正相關(guān)，u與V負(fù)相關(guān)C.變量x與Y負(fù)相關(guān)，u與V正相關(guān)D.變量x與Y負(fù)相關(guān)，u與V負(fù)相關(guān)【解析】由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與Y負(fù)相關(guān)，u與V正相關(guān)，選C.【答案】C4.在下列各量與量之間的關(guān)系中是相關(guān)關(guān)系的是()①正方體的表面積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；②一塊農(nóng)田的小麥的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④家庭的收入與支出之間的關(guān)系；⑤某家庭用水量與水費(fèi)之間的關(guān)系.A.②③ B.③④C.④⑤ D.②③④【解析】①⑤屬于函數(shù)關(guān)系.【答案】D5.設(shè)有一個(gè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2＋10x，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)()平均減少2個(gè)單位 平均增加10個(gè)單位平均增加8個(gè)單位 平均減少10個(gè)單位【解析】10是斜率的估計(jì)值，說(shuō)明x每增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加10個(gè)單位.【答案】B6.在吸煙與患肺病這兩個(gè)事件是否相關(guān)的判斷中，下列說(shuō)法中正確的是()①若χ2>，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病；②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說(shuō)若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺??；③從統(tǒng)計(jì)量中得知在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.A.① B.①③C.③ D.②【解析】χ2是檢驗(yàn)吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無(wú)關(guān)的概率，故①不正確；②中對(duì)“確定容許推斷犯錯(cuò)誤概率的上界”理解錯(cuò)誤；③正確.【答案】C7.已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980070】\o(y,\s\up6(^))＝＋\o(y,\s\up6(^))＝2x－\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋\o(y,\s\up6(^))＝－＋【解析】因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3,的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除B，故選A.【答案】A8.在一次對(duì)性別與是否說(shuō)謊有關(guān)的調(diào)查中，得到如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到如下結(jié)論中正確的是()說(shuō)謊不說(shuō)謊合計(jì)男6713女8917合計(jì)141630A.在此次調(diào)查中有95%的把握認(rèn)為是否說(shuō)謊與性別有關(guān)B.在此次調(diào)查中有95%的把握認(rèn)為是否說(shuō)謊與性別無(wú)關(guān)C.在此次調(diào)查中有99%的把握認(rèn)為是否說(shuō)謊與性別有關(guān)D.在此次調(diào)查中沒(méi)有充分證據(jù)顯示說(shuō)謊與性別有關(guān)【解析】由表中數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(30×6×9－8×72,14×16×13×17)≈42<.因此沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為說(shuō)謊與性別有關(guān)，故選D.【答案】D9.甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門(mén)課程考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)甲班103545乙班73845合計(jì)177390利用獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)，你認(rèn)為推斷“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”錯(cuò)誤的概率介于() 【解析】∵χ2＝eq\f(90×10×38－7×352,45×45×17×73)＝eq\f(90×1352,2513025)≈7>，P(χ2≥＝，故選B.【答案】B10.以下是兩個(gè)變量x和Y的一組數(shù)據(jù)：x12345678Y1491625364964則這兩個(gè)變量間的線性回歸方程為()\o(y,\s\up6(^))＝x2 \o(y,\s\up6(^))＝eq\r(x)\o(y,\s\up6(^))＝9x－15 \o(y,\s\up6(^))＝15x－9【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)可知每一個(gè)Y值對(duì)應(yīng)一個(gè)x2值，故選A【答案】A11.以下關(guān)于線性回歸的判斷，正確的個(gè)數(shù)是()①若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線；②散點(diǎn)圖中的絕大多數(shù)點(diǎn)都線性相關(guān)，個(gè)別特殊點(diǎn)不影響線性回歸，如圖2中的A，B，C點(diǎn)；③已知回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則x＝25時(shí)，y的估計(jì)值為；④回歸直線方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢(shì).圖2 【解析】能使所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在它附近的直線不止一條，而據(jù)回歸直線的定義知，只有按最小二乘法求得回歸系數(shù)a，b得到的直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a才是回歸直線，∴①不對(duì)；②正確；將x＝25代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－，解得eq\o(y,\s\up6(^))＝，∴③正確；④正確.【答案】D12.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，下列結(jié)論中不正確的是()與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x),eq\x\to(y))C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為kg【解析】由回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－知y隨x的增大而增大，所以y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；由最小二乘法建立回歸方程的過(guò)程知eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))(eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))，所以回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))；利用回歸方程可以估計(jì)總體，D不正確.【答案】D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13.已知一回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋45，x∈{1,5,7,13,19}，則eq\x\to(y)＝________.【解析】因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋5＋7＋13＋19)＝9，且eq\x\to(y)＝\x\to(x)＋45，所以eq\x\to(y)＝×9＋45＝.【答案】14.某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持企業(yè)改革不贊成企業(yè)改革合計(jì)工作積極544094工作一般326395合計(jì)86103189對(duì)于人力資源部的研究項(xiàng)目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)試求χ2的觀測(cè)值為_(kāi)_______.【解析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(189×54×63－40×322,94×95×86×103)≈.【答案】15.某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，求得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間Y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980071】【解析】由表知eq\x\to(x)＝30，設(shè)模糊不清的數(shù)據(jù)為m，則eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(62＋m＋75＋81＋89)＝eq\f(307＋m,5)，因?yàn)閑q\x\to(y)＝\x\to(x)＋，即eq\f(307＋m,5)＝×30＋，解得m＝68.【答案】6816.某地區(qū)恩格爾系數(shù)Y(%)與年份x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份x2023202320232023恩格爾系數(shù)Y(%)4741從散點(diǎn)圖可以看出Y與x線性相關(guān)，且可得回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋4，據(jù)此模型可預(yù)測(cè)2023年該地區(qū)的恩格爾系數(shù)Y(%)為_(kāi)_______.【解析】由表可知eq\x\to(x)＝2，eq\x\to(y)＝.因?yàn)閑q\x\to(y)＝beq\x\to(x)＋4，即＝2＋4，所以b≈－2，所以回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋4，令x＝2015，得eq\o(y,\s\up6(^))＝.【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)高等教育事業(yè)有了迅速發(fā)展，有人記錄了某村2023到2023年10年間每年考入大學(xué)人數(shù)所占該年參加高考總?cè)藬?shù)的百分比，為了便于計(jì)算，把2023年編號(hào)為0,2023年編號(hào)為1，…，2023年編號(hào)為10.如果把每年考入大學(xué)人數(shù)占該年參加高考總?cè)藬?shù)的百分比作為因變量，把年份從0到10作為自變量進(jìn)行回歸分析，可得到下面三條回歸直線：農(nóng)村e(cuò)q\o(y,\s\up6(^))＝＋；縣鎮(zhèn)eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；城市eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(1)對(duì)于農(nóng)村青年來(lái)講，系數(shù)等于意味著什么？(2)在這10年間，農(nóng)村、縣鎮(zhèn)和城市哪一個(gè)的大學(xué)入學(xué)率增長(zhǎng)最快？(3)預(yù)測(cè)2023年縣鎮(zhèn)的入學(xué)率是多少？【解】(1)是回歸直線的斜率，意味著對(duì)于農(nóng)村考生，每年的入學(xué)率平均增長(zhǎng)%.(2)城市對(duì)應(yīng)回歸直線的斜率最大，所以城市的年入學(xué)率增長(zhǎng)最快.(3)y＝×14＋＝，故2023年縣鎮(zhèn)的入學(xué)率為%.18.(本小題滿分12分)為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對(duì)某年級(jí)學(xué)生作調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)較差合計(jì)興趣濃厚643094興趣不濃厚227395合計(jì)86103189學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？【解】由公式得：χ2＝eq\f(189×64×73－22×302,86×103×95×94)≈.∵>，∴有99%的把握說(shuō)，學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣與數(shù)學(xué)成績(jī)是有關(guān)的.19.(本小題滿分12分)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo)，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(元)89銷(xiāo)量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－成本)【解】(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(8＋＋＋＋＋9,6)＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.∵eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝80＋20×＝250，∴回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(33,4)))2＋，∴該產(chǎn)品的單位應(yīng)定為eq\f(33,4)元，工廠獲得的利潤(rùn)最大.20.(本小題滿分12分)對(duì)于表中的數(shù)據(jù)：x1234y(1)作散點(diǎn)圖，你從直觀上得到什么結(jié)論？(2)求線性回歸方程.【解】(1)如圖，x，y具有很好的線性相關(guān)性.(2)因?yàn)閑q\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝5，eq\i\su(i＝1,4,)xiyi＝60，eq\i\su(i＝1,4,)xeq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,)yeq\o\al(2,i)＝.故b＝eq\f(60－4××5,30－4×＝2，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－2×＝0，故所求的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x.21.(本小題滿分12分)某公司為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.圖3eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)xi－eq\x\to(x))2(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2(yi－eq\x\to(y))5631469表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,)wi(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z＝－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸線y＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),eq\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).【解】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(8))\o(,\s\do4(i＝1))wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(8))\o(,\s\do4(i＝1))wi－\x\to(w)2)＝eq\f,＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×＝，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68eq\r(49)＝，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝×－49＝.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝＋68eq\r(x))－x＝－x＋\r(x)＋.所以