第八章梁的彎曲

主編張明影副主編魏曉棠北京理工大學出版社國家示范性高等職業(yè)教育規(guī)劃教材第六章拉壓與剪切第五章材料力學的概念第八章梁的彎曲第七章圓軸的旋轉第二模塊材料力學第九章梁的變形第六章拉壓與剪切第十章壓桿穩(wěn)定第六章拉壓與剪切第五章材料力學的概念第八章梁的彎曲第二模塊材料力學第九章梁的變形第六章拉壓與剪切第十章壓桿穩(wěn)定第二模塊材料力學第八章梁的彎曲8.1工程中的彎曲問題8.2梁的計算簡圖8.3剪力和彎矩8.4剪力和彎矩方程

剪力圖和彎矩圖8.5梁對稱彎曲時的正應力8.6梁對稱彎曲時的切應力8.7梁的強度條件及應用8.8提高梁強度的措施第八章梁的彎曲8.1工程中的彎曲問題構件在各自的載荷作用下，其軸線將由原來的直線彎成曲線，此種變形稱為彎曲。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。圖8—1圖8—2第八章梁的彎曲

工程實際中，絕大部分梁的橫截面至少有一根對稱軸，全梁至少有一個縱向對稱面。使桿件產(chǎn)生彎曲變形的外力一定垂直于桿軸線，若這樣的外力又均作用在梁的某個縱向對稱面內（如圖8—3所示），則梁的軸線將彎成位于此對稱面內的一條平面曲線，此種彎曲稱為對稱彎曲。圖8—3縱向對稱面對稱軸軸線qpm第八章梁的彎曲8.2梁的計算簡圖一、載荷的簡化

一般可將載荷簡化為兩種形式。當載荷的作用范圍很小時，可將其簡化為集中載荷（如圖8-3中的集中力P、集中力偶m）。若載荷連續(xù)作用于梁上，則可將其簡化為分布載荷，呈均勻分布的載荷稱均布載荷（如圖8-3中的均布載荷q）。分布于單位長度上的載荷大小，稱為載荷集度，通常以q表示。國際單位制中，集度單位N/m，或KN/m。圖8—3縱向對稱面對稱軸軸線qpm第八章梁的彎曲8.2梁的計算簡圖二、實際約束的簡化a滑動鉸支座

這種支座只在支承處限定梁沿垂直于支座平面方向的位移，因此，只產(chǎn)生一個垂直于支座平面的約束力（圖8-4a）。b固定鉸支座

這種支座在支承處限定梁沿任何方向的位移，因此，可用兩個分力表示相應的約束力（圖8—4b）。圖8—4FxFyFyFyFxM或(a)(c)(b)第八章梁的彎曲C固定端

這種約束既限定梁端的線位移，也限定其角位移，因此，相應的約束力有三個：兩個約束分力，一個約束力偶（圖8—4c）。圖8—4FxFyFyFyFxM或(a)(c)(b)第八章梁的彎曲8.2梁的計算簡圖三、梁的類型

約束反力全部可以根據(jù)平衡方程直接確定，這樣的梁稱為靜定梁。根據(jù)約束的類型及其所處位置，可將靜定梁分為三種基本類型：a．簡支梁

一端為固定鉸支座，另一端為滑動鉸支座的梁。如圖8—1bb．外伸梁

簡支梁的一端或兩端外伸。如圖8—2b

c．懸臂梁

一端固定而另一端自由的梁。如圖8－5圖8—5q圖8—1圖8—2第八章梁的彎曲8.3剪力和彎矩

梁上的載荷及約束力確定后，即可利用截面法分析梁的內力，進而為計算梁的強度及剛度做好準備。

以圖8—6為例，用截面法分析C處截面的內力：

首先依據(jù)平衡條件確定約束力。因該梁結構及所受載荷對稱，故可直接求出約束力ＲAA１mq=20Ｎ/mmBC圖8—6ＲB0.2m第八章梁的彎曲

以一假想平面在C處將梁截開，選其中一部分（左段）為研究對象，分析AC段受力（如圖8－6）。AC段上作用著均布載荷q、約束力RA這樣的外載荷、及C截面的內力（BC段對AC段的作用力）。由平衡條件可知，C截面上一定存在沿鉛垂方向的內力，這種與截面平行的內力稱為剪力，以Fs表示。剪力的大小及實際方向由平衡方程確定：（C截面上剪力的實際方向向下）ＲAA１mq=20Ｎ/mmBC圖8—6ＲB0.2m第八章梁的彎曲

又由平衡條件

可知，C截面上一定存在另一個內力分量，即力偶。此力偶的作用面位于梁的對稱面，其矢量垂直于梁的軸線，此內力分量稱為彎矩，以M表示。彎矩的大小及實際方向由平衡方程確定：

注：一般將所求截面的形心作為力矩平衡方程的矩心（C截面彎矩的實際方向為逆時針）AQＲAqCM圖8—7第八章梁的彎曲

在上面以截面法計算彎曲內力的過程中，我們選取了左段作為研究對象，所求得的剪力與彎矩是C處左截面上的彎曲內力。若選取右段作為研究對象，所求得的彎曲內力則為C處右截面的內力，而左、右截面上剪力、彎矩的方向一定是相反的（因其為作用力與反作用力的關系），如圖8—8所示。

因此，有必要對彎曲內力的符號做如下規(guī)定：使研究段產(chǎn)生順時針旋轉趨勢的剪力為正，反之為負；使保留段產(chǎn)生下凸變形的彎矩為正，反之為負。如圖8-8,8-9所示。圖8-8圖8-9第八章梁的彎曲

綜上所述，可將計算彎曲內力的方法概括如下：

1、在需要計算內力的截面處，以一個假想的平面將梁切開，選其中一段為研究對象（一般選擇載荷較少的部分為研究對象，以便于計算）2、對研究對象進行受力分析，此時，一般按正方向畫出剪力與彎矩。3、由平衡方程

計算剪力Fs4、以所切截面形心為矩心，由平衡方程

計算彎矩。第八章梁的彎曲

8.4剪力和彎矩方程

剪力圖和彎矩圖梁橫截面上的剪力與彎矩是隨截面的位置而變化的。在計算梁的強度及剛度時，必須了解剪力及彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，從而找出最大剪力與最大彎矩的數(shù)值及其所在的截面位置。沿梁軸方向選取坐標x，以此表示各橫截面的位置，建立梁內各橫截面的剪力、彎矩與x的函數(shù)關系，即

上述關系式分別稱為剪力方程和彎矩方程。若以x為橫坐標，以Q或M為縱坐標，將剪力、彎矩方程所對應的圖線繪出來，即可得到剪力圖與彎矩圖。第八章梁的彎曲

例8—1．一懸臂梁AB（圖8—9a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力圖及彎矩圖。解：（1）列剪力方程與彎矩方程

以A為坐標原點，在距原點x處將梁截開，取左段梁為研究對象，其受力分析如圖8—10b

由平衡方程求x截面的剪力與彎矩(b)ABPxLxAQPOM（x）PQxMxPL(c)(d)(a)圖8—10（2）依據(jù)剪力方程與彎矩方程作出剪力圖與彎矩圖

由剪力方程可知，梁各截面的剪力不變，因此剪力圖為一條水平直線。如圖8—10c

由彎矩方程可知，彎矩是x的一次函數(shù)。如圖8-10d第八章梁的彎曲

例8—2．一簡支梁AB受集度為q的均布載荷作用（圖8—10a）。作此梁的剪力圖與彎矩圖。ql2/8ＲAＲAAlqBＲBxAQqoMxql/2ql/2（b）（c）（d）（a）圖8—10解：(1)求支座反力(2)列剪力方程與彎矩方程

在距A點x處截取左段梁為研究對象，其受力如圖9—10b。由平衡方程得由得第八章梁的彎曲

（3）畫剪力圖與彎矩圖

由剪力方程可知剪力圖為一斜直線。（兩點確定一線：x=0時，Q=ql/2；x=l時，Q=-ql/2）如圖8—10c

由彎矩方程可知彎矩圖為一拋物線：拋物線上凸；在x=l/2處，彎矩有極值，Mmax=ql2/8；x=0及x=l時，M=0。如圖8—10d

由剪力圖及彎矩圖可見，在靠近兩支座的橫截面上剪力的絕對值最大。在梁的中點截面上，剪力為零，而彎矩最大。ql2/8ＲAＲAAlqBＲBxAQqoMxql/2ql/2（b）（c）（d）（a）圖8—10第八章梁的彎曲

例8—3．圖8—12a所示簡支梁，在截面C處受集中力P作用，試作梁的剪力圖與彎矩圖。解：1、計算支反力。由平衡方程BＲBx2Q2M2圖8—12bＲAAlPBCＲBx1x2a(a)AＲAx1Q1M1ap/lbp/lPab/l(b)(c)(d)(e)和分別求得：2、建立剪力方程與彎矩方程由于C處有集中力P作用，故AC和BC兩段梁的剪力方程和彎矩方程不同，必須分別列出。第八章梁的彎曲

BC段：為計算簡便，以B為原點，在距B點X2處截取梁的右段作為研究對象，其受力如圖9—11c所示。根據(jù)平衡條件分別得：

AC段：以A為原點，在距A點X1處截取左段梁作為研究對象，其受力如圖8—11b所示。根據(jù)平衡條件分別得第八章梁的彎曲

3、畫剪力圖與彎矩圖

根據(jù)AC、BC兩段各自的剪力方程與彎矩方程，分別畫出AC、BC兩段梁的剪力圖與彎矩圖。圖8—12d、8—12e可以看出，截面C的彎矩最大。如果a＞b，則BC段的剪力的絕對值最大。

結論：

在集中力作用處，其左、右兩側橫截面上的彎矩相同，而剪力則發(fā)生突變，突變量等于該集中力之值。BＲBx2Q2M2圖8—12bＲAAlPBCＲBx1x2a(a)AＲAx1Q1M1ap/lbp/lPab/l(b)(c)(d)(e)第八章梁的彎曲

例8—4．圖8—13a所示簡支梁，在截面C處受到矩為m的集中力偶作用，試作梁的剪力圖與彎矩圖。解：1、計算支反力。由平衡方程與分別求得：(c)bＲAAlmBCＲBx1x2a(a)ma/lmb/lm/l(b)圖8—132、建立剪力方程與彎矩方程分別于C—與C+處將梁截開，分別取左段與右段為研究對象，并分別以Q1

、M1和Q2、M2代表它們各自的內力，可求得：

AＲAx1Q1M1BＲBx2Q2M2m第八章梁的彎曲

3、畫剪力圖與彎矩圖根據(jù)剪力方程及彎矩方程，可作出如圖7—12b、c所示的剪力圖與彎矩圖。

結論：

在集中力偶作用處，其左右兩側橫截面上的剪力相同，但彎矩則發(fā)生突變，突變量等于該集中力偶之矩。第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力

圖8—14a所示簡支梁，在P力作用下，產(chǎn)生對稱彎曲。觀察圖8—14b、c所示的該梁的剪力圖與彎矩圖，CD段梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零，我們稱這種彎曲為純彎曲。AC、BD段梁的各橫截面上同時有剪力與彎矩，這種彎曲稱為橫力彎曲。為了更集中地分析正應力與彎矩的關系，下面我們將以純彎曲為研究對象，去分析梁橫截面上的正應力。（a）圖8—14QADBCPPM（b）（c）第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力一、純彎梁橫截面上的正應力1．純彎曲的實驗現(xiàn)象及相關假設

為了研究橫截面上的正應力，我們首先觀察在外力作用下梁的彎曲變形現(xiàn)象：取一根矩形截面梁，在梁的兩端沿其縱向對稱面，施加一對大小相等、方向相反的力偶，即使梁發(fā)生純彎曲（圖8—15）。我們觀察到如下的實驗現(xiàn)象：圖8—15第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力（1）梁表面的縱向直線均彎曲成弧線，而且，靠頂面的縱線縮短，靠底面的縱線拉長，而位于中間位置的縱線長度不變。（2）

橫向直線仍為直線，只是橫截面間作相對轉動，但仍與縱線正交。（3）

在縱向拉長區(qū)，梁的寬度略減小，在縱向縮短區(qū)，梁的寬度略增大。根據(jù)上述表面變形現(xiàn)象，我們對梁內部的變形及受力作如下假設：（1）梁的橫截面在梁變形后仍保持為平面，且仍與梁軸線正交。此為平面假設。（2）梁的所有與軸線平行的縱向纖維都是軸向拉長或縮短（即縱向纖維之間無相互擠壓）。此為單向受力假設。第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力我們將與底層平行、縱向長度不變的那層縱向纖維稱為中性層。中性層即為梁內縱向纖維伸長區(qū)與縱向纖維縮短區(qū)的分界層。中性層與橫截面的交線被稱為中性軸。概括起來就是：純彎梁變形時，所有橫截面均保持為平面，只是繞各自的中性軸轉過一角度，各縱向纖維承受縱向力，橫截面上各點只有拉應力或壓應力。第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力2.純彎梁變形的幾何規(guī)律

我們用相距為dx的兩橫截面1—1與2—2，從矩形截面的純彎梁中切取一微段作為分析對象（如圖8—16a），并建立圖示坐標系：z軸沿中性軸，y軸沿截面對稱軸。梁彎曲后，設1—1與2—2截面間的相對轉角為dθ、中性層O1O2的曲率半徑為ρ，我們分析距中性層為y處的縱線ab的變形量：圖8—161122O1yO2xabdxdθρy1122O1O2abzy中性軸（a）（b）第八章梁的彎曲

故ab縱線的正應變則為：上式表明：每層縱向纖維的正應變與其到中性層的距離成線形關系。3、物理方程與應力分布

由于各縱向纖維只承受軸向拉伸或壓縮，于是在正應力不超過比例極限時，由虎克定律知

（8—1）

（8—2）圖8—161122O1yO2xabdxdθρy1122O1O2abzy中性軸（a）（b）

上式表明了橫截面上正應力的分布規(guī)律，即正應力沿截面高度呈線形分布，而中性軸上各點的正應力為零。如圖8—17σ-maxσ+max中性軸圖8—17第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力4．靜力學關系

如圖8—18所示，橫截面上各處的法向微內力бdA組成一空間平行力系，而且，由于橫截面上沒有軸力，只有位于梁對成面內的彎矩M，因此：xzyyбdAc圖8—18M得：即

由靜力學知道，截面形心C的y坐標為

（8—3）

（8—5）

（8—4）將式（8—5）代入得由此可見，中性軸過截面形心。第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力再將式（8—2）代入式（8—4），并令得（8—6）由此可知，中性層的曲率為：（8—7）

式中，Iz為截面對Z軸的慣性矩，它是僅與截面形狀及尺寸有關的幾何量。由（8—2）式可知，中性層的曲率1/ρ與彎矩M成正比，與EIz成反比?？梢姡珽Iz的大小直接決定了梁抵抗變形的能力，因此我們稱EIz為梁的截面抗彎剛度，簡稱為抗彎剛度。第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力

通過以上推導，我們得知了梁彎曲后中性軸的位置及中性層的曲率半徑。將（8—7）式代入（8—2）中，即可得橫截面上任一點的正應力計算公式：（8—8）

彎矩為正時，中性層以下屬拉伸區(qū)，產(chǎn)生拉應力；中性層以上部分屬壓縮區(qū)，產(chǎn)生壓應力。彎矩為負時，情況則相反。第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力二、常見截面的慣性矩、抗彎截面系數(shù)及組合截面的慣性矩1、常見截面的慣性矩（1）矩形截面的慣性矩Iz

。圖8—19所示矩形截面，其高、寬分別為h、b，z軸通過截面形心C并平行于矩形底邊。為求該截面對z軸的慣性矩，在截面上距z軸為y處取一微元面積（圖中陰影部分），其面積dA=bdy，根據(jù)慣性矩定義有：b/2b/2Cydyzyh/2h/2圖8—19同理可得截面對y軸的慣性矩：（8—9）第八章梁的彎曲

8.5梁對稱彎曲時的正應力圖8—20dzyρyzc

（2）圓形截面的慣性矩Iz

圖8—20所示直徑為d的圓形截面，Z、y軸均過形心C。因為圓形對任意直徑都是對稱的。因此有Iz=Iy。在圓截面上取微面積dA，因為

，于是，圓截面對中心的極慣性矩IP與其對中性軸的慣性矩Iz有如下關系：（8—10）同理，空心圓截面對中性軸的慣性矩為（8—11）故有：式中D為空心圓截面的外徑，α為內、外徑的比值。第八章梁的彎曲

式中，Iz/ymax是只與截面的形狀及尺寸相關的幾何量，稱其為抗彎截面模量，用Wz表示，即

（8—12）因此，最大彎曲正應力即為

（8—13）（1）矩形截面抗彎截面系數(shù)（8—14）（2）圓形截面抗彎截面系數(shù)（8—15）同理，空心圓截面的抗彎截面系數(shù)（8—16）2、抗彎截面系數(shù)由公式8—8可知，當y=ymax時，即截面上離中性軸最遠的各點處，彎曲正應力最大，其值為：第八章梁的彎曲

3、組合截面的慣性矩

在工程實際中，許多構件的橫截面是由簡單圖形組合而成的，對這種組合截面，我們用組合法計算其慣性矩。即將組合截面A劃分為n個簡單圖形，設每個簡單圖形面積分別為A1，A2、……An。根據(jù)慣性矩定義及積分的概念，組合截面A對某一軸的慣性矩等于每個簡單圖形對同一軸的慣性矩之和，即：（8—17）式8—17即為慣性矩的組合公式。第八章梁的彎曲

如圖8—21，z軸過組合截面的形心，欲求組合截面對z軸的慣性矩Iz，則可將組合截面劃分為三個矩形（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），每個矩形對z軸的慣性矩之和，即為Iz。以矩形Ⅰ為例，z0軸過其形心，欲求其對z軸的慣性矩，則需知道矩形Ⅰ對z0、z這兩個平行軸的兩個慣性矩之間的關系。下面我們將推導這種關系：zz0ⅠⅡⅢ圖8—21第八章梁的彎曲

圖8—22中，C為截面形心，z軸與z0軸平行且相距為d，微面積dA在y-z、y0-z0坐標系中的縱坐標分別y、y0，根據(jù)慣性矩定義有：zyz0y0yy0d圖8—22CdA上式展開得：因z0通過形心C，故：=0于是得出結論：此式即為平行移軸定理（截面對形心軸的慣性矩最?。?/p>

（8—18）第八章梁的彎曲

例8—5．圖8—23所示為T字形截面，求截面對形心軸zC的慣性矩Iz。

解：（1）確定界面形心C的位置建立坐標系Oyz,將截面分為兩個矩形Ⅰ、Ⅱ，其面積及各自的形心縱坐標分別為：A1＝60×20＝1200mm2yC1＝20/2＝10mmA2=40×20＝800mm2yC2＝40/2＋20＝40mm由形心計算公式，組合截面形心C的縱坐標為：20204060COⅠⅡyyCZZC圖8—23（2）求截面對形心軸zC的慣性矩Iz。根據(jù)組合公式8—17有：由平移軸公式8—13有：故有：第八章梁的彎曲

三、橫力彎曲時梁的正應力計算大量的理論計算與實驗結果表明：只要梁是細長的，例如l/h>5（梁的跨高之比大于5），剪力對彎曲正應力的影響將是很小的，可以忽略不計。因此，應用公式8—3計算橫力彎曲時的正應力，其值仍然是準確的。（8—8）第八章梁的彎曲

例8—6．圖8—24a所示矩形截面懸臂梁，承受均布載荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。試求B截面上c、d兩點的正

應力。解：（1）求B截面上的彎矩由截面法（AB受力分析如圖8—11b），求得：圖8—24lqABQBqABMBbhcdh/2zy（b）（a）（2）求B截面上c、d處的正應力。由公式8—8，有：

因B截面上的彎矩為負，故橫截面上中性軸z以上各點產(chǎn)生拉應力、以下各點產(chǎn)生壓應力。所以，C點處為拉應力，d點處為壓應力。第八章梁的彎曲

例8—7．求圖8—25所示鑄鐵懸臂梁內最大拉應力及最大壓應力。P=20KN，Iz=10200cm4。ABCP2P96.45050200150yz解：（1）畫彎矩圖，確定危險面因為梁是等截面的，且橫截面相對z軸不對稱，鑄鐵的抗拉能力與抗壓能力又不同，故絕對值最大的正、負彎矩所在面均可能為梁的危險面。彎矩圖如圖8—25b

（2）確定危險點，計算最大拉應力與最大壓應力。由彎矩圖看出，A、B兩截面均可能為危險面。A、B截面正應力分布如圖8—25c。(a)12KNm16KNmy2y1MAy2y1MA圖8—25(b)(c)第八章梁的彎曲

顯然，A截面上的最大拉應力要大于B截面上的最大拉應力，故梁內最大拉應力發(fā)生在A截面下邊緣各點處，其值為：

對A、B兩截面，需經(jīng)計算，才能得知哪個截面上的最大壓應力更大：

由此可見，梁內最大壓應力發(fā)生在B截面的下邊緣各點處。第八章梁的彎曲

8.6梁對稱彎曲時的切應力圖8—27所示矩形截面梁，高為h,寬為b，截面上的剪力為Q(圖中未畫出彎矩)。根據(jù)剪應力互等定理可知，在截面的兩側邊緣，剪應力的方向一定平行于截面?zhèn)冗?。根?jù)局部梁的平衡條件，可推出梁橫截面上y處的剪應力為：yzybhQ(中性軸)圖8—27ωyC(8—19)式中，Q為橫截面上的剪力；b為橫截面上所求應力點處的寬度；Iz為整個橫截面對中性軸的慣性矩第八章梁的彎曲

Sz（ω）為y處橫線一側的部分橫截面ω對中性軸的靜矩。將上式及Iz=bh3/12代入式8—14，得：上式表明，矩形截面梁的彎曲剪應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化；在截面的上、下邊緣（y=±h/2），τ=0；在中性軸處（y=0）,剪應力最大，其值為即最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。（8—20）(8—21)

根據(jù)以上分析，可畫出沿橫截面高度方向的剪應力分布圖

（

如圖8—14）圖8—14ybhczyτmax第八章梁的彎曲

例8—8.試計算圖8—29所示工字形截面梁內的最大剪應力。

解：（1）畫梁的剪力圖。最大剪力為15KN

（2）查表得No16工字鋼的截面幾何數(shù)據(jù)b=6mm

Iz/Sz(ω)=13.8cm

（3）計算應力5KN10KN15KN圖8—29第八章梁的彎曲

8.7梁的強度條件及應用1、彎曲強度條件

在一般載荷作用下的細長、非薄壁截面梁，彎矩對強度的影響，要遠大于剪力的影響。因此，對細長非薄壁梁進行強度計算時，主要是限制彎矩所引起的梁內最大彎曲正應力不得超過材料的許用正應力，即：（8—22）此式為彎曲強度條件第八章梁的彎曲

8.7梁的強度條件及應用2、強度條件的應用在進行強度計算時，一般應遵循下列步驟：（1）分析梁的受力，依據(jù)平衡條件確定約束力；分析梁的內力（畫出彎矩圖）（2）依據(jù)彎矩圖及截面沿梁軸線變化的情況，確定可能的危險面：對等截面梁，彎矩最大截面即為危險面。對變截面梁，則需依據(jù)彎矩及截面變化情況，才能確定危險面。（3）確定危險點：對于拉、壓力學性能相同的材料（如鋼材），其最大拉應力點和最大壓應力點具有同樣的危險程度，因此，危險點顯然位于危險面上離中性軸最遠處。而對于拉、壓力學性能不等的材料（如鑄鐵），則需分別計算梁內絕對值最大的拉應力與壓應力。（4）依據(jù)強度條件，進行強度計算。第八章梁的彎曲

例8—9．一原起重量為50KN的單梁吊車，其跨度l=10.5m（其計算簡圖如圖8—30a），由45a號工字鋼制成。而現(xiàn)擬將其重量提高到Q=70KN，試校核梁的強度。若強度不夠，再計算其可能承受的起重量。梁的材料為A3鋼，許用應力[σ]=140MPa；電葫蘆自重G=15KN，暫不考慮梁的自重。圖8-30lQ+G(a)(b)（Q+G）l/4解：（1）做彎矩圖，確定危險面顯然，當電葫蘆行至梁中點時所引起的彎矩最大，此時彎矩如圖8—30b。由彎矩圖可知，危險面為中點處的截面，其彎矩為

第八章梁的彎曲

（2）計算最大彎曲正應力

等截面梁，且截面（如工字鋼、矩形、圓形）關于中性軸對稱，此類梁的最大彎曲正應力顯然發(fā)生在危險截面（最大彎矩處）的上下邊緣點處。由型鋼表查得45a號工字鋼的抗彎截面模量故梁內最大工作正應力為（3）依據(jù)強度條件，進行強度計算顯然，最大工作應力超過了材料的許用應力，故梁不安全。梁的最大承載能力：

因此，梁的最大起重量為61.3KN。第八章梁的彎曲

例8—10．圖8—31a所示簡支梁，受均布載荷q作用，梁跨度l=2m，[σ]=140MPa，q=2KN/m，試按以下兩個方案設計軸的截面尺寸，并比較重量。（1）實心圓截面梁

（2）空心圓截面梁，其內、外徑之比α=0.9。qlql2/8（a）解：畫梁的彎矩圖（如圖8—31b），由彎矩圖可知，梁中點截面為危險截面，其上彎矩值為：圖8—31（b）（1）設計實心截面梁的直徑d。

依據(jù)強度條件：將

代入解得取d=42mm第八章梁的彎曲

（2）.確定空心截面梁的內、外徑d1及D將代入強度條件解得

取D=60mm,則d1=0.9D=54mm（3）.比較兩種不同截面梁的重量

因材料及長度相同，故兩種截面梁的重量之比等于其截面積之比。

重量比=

計算結果表明:空心截面梁的重量比實心截面梁的重量小很多。因此，在滿足強度要求的前提下，采用空心截面梁，可節(jié)省材料、減輕結構重量。第八章梁的彎曲

在下列幾種特殊情況下，則應同時考慮彎曲正應力強度條件及剪應力強度條件。因為這類特殊情況下，梁內往往產(chǎn)生較大的彎曲剪應力。（1）薄壁截面梁（2）彎矩較小而剪力較大的梁，如短而粗的梁（3）集中載荷作用于支座附近的梁第八章梁的彎曲

8.8提高梁強度的措施1、選擇合理的截面形狀合理的截面形狀，就是用最少的材料獲得最大的抗彎截面模量的截面。一般情況下，抗彎截面模量與截面高度的平方成正比，因此，在橫截面積不變的前提下，將較多材料配置在遠離中性軸的部位，便可獲取較大的抗彎截面模量，從而降低梁內的最大彎曲正應力。

在設計梁的合理截面時，還應考慮材料自身特性。對抗拉強度與抗壓強度相同的塑性材料，宜采用