第八章梁的彎曲

主編張明影副主編魏曉棠北京理工大學(xué)出版社國(guó)家示范性高等職業(yè)教育規(guī)劃教材第六章拉壓與剪切第五章材料力學(xué)的概念第八章梁的彎曲第七章圓軸的旋轉(zhuǎn)第二模塊材料力學(xué)第九章梁的變形第六章拉壓與剪切第十章壓桿穩(wěn)定第六章拉壓與剪切第五章材料力學(xué)的概念第八章梁的彎曲第二模塊材料力學(xué)第九章梁的變形第六章拉壓與剪切第十章壓桿穩(wěn)定第二模塊材料力學(xué)第八章梁的彎曲8.1工程中的彎曲問(wèn)題8.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖8.3剪力和彎矩8.4剪力和彎矩方程

剪力圖和彎矩圖8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力8.6梁對(duì)稱彎曲時(shí)的切應(yīng)力8.7梁的強(qiáng)度條件及應(yīng)用8.8提高梁強(qiáng)度的措施第八章梁的彎曲8.1工程中的彎曲問(wèn)題構(gòu)件在各自的載荷作用下，其軸線將由原來(lái)的直線彎成曲線，此種變形稱為彎曲。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。圖8—1圖8—2第八章梁的彎曲

工程實(shí)際中，絕大部分梁的橫截面至少有一根對(duì)稱軸，全梁至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面。使桿件產(chǎn)生彎曲變形的外力一定垂直于桿軸線，若這樣的外力又均作用在梁的某個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)（如圖8—3所示），則梁的軸線將彎成位于此對(duì)稱面內(nèi)的一條平面曲線，此種彎曲稱為對(duì)稱彎曲。圖8—3縱向?qū)ΨQ面對(duì)稱軸軸線qpm第八章梁的彎曲8.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖一、載荷的簡(jiǎn)化

一般可將載荷簡(jiǎn)化為兩種形式。當(dāng)載荷的作用范圍很小時(shí)，可將其簡(jiǎn)化為集中載荷（如圖8-3中的集中力P、集中力偶m）。若載荷連續(xù)作用于梁上，則可將其簡(jiǎn)化為分布載荷，呈均勻分布的載荷稱均布載荷（如圖8-3中的均布載荷q）。分布于單位長(zhǎng)度上的載荷大小，稱為載荷集度，通常以q表示。國(guó)際單位制中，集度單位N/m，或KN/m。圖8—3縱向?qū)ΨQ面對(duì)稱軸軸線qpm第八章梁的彎曲8.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖二、實(shí)際約束的簡(jiǎn)化a滑動(dòng)鉸支座

這種支座只在支承處限定梁沿垂直于支座平面方向的位移，因此，只產(chǎn)生一個(gè)垂直于支座平面的約束力（圖8-4a）。b固定鉸支座

這種支座在支承處限定梁沿任何方向的位移，因此，可用兩個(gè)分力表示相應(yīng)的約束力（圖8—4b）。圖8—4FxFyFyFyFxM或(a)(c)(b)第八章梁的彎曲C固定端

這種約束既限定梁端的線位移，也限定其角位移，因此，相應(yīng)的約束力有三個(gè)：兩個(gè)約束分力，一個(gè)約束力偶（圖8—4c）。圖8—4FxFyFyFyFxM或(a)(c)(b)第八章梁的彎曲8.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖三、梁的類型

約束反力全部可以根據(jù)平衡方程直接確定，這樣的梁稱為靜定梁。根據(jù)約束的類型及其所處位置，可將靜定梁分為三種基本類型：a．簡(jiǎn)支梁

一端為固定鉸支座，另一端為滑動(dòng)鉸支座的梁。如圖8—1bb．外伸梁

簡(jiǎn)支梁的一端或兩端外伸。如圖8—2b

c．懸臂梁

一端固定而另一端自由的梁。如圖8－5圖8—5q圖8—1圖8—2第八章梁的彎曲8.3剪力和彎矩

梁上的載荷及約束力確定后，即可利用截面法分析梁的內(nèi)力，進(jìn)而為計(jì)算梁的強(qiáng)度及剛度做好準(zhǔn)備。

以圖8—6為例，用截面法分析C處截面的內(nèi)力：

首先依據(jù)平衡條件確定約束力。因該梁結(jié)構(gòu)及所受載荷對(duì)稱，故可直接求出約束力ＲAA１mq=20Ｎ/mmBC圖8—6ＲB0.2m第八章梁的彎曲

以一假想平面在C處將梁截開，選其中一部分（左段）為研究對(duì)象，分析AC段受力（如圖8－6）。AC段上作用著均布載荷q、約束力RA這樣的外載荷、及C截面的內(nèi)力（BC段對(duì)AC段的作用力）。由平衡條件可知，C截面上一定存在沿鉛垂方向的內(nèi)力，這種與截面平行的內(nèi)力稱為剪力，以Fs表示。剪力的大小及實(shí)際方向由平衡方程確定：（C截面上剪力的實(shí)際方向向下）ＲAA１mq=20Ｎ/mmBC圖8—6ＲB0.2m第八章梁的彎曲

又由平衡條件

可知，C截面上一定存在另一個(gè)內(nèi)力分量，即力偶。此力偶的作用面位于梁的對(duì)稱面，其矢量垂直于梁的軸線，此內(nèi)力分量稱為彎矩，以M表示。彎矩的大小及實(shí)際方向由平衡方程確定：

注：一般將所求截面的形心作為力矩平衡方程的矩心（C截面彎矩的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r(shí)針）AQＲAqCM圖8—7第八章梁的彎曲

在上面以截面法計(jì)算彎曲內(nèi)力的過(guò)程中，我們選取了左段作為研究對(duì)象，所求得的剪力與彎矩是C處左截面上的彎曲內(nèi)力。若選取右段作為研究對(duì)象，所求得的彎曲內(nèi)力則為C處右截面的內(nèi)力，而左、右截面上剪力、彎矩的方向一定是相反的（因其為作用力與反作用力的關(guān)系），如圖8—8所示。

因此，有必要對(duì)彎曲內(nèi)力的符號(hào)做如下規(guī)定：使研究段產(chǎn)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)；使保留段產(chǎn)生下凸變形的彎矩為正，反之為負(fù)。如圖8-8,8-9所示。圖8-8圖8-9第八章梁的彎曲

綜上所述，可將計(jì)算彎曲內(nèi)力的方法概括如下：

1、在需要計(jì)算內(nèi)力的截面處，以一個(gè)假想的平面將梁切開，選其中一段為研究對(duì)象（一般選擇載荷較少的部分為研究對(duì)象，以便于計(jì)算）2、對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，此時(shí)，一般按正方向畫出剪力與彎矩。3、由平衡方程

計(jì)算剪力Fs4、以所切截面形心為矩心，由平衡方程

計(jì)算彎矩。第八章梁的彎曲

8.4剪力和彎矩方程

剪力圖和彎矩圖梁橫截面上的剪力與彎矩是隨截面的位置而變化的。在計(jì)算梁的強(qiáng)度及剛度時(shí)，必須了解剪力及彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，從而找出最大剪力與最大彎矩的數(shù)值及其所在的截面位置。沿梁軸方向選取坐標(biāo)x，以此表示各橫截面的位置，建立梁內(nèi)各橫截面的剪力、彎矩與x的函數(shù)關(guān)系，即

上述關(guān)系式分別稱為剪力方程和彎矩方程。若以x為橫坐標(biāo)，以Q或M為縱坐標(biāo)，將剪力、彎矩方程所對(duì)應(yīng)的圖線繪出來(lái)，即可得到剪力圖與彎矩圖。第八章梁的彎曲

例8—1．一懸臂梁AB（圖8—9a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力圖及彎矩圖。解：（1）列剪力方程與彎矩方程

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，在距原點(diǎn)x處將梁截開，取左段梁為研究對(duì)象，其受力分析如圖8—10b

由平衡方程求x截面的剪力與彎矩(b)ABPxLxAQPOM（x）PQxMxPL(c)(d)(a)圖8—10（2）依據(jù)剪力方程與彎矩方程作出剪力圖與彎矩圖

由剪力方程可知，梁各截面的剪力不變，因此剪力圖為一條水平直線。如圖8—10c

由彎矩方程可知，彎矩是x的一次函數(shù)。如圖8-10d第八章梁的彎曲

例8—2．一簡(jiǎn)支梁AB受集度為q的均布載荷作用（圖8—10a）。作此梁的剪力圖與彎矩圖。ql2/8ＲAＲAAlqBＲBxAQqoMxql/2ql/2（b）（c）（d）（a）圖8—10解：(1)求支座反力(2)列剪力方程與彎矩方程

在距A點(diǎn)x處截取左段梁為研究對(duì)象，其受力如圖9—10b。由平衡方程得由得第八章梁的彎曲

（3）畫剪力圖與彎矩圖

由剪力方程可知剪力圖為一斜直線。（兩點(diǎn)確定一線：x=0時(shí)，Q=ql/2；x=l時(shí)，Q=-ql/2）如圖8—10c

由彎矩方程可知彎矩圖為一拋物線：拋物線上凸；在x=l/2處，彎矩有極值，Mmax=ql2/8；x=0及x=l時(shí)，M=0。如圖8—10d

由剪力圖及彎矩圖可見，在靠近兩支座的橫截面上剪力的絕對(duì)值最大。在梁的中點(diǎn)截面上，剪力為零，而彎矩最大。ql2/8ＲAＲAAlqBＲBxAQqoMxql/2ql/2（b）（c）（d）（a）圖8—10第八章梁的彎曲

例8—3．圖8—12a所示簡(jiǎn)支梁，在截面C處受集中力P作用，試作梁的剪力圖與彎矩圖。解：1、計(jì)算支反力。由平衡方程BＲBx2Q2M2圖8—12bＲAAlPBCＲBx1x2a(a)AＲAx1Q1M1ap/lbp/lPab/l(b)(c)(d)(e)和分別求得：2、建立剪力方程與彎矩方程由于C處有集中力P作用，故AC和BC兩段梁的剪力方程和彎矩方程不同，必須分別列出。第八章梁的彎曲

BC段：為計(jì)算簡(jiǎn)便，以B為原點(diǎn)，在距B點(diǎn)X2處截取梁的右段作為研究對(duì)象，其受力如圖9—11c所示。根據(jù)平衡條件分別得：

AC段：以A為原點(diǎn)，在距A點(diǎn)X1處截取左段梁作為研究對(duì)象，其受力如圖8—11b所示。根據(jù)平衡條件分別得第八章梁的彎曲

3、畫剪力圖與彎矩圖

根據(jù)AC、BC兩段各自的剪力方程與彎矩方程，分別畫出AC、BC兩段梁的剪力圖與彎矩圖。圖8—12d、8—12e可以看出，截面C的彎矩最大。如果a＞b，則BC段的剪力的絕對(duì)值最大。

結(jié)論：

在集中力作用處，其左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩相同，而剪力則發(fā)生突變，突變量等于該集中力之值。BＲBx2Q2M2圖8—12bＲAAlPBCＲBx1x2a(a)AＲAx1Q1M1ap/lbp/lPab/l(b)(c)(d)(e)第八章梁的彎曲

例8—4．圖8—13a所示簡(jiǎn)支梁，在截面C處受到矩為m的集中力偶作用，試作梁的剪力圖與彎矩圖。解：1、計(jì)算支反力。由平衡方程與分別求得：(c)bＲAAlmBCＲBx1x2a(a)ma/lmb/lm/l(b)圖8—132、建立剪力方程與彎矩方程分別于C—與C+處將梁截開，分別取左段與右段為研究對(duì)象，并分別以Q1

、M1和Q2、M2代表它們各自的內(nèi)力，可求得：

AＲAx1Q1M1BＲBx2Q2M2m第八章梁的彎曲

3、畫剪力圖與彎矩圖根據(jù)剪力方程及彎矩方程，可作出如圖7—12b、c所示的剪力圖與彎矩圖。

結(jié)論：

在集中力偶作用處，其左右兩側(cè)橫截面上的剪力相同，但彎矩則發(fā)生突變，突變量等于該集中力偶之矩。第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力

圖8—14a所示簡(jiǎn)支梁，在P力作用下，產(chǎn)生對(duì)稱彎曲。觀察圖8—14b、c所示的該梁的剪力圖與彎矩圖，CD段梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零，我們稱這種彎曲為純彎曲。AC、BD段梁的各橫截面上同時(shí)有剪力與彎矩，這種彎曲稱為橫力彎曲。為了更集中地分析正應(yīng)力與彎矩的關(guān)系，下面我們將以純彎曲為研究對(duì)象，去分析梁橫截面上的正應(yīng)力。（a）圖8—14QADBCPPM（b）（c）第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力一、純彎梁橫截面上的正應(yīng)力1．純彎曲的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及相關(guān)假設(shè)

為了研究橫截面上的正應(yīng)力，我們首先觀察在外力作用下梁的彎曲變形現(xiàn)象：取一根矩形截面梁，在梁的兩端沿其縱向?qū)ΨQ面，施加一對(duì)大小相等、方向相反的力偶，即使梁發(fā)生純彎曲（圖8—15）。我們觀察到如下的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：圖8—15第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力（1）梁表面的縱向直線均彎曲成弧線，而且，靠頂面的縱線縮短，靠底面的縱線拉長(zhǎng)，而位于中間位置的縱線長(zhǎng)度不變。（2）

橫向直線仍為直線，只是橫截面間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但仍與縱線正交。（3）

在縱向拉長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度略減小，在縱向縮短區(qū)，梁的寬度略增大。根據(jù)上述表面變形現(xiàn)象，我們對(duì)梁內(nèi)部的變形及受力作如下假設(shè)：（1）梁的橫截面在梁變形后仍保持為平面，且仍與梁軸線正交。此為平面假設(shè)。（2）梁的所有與軸線平行的縱向纖維都是軸向拉長(zhǎng)或縮短（即縱向纖維之間無(wú)相互擠壓）。此為單向受力假設(shè)。第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力我們將與底層平行、縱向長(zhǎng)度不變的那層縱向纖維稱為中性層。中性層即為梁內(nèi)縱向纖維伸長(zhǎng)區(qū)與縱向纖維縮短區(qū)的分界層。中性層與橫截面的交線被稱為中性軸。概括起來(lái)就是：純彎梁變形時(shí)，所有橫截面均保持為平面，只是繞各自的中性軸轉(zhuǎn)過(guò)一角度，各縱向纖維承受縱向力，橫截面上各點(diǎn)只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力2.純彎梁變形的幾何規(guī)律

我們用相距為dx的兩橫截面1—1與2—2，從矩形截面的純彎梁中切取一微段作為分析對(duì)象（如圖8—16a），并建立圖示坐標(biāo)系：z軸沿中性軸，y軸沿截面對(duì)稱軸。梁彎曲后，設(shè)1—1與2—2截面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為dθ、中性層O1O2的曲率半徑為ρ，我們分析距中性層為y處的縱線ab的變形量：圖8—161122O1yO2xabdxdθρy1122O1O2abzy中性軸（a）（b）第八章梁的彎曲

故ab縱線的正應(yīng)變則為：上式表明：每層縱向纖維的正應(yīng)變與其到中性層的距離成線形關(guān)系。3、物理方程與應(yīng)力分布

由于各縱向纖維只承受軸向拉伸或壓縮，于是在正應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，由虎克定律知

（8—1）

（8—2）圖8—161122O1yO2xabdxdθρy1122O1O2abzy中性軸（a）（b）

上式表明了橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律，即正應(yīng)力沿截面高度呈線形分布，而中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力為零。如圖8—17σ-maxσ+max中性軸圖8—17第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力4．靜力學(xué)關(guān)系

如圖8—18所示，橫截面上各處的法向微內(nèi)力бdA組成一空間平行力系，而且，由于橫截面上沒(méi)有軸力，只有位于梁對(duì)成面內(nèi)的彎矩M，因此：xzyyбdAc圖8—18M得：即

由靜力學(xué)知道，截面形心C的y坐標(biāo)為

（8—3）

（8—5）

（8—4）將式（8—5）代入得由此可見，中性軸過(guò)截面形心。第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力再將式（8—2）代入式（8—4），并令得（8—6）由此可知，中性層的曲率為：（8—7）

式中，Iz為截面對(duì)Z軸的慣性矩，它是僅與截面形狀及尺寸有關(guān)的幾何量。由（8—2）式可知，中性層的曲率1/ρ與彎矩M成正比，與EIz成反比。可見，EIz的大小直接決定了梁抵抗變形的能力，因此我們稱EIz為梁的截面抗彎剛度，簡(jiǎn)稱為抗彎剛度。第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力

通過(guò)以上推導(dǎo)，我們得知了梁彎曲后中性軸的位置及中性層的曲率半徑。將（8—7）式代入（8—2）中，即可得橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式：（8—8）

彎矩為正時(shí)，中性層以下屬拉伸區(qū)，產(chǎn)生拉應(yīng)力；中性層以上部分屬壓縮區(qū)，產(chǎn)生壓應(yīng)力。彎矩為負(fù)時(shí)，情況則相反。第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力二、常見截面的慣性矩、抗彎截面系數(shù)及組合截面的慣性矩1、常見截面的慣性矩（1）矩形截面的慣性矩Iz

。圖8—19所示矩形截面，其高、寬分別為h、b，z軸通過(guò)截面形心C并平行于矩形底邊。為求該截面對(duì)z軸的慣性矩，在截面上距z軸為y處取一微元面積（圖中陰影部分），其面積dA=bdy，根據(jù)慣性矩定義有：b/2b/2Cydyzyh/2h/2圖8—19同理可得截面對(duì)y軸的慣性矩：（8—9）第八章梁的彎曲

8.5梁對(duì)稱彎曲時(shí)的正應(yīng)力圖8—20dzyρyzc

（2）圓形截面的慣性矩Iz

圖8—20所示直徑為d的圓形截面，Z、y軸均過(guò)形心C。因?yàn)閳A形對(duì)任意直徑都是對(duì)稱的。因此有Iz=Iy。在圓截面上取微面積dA，因?yàn)?/p>

，于是，圓截面對(duì)中心的極慣性矩IP與其對(duì)中性軸的慣性矩Iz有如下關(guān)系：（8—10）同理，空心圓截面對(duì)中性軸的慣性矩為（8—11）故有：式中D為空心圓截面的外徑，α為內(nèi)、外徑的比值。第八章梁的彎曲

式中，Iz/ymax是只與截面的形狀及尺寸相關(guān)的幾何量，稱其為抗彎截面模量，用Wz表示，即

（8—12）因此，最大彎曲正應(yīng)力即為

（8—13）（1）矩形截面抗彎截面系數(shù)（8—14）（2）圓形截面抗彎截面系數(shù)（8—15）同理，空心圓截面的抗彎截面系數(shù)（8—16）2、抗彎截面系數(shù)由公式8—8可知，當(dāng)y=ymax時(shí)，即截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大，其值為：第八章梁的彎曲

3、組合截面的慣性矩

在工程實(shí)際中，許多構(gòu)件的橫截面是由簡(jiǎn)單圖形組合而成的，對(duì)這種組合截面，我們用組合法計(jì)算其慣性矩。即將組合截面A劃分為n個(gè)簡(jiǎn)單圖形，設(shè)每個(gè)簡(jiǎn)單圖形面積分別為A1，A2、……An。根據(jù)慣性矩定義及積分的概念，組合截面A對(duì)某一軸的慣性矩等于每個(gè)簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸的慣性矩之和，即：（8—17）式8—17即為慣性矩的組合公式。第八章梁的彎曲

如圖8—21，z軸過(guò)組合截面的形心，欲求組合截面對(duì)z軸的慣性矩Iz，則可將組合截面劃分為三個(gè)矩形（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），每個(gè)矩形對(duì)z軸的慣性矩之和，即為Iz。以矩形Ⅰ為例，z0軸過(guò)其形心，欲求其對(duì)z軸的慣性矩，則需知道矩形Ⅰ對(duì)z0、z這兩個(gè)平行軸的兩個(gè)慣性矩之間的關(guān)系。下面我們將推導(dǎo)這種關(guān)系：zz0ⅠⅡⅢ圖8—21第八章梁的彎曲

圖8—22中，C為截面形心，z軸與z0軸平行且相距為d，微面積dA在y-z、y0-z0坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)分別y、y0，根據(jù)慣性矩定義有：zyz0y0yy0d圖8—22CdA上式展開得：因z0通過(guò)形心C，故：=0于是得出結(jié)論：此式即為平行移軸定理（截面對(duì)形心軸的慣性矩最小）

（8—18）第八章梁的彎曲

例8—5．圖8—23所示為T字形截面，求截面對(duì)形心軸zC的慣性矩Iz。

解：（1）確定界面形心C的位置建立坐標(biāo)系Oyz,將截面分為兩個(gè)矩形Ⅰ、Ⅱ，其面積及各自的形心縱坐標(biāo)分別為：A1＝60×20＝1200mm2yC1＝20/2＝10mmA2=40×20＝800mm2yC2＝40/2＋20＝40mm由形心計(jì)算公式，組合截面形心C的縱坐標(biāo)為：20204060COⅠⅡyyCZZC圖8—23（2）求截面對(duì)形心軸zC的慣性矩Iz。根據(jù)組合公式8—17有：由平移軸公式8—13有：故有：第八章梁的彎曲

三、橫力彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力計(jì)算大量的理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：只要梁是細(xì)長(zhǎng)的，例如l/h>5（梁的跨高之比大于5），剪力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響將是很小的，可以忽略不計(jì)。因此，應(yīng)用公式8—3計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，其值仍然是準(zhǔn)確的。（8—8）第八章梁的彎曲

例8—6．圖8—24a所示矩形截面懸臂梁，承受均布載荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。試求B截面上c、d兩點(diǎn)的正

應(yīng)力。解：（1）求B截面上的彎矩由截面法（AB受力分析如圖8—11b），求得：圖8—24lqABQBqABMBbhcdh/2zy（b）（a）（2）求B截面上c、d處的正應(yīng)力。由公式8—8，有：

因B截面上的彎矩為負(fù)，故橫截面上中性軸z以上各點(diǎn)產(chǎn)生拉應(yīng)力、以下各點(diǎn)產(chǎn)生壓應(yīng)力。所以，C點(diǎn)處為拉應(yīng)力，d點(diǎn)處為壓應(yīng)力。第八章梁的彎曲

例8—7．求圖8—25所示鑄鐵懸臂梁內(nèi)最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力。P=20KN，Iz=10200cm4。ABCP2P96.45050200150yz解：（1）畫彎矩圖，確定危險(xiǎn)面因?yàn)榱菏堑冉孛娴?，且橫截面相對(duì)z軸不對(duì)稱，鑄鐵的抗拉能力與抗壓能力又不同，故絕對(duì)值最大的正、負(fù)彎矩所在面均可能為梁的危險(xiǎn)面。彎矩圖如圖8—25b

（2）確定危險(xiǎn)點(diǎn)，計(jì)算最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。由彎矩圖看出，A、B兩截面均可能為危險(xiǎn)面。A、B截面正應(yīng)力分布如圖8—25c。(a)12KNm16KNmy2y1MAy2y1MA圖8—25(b)(c)第八章梁的彎曲

顯然，A截面上的最大拉應(yīng)力要大于B截面上的最大拉應(yīng)力，故梁內(nèi)最大拉應(yīng)力發(fā)生在A截面下邊緣各點(diǎn)處，其值為：

對(duì)A、B兩截面，需經(jīng)計(jì)算，才能得知哪個(gè)截面上的最大壓應(yīng)力更大：

由此可見，梁內(nèi)最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面的下邊緣各點(diǎn)處。第八章梁的彎曲

8.6梁對(duì)稱彎曲時(shí)的切應(yīng)力圖8—27所示矩形截面梁，高為h,寬為b，截面上的剪力為Q(圖中未畫出彎矩)。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理可知，在截面的兩側(cè)邊緣，剪應(yīng)力的方向一定平行于截面?zhèn)冗?。根?jù)局部梁的平衡條件，可推出梁橫截面上y處的剪應(yīng)力為：yzybhQ(中性軸)圖8—27ωyC(8—19)式中，Q為橫截面上的剪力；b為橫截面上所求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度；Iz為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩第八章梁的彎曲

Sz（ω）為y處橫線一側(cè)的部分橫截面ω對(duì)中性軸的靜矩。將上式及Iz=bh3/12代入式8—14，得：上式表明，矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化；在截面的上、下邊緣（y=±h/2），τ=0；在中性軸處（y=0）,剪應(yīng)力最大，其值為即最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。（8—20）(8—21)

根據(jù)以上分析，可畫出沿橫截面高度方向的剪應(yīng)力分布圖

（

如圖8—14）圖8—14ybhczyτmax第八章梁的彎曲

例8—8.試計(jì)算圖8—29所示工字形截面梁內(nèi)的最大剪應(yīng)力。

解：（1）畫梁的剪力圖。最大剪力為15KN

（2）查表得No16工字鋼的截面幾何數(shù)據(jù)b=6mm

Iz/Sz(ω)=13.8cm

（3）計(jì)算應(yīng)力5KN10KN15KN圖8—29第八章梁的彎曲

8.7梁的強(qiáng)度條件及應(yīng)用1、彎曲強(qiáng)度條件

在一般載荷作用下的細(xì)長(zhǎng)、非薄壁截面梁，彎矩對(duì)強(qiáng)度的影響，要遠(yuǎn)大于剪力的影響。因此，對(duì)細(xì)長(zhǎng)非薄壁梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，主要是限制彎矩所引起的梁內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用正應(yīng)力，即：（8—22）此式為彎曲強(qiáng)度條件第八章梁的彎曲

8.7梁的強(qiáng)度條件及應(yīng)用2、強(qiáng)度條件的應(yīng)用在進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般應(yīng)遵循下列步驟：（1）分析梁的受力，依據(jù)平衡條件確定約束力；分析梁的內(nèi)力（畫出彎矩圖）（2）依據(jù)彎矩圖及截面沿梁軸線變化的情況，確定可能的危險(xiǎn)面：對(duì)等截面梁，彎矩最大截面即為危險(xiǎn)面。對(duì)變截面梁，則需依據(jù)彎矩及截面變化情況，才能確定危險(xiǎn)面。（3）確定危險(xiǎn)點(diǎn)：對(duì)于拉、壓力學(xué)性能相同的材料（如鋼材），其最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)具有同樣的危險(xiǎn)程度，因此，危險(xiǎn)點(diǎn)顯然位于危險(xiǎn)面上離中性軸最遠(yuǎn)處。而對(duì)于拉、壓力學(xué)性能不等的材料（如鑄鐵），則需分別計(jì)算梁內(nèi)絕對(duì)值最大的拉應(yīng)力與壓應(yīng)力。（4）依據(jù)強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。第八章梁的彎曲

例8—9．一原起重量為50KN的單梁吊車，其跨度l=10.5m（其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖8—30a），由45a號(hào)工字鋼制成。而現(xiàn)擬將其重量提高到Q=70KN，試校核梁的強(qiáng)度。若強(qiáng)度不夠，再計(jì)算其可能承受的起重量。梁的材料為A3鋼，許用應(yīng)力[σ]=140MPa；電葫蘆自重G=15KN，暫不考慮梁的自重。圖8-30lQ+G(a)(b)（Q+G）l/4解：（1）做彎矩圖，確定危險(xiǎn)面顯然，當(dāng)電葫蘆行至梁中點(diǎn)時(shí)所引起的彎矩最大，此時(shí)彎矩如圖8—30b。由彎矩圖可知，危險(xiǎn)面為中點(diǎn)處的截面，其彎矩為

第八章梁的彎曲

（2）計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力

等截面梁，且截面（如工字鋼、矩形、圓形）關(guān)于中性軸對(duì)稱，此類梁的最大彎曲正應(yīng)力顯然發(fā)生在危險(xiǎn)截面（最大彎矩處）的上下邊緣點(diǎn)處。由型鋼表查得45a號(hào)工字鋼的抗彎截面模量故梁內(nèi)最大工作正應(yīng)力為（3）依據(jù)強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算顯然，最大工作應(yīng)力超過(guò)了材料的許用應(yīng)力，故梁不安全。梁的最大承載能力：

因此，梁的最大起重量為61.3KN。第八章梁的彎曲

例8—10．圖8—31a所示簡(jiǎn)支梁，受均布載荷q作用，梁跨度l=2m，[σ]=140MPa，q=2KN/m，試按以下兩個(gè)方案設(shè)計(jì)軸的截面尺寸，并比較重量。（1）實(shí)心圓截面梁

（2）空心圓截面梁，其內(nèi)、外徑之比α=0.9。qlql2/8（a）解：畫梁的彎矩圖（如圖8—31b），由彎矩圖可知，梁中點(diǎn)截面為危險(xiǎn)截面，其上彎矩值為：圖8—31（b）（1）設(shè)計(jì)實(shí)心截面梁的直徑d。

依據(jù)強(qiáng)度條件：將

代入解得取d=42mm第八章梁的彎曲

（2）.確定空心截面梁的內(nèi)、外徑d1及D將代入強(qiáng)度條件解得

取D=60mm,則d1=0.9D=54mm（3）.比較兩種不同截面梁的重量

因材料及長(zhǎng)度相同，故兩種截面梁的重量之比等于其截面積之比。

重量比=

計(jì)算結(jié)果表明:空心截面梁的重量比實(shí)心截面梁的重量小很多。因此，在滿足強(qiáng)度要求的前提下，采用空心截面梁，可節(jié)省材料、減輕結(jié)構(gòu)重量。第八章梁的彎曲

在下列幾種特殊情況下，則應(yīng)同時(shí)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件及剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。因?yàn)檫@類特殊情況下，梁內(nèi)往往產(chǎn)生較大的彎曲剪應(yīng)力。（1）薄壁截面梁（2）彎矩較小而剪力較大的梁，如短而粗的梁（3）集中載荷作用于支座附近的梁第八章梁的彎曲

8.8提高梁強(qiáng)度的措施1、選擇合理的截面形狀合理的截面形狀，就是用最少的材料獲得最大的抗彎截面模量的截面。一般情況下，抗彎截面模量與截面高度的平方成正比，因此，在橫截面積不變的前提下，將較多材料配置在遠(yuǎn)離中性軸的部位，便可獲取較大的抗彎截面模量，從而降低梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。

在設(shè)計(jì)梁的合理截面時(shí)，還應(yīng)考慮材料自身特性。對(duì)抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料，宜采用