高中數學高考高考沖刺 公開課

2023年普通高等學校招生全國統一考試全國1卷數學試卷分析一．整體解讀試卷緊扣考試說明，從考生熟悉的基礎知識入手，寬角度、多視點、有層次地考查了學生的數學理性思維能力、對數學本質的理解能力及數學素養(yǎng)和潛能的區(qū)分度，達到了“考基礎、考能力、考素質、考潛能”的考試目標。試卷所涉及的知識內容限定在考試大綱的范圍內，幾乎覆蓋了高中所學知識的全部重要內容，體現了“重點知識重點考查”的原則。1、回歸教材，注重基礎2023年新課標卷遵循了考查基礎知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分知識點，選擇題、填空題考查了復數、三角函數、簡易邏輯、概率、解析幾何、向量、框圖、二項式定理（理科）、線性規(guī)劃等知識點，大部分屬于常規(guī)題型，是學生在平時訓練中常見的類型。同時，在立體幾何、導數等題目上進行了一些微創(chuàng)新，與我國古代《九章算術》中的著名題目相聯系，這些題目的設計回歸教材和中學教學實際。2、適當設置題目難度與區(qū)分度與往年新課標卷相對比，今年的選填難度仍然設置在選擇題和填空題的最后兩道。尤其以選擇題第12題和填空題第16道為代表。有的同學平時此類型的題目見的較少，需要在考場緊張的狀態(tài)下獨自解決，這考查了同學在壓力狀態(tài)下分析問題，解決問題的能力。對此，我們之前給出的建議是，不要在這類型的題目花費過多的時間，從而壓縮了后面解答題部分的答題時間，同時也影響考試情緒。3、布局合理，考查全面，著重數學方法和數學思想的考察在解答題部分，文、理兩科試卷均對高中數學中的重點內容時行了考查。包括數列、立體幾何、概率統計、解析幾何、導數五大版塊和三選一問題。以知識為載體，立意于能力，讓數方法和數學思統方式貫穿于整個試題的解答過程之中。4、命題考察的沿續(xù)性2023年新課標卷，在力求創(chuàng)新基礎上，也有一些不變的東西。例如2023年新課標1卷理科選擇題第7題與2023年新課標1卷文科第6題的命題方式基本完全一致。二．考點分布1.理科集合0復數5函數5向量5簡易邏輯5程序框圖5線性規(guī)劃5二項式定理5解三角形10幾何證明選講10坐標系與參數方程10不等式選講10數列12概率與統計17導數17立體幾何22解析幾何222.文科集合5復數5線性規(guī)劃5向量5簡易邏輯5程序框圖5函數10數列10幾何證明選講10坐標系與參數方程10不等式選講10解三角形17概率與統計17導數17立體幾何22解析幾何22三．試題及詳解文科試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知集合A={x|x=3n+2,nN},B={6,8,10（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知點A(0,1)，（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1,4）（3）已知復數z滿足z-1（A）-2-i（B）-2+i（4）如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數，則3個數構成一組勾股數的概率為（A）310（B）（C）（D）（5）已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2=8x的焦點重合，A，B是（A）3（B）6（C）9（D）12（6）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛（7）已知{an}是公差為1的等差數列,Sn為{an}的前n項和，QUOTE則S8=4S4QUOTE，則a10=QUOTE（A）172（B）19（8）函數fx=cos?(ωx+φ)QUOTE的部分圖像如圖所示，則f(x)（A）(kπ-14（C）(k-14（9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=，則輸出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）已知函數fx=2x-1-2,x≤1-log2x+1,x>1（A）-（B）-（C）-（D）-（11）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20π，則r=（A）1(B)2(C)4(D)8（12）設函數y=f(x)的圖像與y=2x+a的圖像關于直線（A）-1（B）1（C）2（D）4二.填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）在數列{an}中，a1=2,an+1=2（14）已知函數f(x)=ax3+x+1的圖像在點(（15）x,y滿足約束條件x+y-2≤0,x-2y+1≤02x-y+2≥0,，則z=3x+y的最大值為（16）已知F是雙曲線C：x2-=1的右焦點，P是C的左支上一點三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）（本小題滿分12分）已知a，b，c分別為△（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）設B=90°，且a=，求△（18）（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC（19）（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z(單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)5631469表中wi=i,，=i（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（Ⅲ）以知這種產品的年利率z與x、y的關系為年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數據（u1，v1）,（u2，v2）……，（un，vn）,其回歸線v=u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，（20）（本小題滿分12分）已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2（1）求k的取值范圍；（2）若·=12，其中O為坐標原點，求︱MN︱.（21）.（本小題滿分12分）設函數fx（Ⅰ）討論的導函數零點的個數；（Ⅱ）證明：當時，。請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時請寫清題號。(22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AB是⊙的直徑，AC是⊙的切線，BC交⊙于點E。（Ⅰ）若D為AC的中點，證明：DE是⊙的切線；（Ⅱ）若CA=CE，求∠（23）（本小題滿分10分）選修4-4；坐標系與參數方程在直角坐標系中，直線:x=,圓：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系。（1）求,的極坐標方程。（2）若直線C3的極坐標為=（ρR）,設C2與C3的交點為M，N（24）（本小題滿分10分）選修4-已知函數f(x當a=1時，求不等式f(若f(x)的圖像與x文科詳解【解析】：考察集合的基本運算，因為集合A=2,5,8,14…,集合B=6,8,10,12,14,共同元素只有8，14兩個。所以答案選D.2．A【解析】：考察向量的坐標運算，設Cx,y，x=-4+0=-4;y=-3+1=2,所以得C-4,2得BC=-4-3，-2-2=3．C【解析】：考察考察復數的乘除運算，原式的z=1+ii+1=4．C【解析】：考察古典概型，用列舉法，5個數選3個數組合在一起總共有10種可能，能作為一組勾股數只能是3、4、5，所以概率為110.所以答案選5．B【解析】：考察橢圓的標準方程，以及通徑，橢圓的焦點坐標為（2,0），所以C=2,a=4,b2=12過焦點且垂直于X軸的弦AB為通徑，由AB=2b6．B【解析】：考察圓錐的體積，這題較新穎，活學活用，由弧長=8尺，再根據弧長公式L=αR,得，R=163尺，再根據圓錐體積公式V=13πR2h，米就有22斛.答案選B7．B【解析】：考察等差數列通項公式與求和公式，由s8=4s4，設an=a1+n-18．D【解析】：考察三角函數圖像和單調性，由圖像得T=2，所以ω=π，再代入點14，0，所以φ=π9．C【解析】:考察算法的循環(huán)結構，代入0,1,2可得到規(guī)律sn=1210．A【解析】:考察分段函數求值,由fa=-3,得a=7,所以11．B【解析】:考察三視圖的還原、表面積運算，還原之后是一個半個圓柱和半個球的組合體，算得的表面積為4r2+2π12．C【解析】：考察指數函數與對數函數，易知點（x，y）關于y=-x對稱的點的坐標為（-y，-x），把（-y，-x）代入y=2x+a得-x=，化簡得y=a-log13．【解析】考察等比數列定義及其前Sn計算,由題知an為等比數列，q=2，由數列前Sn易知n=614．【解析】考察導數切線問題,求得切線斜率為，利用兩點之間斜率等于切線斜率得a=115．【解析】考察線性規(guī)劃最值問題，代入三個交點（1,1）、（0,2）、（-1,0）求最大值易知（1，1)為最優(yōu)解416．【解析】考察雙曲線最值問題,易知當左焦點F1和P、A三點共線時最小，解得P點為（-2，），所以-=-=-）=1217.【解析】（1）：由題設及正弦定理可得，又a=b,可得b=2c.由余弦定理可得。：由（1）知，因為，由勾股定理得。故，得.所以的面積為1.18.【解析】（1）為四邊形ABCD為菱形，所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以，故平面BED。又平面ABCD,所以平面平面BED.（2）設，在菱形ABCD中，由，可得。因為所以在中，可得由平面ABCD，知為直角三角形，可得。由已知得，三棱錐故。從而可得.所以的面積為3，。故三棱錐的側面積為19.【解析】（1）由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量關于年宣傳費x的回歸方程類型。令先建立y關于w的線性回歸方程。由于，所以y關于w的線性回歸方程為因此y關于x的線性回歸方程為。（3）（Ⅰ）由（2）知，當49時，年銷售量y的預報值，年利潤z的預報值（II）根據⑵的結果知，年利潤z的預報值。所以當取得最大值。故年宣傳費為千元時，年利潤的預報值最大。20.【解析】（1）由題設，可知直線為y=kx+1,因為直線與C交于兩點，利用圓心到直線的距離小于r可知解得，所以k的取值范圍為（，設M，N將y=kx+1代入方程整理得可知=所以直線為y=x+1，故圓心C在上，所以21.【解析】（I）的定義域為（0，+），，當時，，所以沒有零點;當時，因為單調遞增，單調遞減，所以在（0，）單調遞增。又，當b滿足0<b<且b<時，，故當時，存在唯一零點。（II）由（I），可設在（0，+）存在唯一零點，當時，；當時，>0.故在（0，）單調遞減，在（單調遞增，所以當時取得最小值；由于，所以.故當時，.22.【解析】：（Ⅰ）連接，由已知的，，，在中，由已知可知，，故，連接，則又，，，是的切線（Ⅱ）設，，由已知得，由射影定理可得，，，即，則，因此23．【解析】（I）因為x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的極坐標方程為II將θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ由于C2的半徑為1，所以?C24．【解析】（1）時，化為當，不等式化為，無解；當，不等式化為，解得；當，不等式化為，解得所以得解集為（2）由題設可得，所以函數的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為三角形ABC的面積為由題設得，故所以的取值范圍為理科試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）設復數z滿足=i，則|z|=（A）1（B）（C）（D）2(2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=（A）（B）（C）（D）（3）設命題P：nN，>，則P為（A）nN,>（B）nN,≤（C）nN,≤（D）nN,=（4）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（A） （B） （C） （D）（5）已知M（x0，y0）是雙曲線C：上的一點，F1、F2是C上的兩個焦點，若＜0，則y0的取值范圍是（A）（-，） （B）（-，）（C）（，）（D）（，）（6）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛（8）函數fx=cos?(ωx+φ)QUOTE的部分圖像如圖所示，則f(x)（A）(kπ-1（C）(k-14（9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=，則輸出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8QUOTE（x2+x+y）5的展開式中，的系數為（A）10（B）20（C）30（D）60（11）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20π，則r=（A）1(B)2(C)4(D)8二、填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）若函數f(x)=xln（x+）為偶函數，則a=（14）一個圓經過橢圓x216+y2（15）若x,y滿足約束條件QUOTEx-1?0,x-y≤0,x+y-4≤0,則QUOTExy的最大值為.（16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）（本小題滿分12分）為數列的前項和.已知，（Ⅰ）求的通項公式：（Ⅱ）設，求數列的前項和（18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（1）證明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值（19）（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z(單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)5631469表中wi=i,，=i（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（Ⅲ）以知這種產品的年利率z與x、y的關系為年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數據（u1，v1）,（u2，v2）……，（un，vn）,其回歸線v=u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，請考生在第22、23、24題中任選一題作答(22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AB是⊙的直徑，AC是⊙的切線，BC交⊙于點E。（Ⅰ）若D為AC的中點，證明：DE是⊙的切線；（Ⅱ）若CA=CE，求∠（23）（本小題滿分10分）選修4-4；坐標系與參數方程在直角坐標系中，直線:x=,圓：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系。（1）求,的極坐標方程。（2）若直線C3的極坐標為=（ρR）,設C2與C3的交點為M，N（24）（本小題滿分10分）選修4-已知函數f(x)（1）當a=1時，求不等式f(（2）若f(x)的圖像與x理科詳解1．【解析】依題意得，所以，故選A2．【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故選D3．【解析】:，故選C.4.【解析】根據獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為=，故選A.5.【解析】依題意，，所以，所以，故選A6.【解析】設圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷≈22，故選B.【解析】依題意,故選A8.【解析】：考察三角函數圖像和單調性，由圖像得T=2，所以ω=π，再代入點14，0，所以φ9.【解析】依題意，解出所以故選C10.【解析】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數為=30，故選A.11.【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16+20，解得r=2，故選B.12.13.【解析】由題知是奇函數，所以=，解得=1.14.【解析】設圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.15.【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.17.【解析】：（Ⅰ）……………….①當時，，………②①-②可得：則，數列是首項為3，公差為2的差數列（Ⅱ）即設數列的前項和為18【解析】：（Ⅰ）連接，設，連接，，在菱形中，不妨設，由，可得由平面，，可知.又，所以在中，可知，故.在中，可得在直角梯形中，由，，，可知，，又，平面平面，平面平面.（Ⅱ）以為坐標原點，分別以、的方向為軸、軸的正方向，為單位長建立空間直角坐標系.由（Ⅰ）可得，，，，，.故直線與直線所成角的余弦值為19.【解析】：（Ⅰ）由散點圖可知，適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型.（Ⅱ）令，建立關于的線性回歸方程.則則關于的線性回歸方程為，因此關于的線性回歸方程為.（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）可知，當時，年銷售量的預報值年利潤的預報值.（ii）根據（Ⅱ）的結果可知，年利潤的預報值當，即時，取得最大值.故年宣傳費為千元時，年利潤的預報值最大.20.【解析】：（Ⅰ）由題設可得，，或，.又，故在處的導數值為，在點處的切線方程為，即.在處的導數值為，在點處的切線方程為，即.故所求切線方程為和.（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設為符合題意的點，，，直線，的斜率分別為，將代入的方程得，.從而當時，有，則直線的傾角與直線的傾角互補故，點符合題意。21.【解析】（Ⅰ）設曲線與x軸相切于點，則，即，解得.因此，當時，x軸為曲線的切線.（Ⅱ）當時，從而故在無零點.當時，若則，，故是的零點.若，則故不是的零點.當時，.所以只需考慮在的零點個數.若或，則在無零點，故在單調.而，所以當時，在有一個零點；當時，在沒有零點.若，則在單調遞減，在單調遞增，故在中，當時，取得最小值，最小值為.=1\*GB3①若即,在沒有零點；=2\*GB3②若即，則在有唯一零點；=3\*GB3③若即，由于，所以當時，在有兩個零點；當時，在有一個零點.綜上，當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.22.【解析】（Ⅰ）連接，由已知的，，，在中，由已知可知，，故，連接，則又，，，是的切線（Ⅱ）設，，由已知得，由射影定理可得，，，即，則，因此23．【解析】（I）因為x=ρc