醫(yī)用數(shù)理統(tǒng)計方法第五章抽樣估計課件

第五章抽樣估計

引言上一講，我們介紹了總體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量和抽樣分布的概念，介紹了統(tǒng)計中常用的三大分布，給出了幾個重要的抽樣分布定理.它們是進一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ).

總體樣本統(tǒng)計量描述作出推斷研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).隨機抽樣第5.1節(jié)參數(shù)的點估計一、點估計問題的提法二、估計量的求法三、小結(jié)

現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計推斷問題

參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).參數(shù)估計估計廢品率估計新生兒的平均體重估計湖中魚數(shù)……估計平均降雨量在參數(shù)估計問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個或幾個參數(shù).參數(shù)估計點估計區(qū)間估計一、點估計問題的提法設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知,但它的一個或多個參數(shù)為未知,借助于總體X的一個樣本來估計總體未知參數(shù)的問題稱為點估計問題.二、估計量的求法由于估計量是樣本的函數(shù),是隨機變量,故對不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,求估計量的問題是關(guān)鍵問題.估計量的求法:(四種)常用矩估計法和最大似然估計法.一、

矩估計法其基本思想是用樣本矩估計總體矩.理論依據(jù):

它是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的一種估計方法.是英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律設(shè)X1,X2,…,Xn

來自總體X的樣本記總體k階矩為樣本k階矩為那么用諸的估計量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計量：設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù)都是這k個參數(shù)的函數(shù),記為：,那么它的前k階矩一般i=1,2,…,k從這k個方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估計法的具體步驟:矩估計量的觀察值稱為矩估計值.例

2

設(shè)總體服從泊松分布，

求參數(shù)的估計量.解：設(shè)是總體的一個樣本,由于,可得

解方程組得到a,b的矩估計量分別為解例4解解方程組得到矩估計量分別為例5矩法的優(yōu)點是簡單易行,缺點是，當(dāng)總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計量不具有唯一性.例6設(shè)總體的分布密度為為總體的樣本,求參數(shù)的矩估計量.解：由于只含有一個未知參數(shù)，一般只需求出便能得到的矩估計量，但是二、最大（極大）似然估計法最大似然法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,然而，GaussFisher這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學(xué)家費歇

.

費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).（或分似然函數(shù)設(shè)總體X的分布律為，其中是未知參數(shù)，是總體X的一個樣為

布密度為）本，則樣本，當(dāng)給定樣本值后，它只是參數(shù)的函數(shù)，記為即的分布律則稱為似然函數(shù)。似然函數(shù)實質(zhì)上是樣本的分布律或分布密度。2.最大似然估計法最大似然估計法，是建立在最大似然原理的基礎(chǔ)上的求點估計量的方法。最大似然原理的直觀想法是：在試驗中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個試驗如有若干個可能的結(jié)果若在一次試驗中，結(jié)果出現(xiàn)，則一般出現(xiàn)的概率最大。認為定義6.1設(shè)總體的分布密度（或分布律）為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)是總體

的一個樣本值，如果似然函數(shù)（6.1）

替換成樣本分別為似然估計值。需要注意的是，最大似然估計值依賴于樣本值，即若將上式中樣本值則所得的

的最大

稱為參數(shù)的最大似然估計量。

由于而與在同一處達到最大值，為最大似然估計的必要條件為稱它為似然方程，其中（6.2）因此，求最大似然估計量的一般步驟為：（1）求似然函數(shù)（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估計值

（4）最后得到最大似然估計量

解似然函數(shù)例1這一估計量與矩估計量是相同的.解X的似然函數(shù)為例2它們與相應(yīng)的矩估計量相同.用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的最大似然估計有時行不通，這時要用極大似然原則來求.說明：三、小結(jié)兩種求點估計的方法:矩估計法最大似然估計法在統(tǒng)計問題中往往先使用最大似然估計法,在最大似然估計法使用不方便時,再用矩估計法.第5.2節(jié)估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出二、無偏估計三、最小方差無偏估計四、相合估計五、小結(jié)一、問題的提出從前一節(jié)可以看到,對于同一個參數(shù),用不同的估計方法求出的估計量可能不相同,那么那一個估計量好？好壞的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個常用標(biāo)準(zhǔn).二、無偏估計無偏估計的實際意義:無系統(tǒng)誤差.無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求.證例1特別地:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,證例2(這種方法稱為無偏化).證例4由以上兩例可知,同一個參數(shù)可以有不同的無偏估計量.無偏性雖然是評價估計量的一個重要標(biāo)準(zhǔn),而且在許多場合是合理的,必要的。然而，有時一個參數(shù)的無偏估計可能不存在。三、最小方差無偏估計由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度,所以無偏估計以方差小者為好.說明最小方差無偏估計是一種最優(yōu)估計.定義四、相合估計有時候我們不僅要求估計量有較小的方差，還希望當(dāng)樣本容量n充分大時，估計量能在某種意義下收斂于被估計參數(shù)，這就是所謂相合性（或一致性）概念。定義設(shè)是未知參數(shù)估計序列，如果依概率收斂于，即對任，有或則稱是的相合估計（量）（或一致估量）。例

若總體的和存在,則樣本均值是總體均值的相合估計.解：一般地,樣本的階原點矩是總體的階原點矩的相合估計.由此可見,矩估計往往是相合估計.證明例由大數(shù)定律知,六、小結(jié)估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn)無偏估計最小方差無偏估計相合估計相合性是對估計量的一個基本要求,不具備相合性的估計量是不予以考慮的.由最大似然估計法得到的估計量,在一定條件下也具有相合性.估計量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時,才能顯示出優(yōu)越性,這在實際中往往難以做到,因此,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個標(biāo)準(zhǔn).第5.3節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計一、區(qū)間估計基本概念二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計三、小結(jié)

引言前面，我們討論了參數(shù)點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù).但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.一、區(qū)間估計基本概念1.

置信區(qū)間的定義(6.7)關(guān)于定義的說明例如

一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內(nèi).這里有兩個要求:由定義可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計1.I單個總體的情況推導(dǎo)過程如下:這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長度為包糖機某日開工包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布,解附表2-1例1附表2-2查表得推導(dǎo)過程如下:解有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取16袋,稱得重量(克)如下:設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1例2就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個估計的可信程度為95%.這個誤差的可信度為95%.解附表3-2例3(續(xù)例1)如果只假設(shè)糖包的重量服從正態(tài)分布解例4推導(dǎo)過程如下:根據(jù)第五章第三節(jié)定理5.8知II.進一步可得:注意:在密度函數(shù)不對稱時,習(xí)慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖).

(續(xù)例2)求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2例52、兩個總體的情況討論兩個總體均值差和方差比的估計問題.推導(dǎo)過程如下:I.例6機床廠某日從兩臺機床加工的零件中,分別抽取若干個樣品,測得零件尺寸分別如下(單位:cm):

第一臺機器6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.85.7,6.0,6.0,5.8,6.0

第二臺機器5.6,5.9,5.6,5.7,5.86.0,5.5,5.7,5.5假設(shè)兩臺機器加工的零件尺寸均服從正態(tài)分布,且方差相等,試求兩機床加工的零件平均尺寸之差的區(qū)間估計解用X表示第一臺機床加工的零件尺寸,用Y表示第二臺機床加工的零件尺寸,由題設(shè)經(jīng)計算，得置信下限置信上限故所求的置信度為95%的置信區(qū)間為[0.0912,0.5088].推導(dǎo)過程如下:II.根據(jù)F分布的定義,知解例7研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑,隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只,測得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨抽取機器B生產(chǎn)的管子13只,測得樣本方差為立,且設(shè)由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信解例8的置甲、乙兩臺機床加工同一種零件,在機床甲加工的零件中抽取9個樣品,在機床乙加工的零件信區(qū)間.假定測量值都服從正態(tài)分布,方差分別為在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下,試求這兩臺機床加工精度之比中抽取6個樣品,并分別測得它們的長度(單位:mm),三、小結(jié)點估計不能反映估計的精度,故而本節(jié)引入了區(qū)間估計.求置信區(qū)間的一般步驟(分三步).正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計但n充分大時近似置信區(qū)間附表2-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.1315=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.2010附表3-2分布表附表4-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.7362